無條件穩(wěn)定時(shí)域有限差分法綜述

林智參

摘要：時(shí)域有限差分法（FDTD）是解決復(fù)雜電磁問題的有效方法之一，可以對(duì)電磁問題進(jìn)行直觀的描述，且容易編程分析，已經(jīng)發(fā)展成為一種成熟的數(shù)值計(jì)算方法。然而，傳統(tǒng)FDTD算法的時(shí)間步長(zhǎng)收到了穩(wěn)定性條件的限制，這使得FDTD方法的計(jì)算效率和應(yīng)用范圍受到了限制，因此無條件穩(wěn)定算法應(yīng)運(yùn)而生，人們提出了多種形式的無條件穩(wěn)定FDTD算法。本文介紹并分析了幾種無條件穩(wěn)定的時(shí)域有限差分法，給出了具有一定參考價(jià)值的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：時(shí)域有限差分法；無條件穩(wěn)定；分析

中圖分類號(hào)：O441.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2018）07-0228-01

時(shí)域有限差分法（FDTD）因其算法簡(jiǎn)捷、適用范圍廣的特點(diǎn)而得到廣泛的應(yīng)用。FDTD可以直觀的描述電磁場(chǎng)的時(shí)間變化過程，容易理解，且有很好的穩(wěn)定性和收斂性，同時(shí)它的程序也容易編寫。經(jīng)過多年的發(fā)展，F(xiàn)DTD算法現(xiàn)已然成為一種成熟的電磁理論分析工具。目前，F(xiàn)DTD算法的研究幾乎已深入到所有電磁領(lǐng)域。盡管 FDTD算法有很多的優(yōu)點(diǎn)，但是它的時(shí)間步長(zhǎng)必須滿足Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）穩(wěn)定性條件，這使得FDTD方法的計(jì)算效率和應(yīng)用范圍受到了限制。為了克服穩(wěn)定性條件的限制，人們提出了多種形式的無條件穩(wěn)定FDTD算法。下面將對(duì)幾種形式的無條件穩(wěn)定時(shí)域有限差分法綜述如下：

1 交替方向隱式時(shí)域有限差分（ADI-FDTD）算法

1999年，T.Namiki提出了交替方向隱式時(shí)域有限差分算法[1]（Alternating Direction Implicit Finite Difference Time Domain method，簡(jiǎn)稱ADI-FDTD算法），并首次把該算法應(yīng)用于模擬計(jì)算二維TE波，而且證明了二維的ADI-FDTD算法是無條件穩(wěn)定的，后來又把ADI-FDTD算法推廣到了三維情形[2]。隨后，學(xué)者們對(duì)ADI-FDTD算法展開研究，關(guān)于該算法的數(shù)值色散特性、吸收邊界條件一時(shí)成為了研究的熱點(diǎn)。ADI-FDTD算法是顯式、隱式交替出現(xiàn)的，所以它既有顯式差分法計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，又有隱式差分法無條件穩(wěn)定的特性，使得時(shí)間步長(zhǎng)能夠擺脫了傳統(tǒng)FDTD方法的CFL條件穩(wěn)定性的限制，運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單方便，計(jì)算精度較高。ADI-FDTD算法的出現(xiàn)，擴(kuò)大了FDTD算法的應(yīng)用范圍，具有重要意義。

ADI-FDTD算法是通過把傳統(tǒng)時(shí)間步長(zhǎng)平均劃分為兩個(gè)子時(shí)間步長(zhǎng)，并在子時(shí)間步長(zhǎng)中采用場(chǎng)分量的顯式、隱式交替出現(xiàn)的方法，以達(dá)到無條件穩(wěn)定的效果。值得一提的是，該算法在單個(gè)子時(shí)間步長(zhǎng)上仍是條件穩(wěn)定的，但是子時(shí)間步長(zhǎng)結(jié)合后就可以實(shí)現(xiàn)無條件穩(wěn)定性。

