轉動Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜的解析解

宮彥軍, 王明軍, 畢冬梅, 趙利軍

(1. 湖南科技學院 電子與信息工程學院, 湖南 永州 425199；2. 西安理工大學 自動化與通信工程學院, 西安 710048； 3. 長春大學 理學院, 長春 130022)

激光Doppler測速計(LDV)在測量時采用不接觸的方式, 與傳統(tǒng)測量方法相比具有較大優(yōu)勢[1]. LDV可提供縱向速度分量[2], 并獲得振動裝置的速度信息[3-5], 可利用激光Doppler效應測量一個點的振動速度[6]. 激光測速儀可測量流動液體的局部速度[7], 利用激光Doppler研究目標的Doppler成像, 可檢測并識別球和圓盤[8-12]. LDV可快速直接測量血液的絕對速度[13]. 將激光擴束照射繞軸轉動的目標, 整個目標可近似視為平面波照射, 對于運動的目標, 采用外差法可測量激光Doppler展寬[14], Doppler展寬能反應轉動目標的形狀特征及振動特征[15]. 文獻[16-18]給出了Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜的數(shù)值解; 文獻[19]給出了在軌圓錐激光后向散射Doppler譜. 在熱原子系統(tǒng)中, 探測場和耦合場存在Doppler效應[20]， 文獻[21]利用激光Doppler效應進行了旋翼弦長探測. 文獻[16]只給出了圓錐和圓柱的數(shù)值解, 文獻[17]給出了凸回轉體的數(shù)值解, 文獻[18]給出了凸二次回轉體的數(shù)值解, 結果表明, 數(shù)值解給出的計算結果與計算精度有關, 數(shù)值解能計算的目標種類較多, 可計算不同表面材料. 本文給出轉動Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜的解析解, 其中表面材料是Lambert的. 結果表明, 解析解的計算結果與計算精度無關, 且給出的精確計算結果可用來驗證數(shù)值解.

1 轉動Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜解析解的數(shù)學表達式

轉動目標的激光后向散射Doppler譜是轉動目標的激光后向散射Doppler頻移對應的功率. Lambert圓錐繞其中心軸以角速度ω轉動, 轉動方向如圖1所示, 用波長為λ的平面波激光照射圓錐.

圖1 模型所用坐標系中的圓錐Fig.1 Cone in coordinate system used for model

圓錐中心軸與激光入射方向間的夾角為γ, 稱為視線角, 圓錐中心軸為z軸, 圓錐頂點為坐標原點, 圓錐頂點指向底面中心的方向為z軸正向,z軸正向單位矢量為Z, 激光入射方向反方向的單位矢量為e, 選x軸正向的單位矢量

這里Z與e不平行, 因此

|e×Z|>0.

將激光擴束照射到繞軸轉動的Lambert圓錐上, 圓錐均被照射到. 對于特定各向同性的粗糙面, 表面任意面元的激光后向散射強度由激光入射方向的反方向與該面元法線(指向物體外面)夾角β確定, β是光線在入射點處的本地入射角. 目標上每個可照射面元的后向散射功率[17]為

ΔP(β,t)=Kfr(β)ΔAcos2β,

(1)

其中fr(β)為圓錐粗糙表面在后向上的雙向反射分布函數(shù), 對于凸體, 滿足cosβ>0的面元為可照射面元, 激光入射方向反方向在目標坐標系下的單位方向矢量e=(0,sinγ,-cosγ), 側面上任意一點的單位法向量

(2)

圓錐表面上任意可照射面元中心點的位置矢量r=(X,Y,Z), 角速度矢量Ω=(0,0,ω), 線速度矢量v=Ω×r=(-Yω,Xω,0). 在后向方向上的Doppler頻移為

則

(3)

(4)

(5)

由式(3)可見, 對于圓錐表面X分量相同的點, 其Doppler頻移一致, 為計算給定Doppler頻移下的功率, 將式(5)在圓錐表面上可照射區(qū)域對Y積分, 則激光后向散射功率為

(6)

其中C為積分區(qū)域, 滿足

(7)

由式(6)可得

(8)

由式(8)可得

(9)

其中

(11)

其中:

(12)

Y1=0,Y2=G2,γ=90°;

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

2 結果與討論

圓錐具有對稱性, 由于視線角γ和2π-γ關于z軸對稱, 因此這兩個視線角的Doppler譜相等. 下面給出證明. 假設0<γ<π, 根據(jù)式(10), 可得

根據(jù)式(18)、 式(19)和式(9)可得

下面將解析解和數(shù)值解進行對比, 其中圓錐的高度h=1 m, 半錐角α=5.7°, 角速度ω=1 rad/s, 波長λ=1 μm, Δx=5 mm,D=1,P(X,γ)為歸一化功率. 圖2為本文解析解與文獻[17]數(shù)值解的比較, 其中: 圖2(A)和(C)分別為視線角γ=10°,30°的解析解和計算精度Δy=20 mm的數(shù)值解; 圖2(B)和(D)分別為視線角γ=10°,30°的解析解以及計算精度Δy=0.2,2 mm的數(shù)值解. 由圖2(A)和(C)可見, 數(shù)值解和解析解的差異明顯; 由圖2(B)和(D)可見, 數(shù)值解和解析解的差異較小.

圖2 解析解和數(shù)值解的比較Fig.2 Comparison of analytical solutions and numerical solutions

為顯示數(shù)值解和解析解的差異, 本文給出不同精度數(shù)值解的誤差, 結果如圖3所示. 其中: 圖3(A)和(C)分別為視線角γ=10°,30°的計算精度Δy=2,20 mm的數(shù)值解和解析解的差值； 圖3(B)和(D)分別為視線角γ=10°,30°的計算精度Δy=0.2，2 mm的數(shù)值解和解析解的差值. 由圖3可見, 隨著計算精度的提高, 數(shù)值解和解析解的差值變小, 表明本文推導的解析解正確, 是Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜的解析解, 數(shù)值解計算精度越高, 二者誤差越小, 即解析解可確定數(shù)值解采用多大的計算精度能滿足要求.

圖3 不同計算精度數(shù)值解的誤差Fig.3 Error of numerical solutions of different calculation accuracy

綜上, 本文在本地坐標系下推導了Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜的解析解, 并根據(jù)解析解的數(shù)學表達式證明了Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜對于激光入射方向具有對稱性, 即和為2π的兩個視線角的Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜相同. Lambert圓錐激光后向散射Doppler譜的數(shù)值解和解析解進行對比的結果表明, 隨著數(shù)值解計算精度的提高, 數(shù)值解和解析解的誤差變小.