關(guān)于Frobenius-Euler多項(xiàng)式的高階卷積公式

莫亞龍,何圓

(昆明理工大學(xué)理學(xué)院,云南 昆明 650500)

1 引言及主要結(jié)果

當(dāng)研究?jī)绾蛦?wèn)題時(shí),瑞士數(shù)學(xué)家Jacob Bernoulli(1654-1705)和Leonhard Euler(1707-1783)分別發(fā)現(xiàn)存在序列多項(xiàng)式{Bn(x)}Nn=0和{En(x)}Nn=0能提供前n個(gè)自然數(shù)的k次冪和與前n個(gè)自然數(shù)的交替k次冪和的統(tǒng)一公式.[1-4]這些多項(xiàng)式Bn(x)和En(x)分別被稱為Bernoulli多項(xiàng)式和Euler多項(xiàng)式,它們通常由如下生成函數(shù)定義:

特別地,有理數(shù)Bn=Bn(0)和整數(shù)En=2nEn(1/2)分別被稱為Bernoulli數(shù)和Euler數(shù).

以上Bernoulli數(shù)及其多項(xiàng)式和Euler數(shù)及其多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域中扮有重要作用,許多學(xué)者研究了它們的算術(shù)性質(zhì),得到了極多有趣的和重要的結(jié)果.譬如,令{fn(x)}Nn=0是一個(gè)多項(xiàng)式序列,

其中 l1,···,ld,n是非負(fù)整數(shù),

基于文獻(xiàn) [5-7]對(duì) Bernoulli數(shù)乘積的和式公式的研究,在 1996年,文獻(xiàn) [8]研究了 (3)式中fn(x)=Bn(x)和fn(x)=En(x)的情形,并得到了Bernoulli多項(xiàng)式和Euler多項(xiàng)式的如下高階卷積公式:對(duì)于正整數(shù)d,n滿足n≥d,

對(duì)于正整數(shù)d和非負(fù)整數(shù)n,

其中

和s(n,d)是第一類Stirling數(shù).在2018年,文獻(xiàn)[9]研究了高階zeta函數(shù)的算術(shù)性質(zhì),發(fā)現(xiàn)高階zeta函數(shù)在非正整數(shù)處的值能由(3)式中fn(x)=Bn(x)的情形確定,并建立了Bernoulli多項(xiàng)式的一個(gè)高階卷積公式:

鑒于以上文獻(xiàn)的研究成果,本文將對(duì)Frobenius-Euler多項(xiàng)式做進(jìn)一步的研究.通過(guò)運(yùn)用生成函數(shù)思想和組合技巧,建立了 Frobenius-Euler多項(xiàng)式的一個(gè)高階卷積公式.作為應(yīng)用,Dilcher的高階卷積公式(5)被作為特殊情況得到.

定理 1.1 令d是一個(gè)正整數(shù),m,n是非負(fù)整數(shù).若y=x1+···+xd,則有

其中Hn(x|λ)是 Frobenius-Euler多項(xiàng)式,且由如下生成函數(shù)給定(參見文獻(xiàn)[11-12]):

這里λ是一個(gè)復(fù)數(shù)且 |t|<π當(dāng)λ=?1和|t|

特別地,在定理1.1中取λ=?1,得到Euler多項(xiàng)式的如下高階卷積公式:

其中 d是一個(gè)正整數(shù),m,n是非負(fù)整數(shù),和 y=x1+···+xd.明顯地,(8)式中m=0的情形即為Dilcher的公式(5).類似地,定理1.1中m=0的情形給出了Frobenius-Euler多項(xiàng)式的Dilcher型高階卷積公式,其在λ=?1處再次給出Dilcher的公式(5).

2 幾個(gè)引理

在給出定理1.1的證明之前,需要接下來(lái)的幾個(gè)輔助結(jié)果.

引理 2.1令n是一個(gè)非負(fù)整數(shù).那么對(duì)于復(fù)參數(shù)λ和α,

和對(duì)于正整數(shù)n,

證明 參見文獻(xiàn)[13].

引理 2.2令n是一個(gè)非負(fù)整數(shù).則

對(duì)于正整數(shù)r,

其中?x?n是 Pochhammer符號(hào)被給定為:

f(y,t)和g(y,t)分別被給定為:

這里F(t)是一個(gè)冪級(jí)數(shù).

證明 參見文獻(xiàn)[14].

3 定理的證明

顯然,在引理2.1的第二個(gè)公式中取α=1,并將n替換為d,可得

令 y=x1+···+xd.若在以上等式的左右兩邊都乘以 (1?λ)de(x1+···+xd)t,則有

根據(jù)(9)式可得

對(duì)(11)式的左右兩邊關(guān)于t作m次求導(dǎo),根據(jù)廣義Leibniz法則(參見文獻(xiàn)[15]),可得

清楚地,由(10)式知,

對(duì)于非負(fù)整數(shù)n,令[tn]f(t)表示f(t)中tn項(xiàng)的系數(shù).明顯地,

在引理2.2的第一個(gè)公式中取定

則有

于是,應(yīng)用(15)式到(14)式的右邊,可得

根據(jù)(16)式,有

因此,將(17)式中λ替換為1/λ即得(7)式.這便完成了定理1.1的證明.

4 結(jié)束語(yǔ)

事實(shí)上,用證明(7)式的類似方法,也能建立Bernoulli多項(xiàng)式的如下高階卷積公式:

其中 d是一個(gè)正整數(shù),m,n是非負(fù)整數(shù)滿足 m+n≥d,和 y=x1+···+xd.顯然,(18)式中 m=0的情形即為Dilcher的公式(4).(18)式中x1=···=xd=x的情形給出了 Bayad和Komatsu的公式(6)的一個(gè)等價(jià)形式.是否文獻(xiàn)[16]中考慮的橢圓型Apostol-Bernoulli多項(xiàng)式和橢圓型Apostol-Euler多項(xiàng)式存在與(8)式和(18)式類似的高階卷積公式呢?作者將在今后的工作中,對(duì)該話題作進(jìn)一步的研究.