分數階Kuramoto-Sivashinsky方程的精確行波解

常 晶, 劉 洋, 高憶先

(1. 吉林農業大學 信息技術學院, 長春 130118; 2. 東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

時空分數階非線性偏微分方程在化學、 生物學、 數學、 通信、 物理和工程等領域應用廣泛. Kuramoto-Sivashinsky型方程(簡稱K-S型方程)在物理和工程等領域得到廣泛關注, 目前, 關于求解K-S型方程解的研究已有許多結果[1-9], 如雙曲正切函數法[1]、 高階有限元法[2]、 Jacobi橢圓函數展開法[3]、 正切函數法[4]、 Riccati展開法[5]、 Lie對稱法[6]等. 本文主要考慮具有物理背景的時空分數階K-S型方程的精確行波解, 利用具有兩個變量(G′/G,1/G)-函數展開法, 得到了K-S型方程的雙曲函數形式、 三角函數形式和有理函數形式的精確行波解.

1 (G′/G,1/G)-函數展開法

考慮一般的分數階非線性偏微分方程:

(1)

其中: u=u(x,t); 0<α,β≤1, 且α的Riemann-Liouville分數階導數為

(2)

(G′/G,1/G)-函數展開法步驟如下:

Q(U,U′,U″,…)=0.

(3)

2) 不妨設方程(3)具有下列形式的行波解：

(4)

其中: φ=G′/G, ψ=1/G, G=G(ξ)為二階常微分方程

G″(ξ)+λG′(ξ)=μ

(5)

的解; ai(i=0,1,…,N), bi(i=1,2,…,N), λ,μ均為待定常數; 正整數N為參數, 可通過平衡方程(1)中的最高階非線性項與最高階導數項確定. 方程(5)的解有下列3種形式:

① 當λ<0時, 方程(5)的解為

(6)

② 當λ>0時, 方程(5)的解為

(7)

③ 當λ=0時, 方程(5)的解為

G(ξ)=μξ2/2+A1ξ+A2,

(8)

3) 將式(4)代入式(3), 并令φ,ψ的同次冪系數為零, 可得關于參數ai(i=0,1,…,N), bi(i=1,2,…,N), λ,μ,A1,A2的代數方程組, 利用Mathematica科學計算軟件, 可得這些參數的解, 進而可得方程(1)的精確行波解.

注1一個變量G′/G-函數展開法的關鍵是將偏微分方程的精確行波解轉化為關于G′/G的多項式形式； 而兩個變量(G′/G,1/G)-函數展開法是將偏微分方程的精確行波解轉化為關于兩個變量G′/G和1/G的多項式形式.

2 應 用

考慮如下分數階K-S方程:

(9)

其中: 0<α≤1; β,γ,δ為任意常數. 為得到方程(9)的精確行波解, 假設u(x,t)為式(4)的形式, 且令

φ=G′/G,ψ=1/G

(10)

-cU′+βkU′+γk2U″+δkUU′=0.

(11)

由平衡方程(11)中導數的最高階項與非線性最高階項知N=1. 即

U=a0+a1φ+b1ψ,a1≠0.

(12)

于是由方程(5)解的3種形式, 可對方程(9)的解進行如下討論.

情形1) 當λ<0時, 將式(12)代入方程(11), 并利用式(6), 且令φ,ψ的同次冪系數為零, 可得

利用Mathematica軟件, 可得:

情形2) 當λ>0時, 將式(12)代入方程(11)中, 并利用式(6), 可得如下方程組:

利用Mathematica軟件, 可得:

情形3) 當λ=0時, 同理可得如下方程組:

利用Mathematica軟件, 可得:

其中c,k,μ是任意常數. 則方程(9)有理函數形式的行波解為

綜上所述, 本文利用(G′/G,1/G)-展開法得到了具有物理背景的分數階時-空非線性K-S型方程雙曲函數行波解、 三角形式行波解以及有理函數形式的行波解. 結果表明, 該方法簡單有效, 并可用于求解其他分數階非線性發展方程的行波解.