一類時滯Lipschitz非線性離散廣義系統(tǒng)觀測器的設(shè)計

孫延修,黎虹,潘斌

(1.沈陽工學(xué)院基礎(chǔ)課部,遼寧 撫順 113122;2.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院,遼寧 撫順 113001)

1 引言

廣義系統(tǒng)廣泛存在于社會生產(chǎn)的各個領(lǐng)域,如:機器人系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、電子網(wǎng)絡(luò)等.事實上,實際存在的廣義系統(tǒng)往往帶有時滯,如:神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)等.隨著計算機的快速發(fā)展及時滯系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用,針對廣義時滯系統(tǒng)的研究具有了一定的積極意義.狀態(tài)反饋是系統(tǒng)控制的一個重要手段,觀測器在控制系統(tǒng)中具有一定的應(yīng)用性.針對系統(tǒng)觀測器的研究,文獻[1-4]中對非線性廣義系統(tǒng)的觀測器進行了設(shè)計,文獻[5]通過利用反饋增益矩陣對Lipschiz非線性廣義系統(tǒng)的觀測器進行了設(shè)計,文獻[6]在狀態(tài)變量不完全可獲得時,利用線性矩陣不等式方法針對離散時滯非線性廣義系統(tǒng)的觀測器進行了設(shè)計,并且將結(jié)果推廣到系統(tǒng)方程含有不確定性的情形,文獻[7-9]中針對具有實際應(yīng)用的時滯系統(tǒng)如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、人口動力學(xué)模型以及化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)等進行了描述,文獻[10]通過將帶有非線性項的矩陣不等式轉(zhuǎn)化為兩步線性矩陣不等式的方法,針對時滯Lipschitz離散非線性系統(tǒng)的全維和降維觀測器進行了設(shè)計,解出了觀測器的兩個增益矩陣并給出觀測器存在的充分條件,從而豐富了時滯系統(tǒng)觀測器設(shè)計與研究的方法.

目前,針對正常系統(tǒng)觀測器的研究已經(jīng)取得了很大發(fā)展,時滯系統(tǒng)具有重要的實際應(yīng)用意義,對時滯系統(tǒng)觀測器的研究也有了一些成果,而針對離散廣義時滯系統(tǒng)觀測器的研究相對較少,可以作為進一步研究的方向.本文基于離散時滯系統(tǒng)觀測器的設(shè)計與研究,針對一類時滯Lipschitz非線性離散廣義系統(tǒng)的觀測器進行設(shè)計并給出了觀測器存在的充分條件,最后利用數(shù)值算例驗證了觀測器設(shè)計的可行性.

2 問題描述

考慮如下時滯廣義系統(tǒng):

其中,E∈Rn×n為奇異矩陣且滿足rank(E)=q

為常數(shù)矩陣;u∈Rm,y(k)∈Rp分別是系統(tǒng)的狀態(tài),輸入和輸出.

假設(shè) 2.1 系統(tǒng)的非線性項Φ(x(k),x(k?d),u(k)),滿足Lipschitz條件,即有

其中,LΦ為大于0的Lipschitz常數(shù).

定義 2.1 根據(jù)n個采樣周期內(nèi)采樣到的輸入u(k)和輸出y(k),能唯一地確定系統(tǒng)的狀態(tài)x(k),則稱系統(tǒng)可觀測.

本文的目標(biāo):

(I)當(dāng)系統(tǒng)的非線性項等于零時,根據(jù)假設(shè)2.2系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為:

設(shè)計如下狀態(tài)觀測器:

令e(k)=x(k)??x(k),則由觀測器(3)與系統(tǒng)(2)得到的誤差系統(tǒng)(4)是漸進穩(wěn)定的:

(II)當(dāng)系統(tǒng)存在滿足Lipschitz條件的非線性項時,根據(jù)假設(shè)2.2,系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為:

設(shè)計如下狀態(tài)觀測器:

令e(k)=x(k)??x(k),則由觀測器(6)與系統(tǒng)(5)得到的誤差系統(tǒng)(7)是漸進穩(wěn)定的:

其中

3 主要結(jié)果

根據(jù)線性矩陣不等式的方法,考慮時滯廣義系統(tǒng)的觀測器設(shè)計及誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.

定理 3.1 若存在對稱正定矩陣P,Q和增益矩陣L,Ld滿足下列不等式,則(3)式為系統(tǒng)(2)的觀測器:

其中,P,Q為對稱正定矩陣,ˉA=TA?LC,ˉAd=TAd?LdC,?表示對稱矩陣中的對稱部分.

證明設(shè)e(k)=x(k)??x(k),則由系統(tǒng)(2)和觀測器(3)可得誤差系統(tǒng)為:

選取李雅普諾夫函數(shù):

故有

其中

根據(jù)schur補引理,矩陣M1<0等價于定理中的矩陣不等式(8),故?V<0誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定,定理得證,即(3)式為系統(tǒng)(2)的觀測器.

定理 3.2 若存在對稱正定矩陣P,Q和增益矩陣L,Ld滿足下列不等式,則(6)式為系統(tǒng)(5)的觀測器:

其中,P,Q為對稱正定矩陣,α,β=∥T∥LΦ為大于零的實數(shù),ˉ

P=P+αβ2I,?表示對稱矩陣中的對稱部分.

證明設(shè)e(k)=x(k)??x(k),則由系統(tǒng)(5)和觀測器(6)可得誤差系統(tǒng)為:

記

選取李雅普諾夫函數(shù):

由于Φ(x(k),x(k?d),u(k))滿足Lipschitz條件,知

故有

其中

根據(jù)schur補引理,矩陣M2<0等價于定理中的矩陣不等式(9),故?V<0誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定定理得證,即(6)式為系統(tǒng)(5)的觀測器.

注 3.1 上述兩個定理中李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造具有一定的相似性,基于定理3.1中李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法,定理3.2考慮到了系統(tǒng)所具有的Lipschitz非線性項選取了類似的李雅普諾夫函數(shù),給出了時滯Lipschitz非線性離散廣義系統(tǒng)觀測器存在的條件.

4 數(shù)值算例

例 4.1 考慮時滯離散廣義系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下:

系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)化為(5)式的形式,根據(jù)文獻[10]中針對增益矩陣?yán)镁€性矩陣不等式的求解方法可以計算得出觀測器的增益矩陣:

5 結(jié)論

本文主要研究了一類時滯Lipschitz非線性離散廣義系統(tǒng)觀測器的設(shè)計問題.基于時滯離散廣義系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu),利用線性矩陣不等式的方法分別設(shè)計出了系統(tǒng)在無Lipschitz非線性項條件下的狀態(tài)觀測器以及系統(tǒng)存在Lipschitz非線性項條件下的狀態(tài)觀測器,根據(jù)schur補引理給出了Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測器存在的條件,實現(xiàn)了系統(tǒng)與觀測器的誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定并有利于觀測器增益矩陣的求解.最后,數(shù)值算例驗證了非線性時滯廣義系統(tǒng)觀測器設(shè)計方法的可行性.針對帶有外部干擾及不確定性的廣義時滯系統(tǒng)觀測器的設(shè)計則可以作為今后進一步研究的方向.