2 基于Crank-Nicolson（CN）方案的無條件穩(wěn)定FDTD算法

基于Crank-Nicolson（CN）方案的無條件穩(wěn)定FDTD算法，稱為CN-FDTD算法[3]，在此算法中，仍舊采用Yee元胞的矩形差分網(wǎng)格，空間中任一個(gè)網(wǎng)格上的E和H分量的放置和傳統(tǒng)Yee元胞的一樣。把麥克斯韋旋度方程組差分離散化時(shí)，麥克斯韋方程左邊的時(shí)間偏微分項(xiàng)仍舊采用中心差分形式，不同的是方程的右邊采用的是空間中心差分在n時(shí)刻和n+1時(shí)刻的平均值。CN-FDTD算法與傳統(tǒng)FDTD算法的主要區(qū)別就在于對(duì)麥克斯韋方程右邊的時(shí)間離散化處理不同，中間時(shí)刻n+1/2的場(chǎng)量值由n時(shí)刻和n+1時(shí)刻的場(chǎng)量值的算術(shù)平均值近似地代替，由此得到隱式差分的推導(dǎo)公式，然后采用迭代法來求解場(chǎng)分量值。

這種無條件穩(wěn)定CN-FDTD算法的計(jì)算精度要高于ADI-FDTD算法的計(jì)算精度。但是，實(shí)際應(yīng)用中，CN-FDTD編程處理需要計(jì)算大型稀疏矩陣方程組，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)比較困難。因而，求解CN-FDTD算法的重要節(jié)點(diǎn)就在于尋找出一種高效的大型稀疏矩陣方程的求解方法。同時(shí)，求解這種大型稀疏矩陣方程顯然是要以犧牲大量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存和時(shí)間為代價(jià)的，這么一來對(duì)于實(shí)際問題的求解實(shí)用性不強(qiáng)，這種方法顯然是不理想的，因此在實(shí)際的工作中很難被廣泛應(yīng)用。為了把方法優(yōu)化，學(xué)者和專家們開始利用近似、分解、矩陣簡(jiǎn)化等方法對(duì)CN-FDTD算法進(jìn)行簡(jiǎn)化，希望通過有效的方法對(duì)此算法進(jìn)行改進(jìn)，以達(dá)到新型高效的算法。

3 分裂步長(zhǎng)時(shí)域有限差分法

分裂步長(zhǎng)時(shí)域有限差分法（Split-Step Finite Difference Time Domain Method，SS-FDTD）算法[4]首先是由LeeJ等提出來的，該算法利用split-step的方法對(duì)麥克斯韋方程組進(jìn)行分解，得到一種新型的無條件穩(wěn)定算法。SS-FDTD算法通過把傳統(tǒng)時(shí)間步長(zhǎng)分成兩個(gè)子時(shí)間步長(zhǎng)，n到n+1/2和n+1/2到n+1，同時(shí)又把麥克斯韋方程組的系數(shù)矩陣分解成兩個(gè)不同的子矩陣，由此，麥克斯韋方程組的求解過程也就由一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)變成兩個(gè)子時(shí)間步長(zhǎng)，由一個(gè)復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，分解成兩個(gè)較為簡(jiǎn)單的子矩陣運(yùn)算，最終實(shí)現(xiàn)無條件穩(wěn)定的目的。

SS-FDTD算法求解的矩陣比ADI-FDTD的要簡(jiǎn)單，其計(jì)算速度要也比ADI-FDTD算法的要快，同一平臺(tái)下的CPU運(yùn)算時(shí)間少，并且具有二階空間精度。SS-FDTD算法有個(gè)關(guān)鍵步驟就是把麥克斯韋方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行分解，然而，矩陣分解的方法有多種，可以按照正負(fù)方向分解成兩個(gè)子矩陣，也可以按照x、y、z方向分解成三個(gè)子矩陣，甚至還可以按照x、y、z的正負(fù)方向分解成六個(gè)子矩陣[5]，由此可知SS-FDTD算法還可以進(jìn)行多種改進(jìn)。

4 結(jié)語

本文主要介紹了三種較為流行的無條件穩(wěn)定時(shí)域有限差分法，每種方法都擺脫了傳統(tǒng)的CFL穩(wěn)定性條件的限制，同時(shí)每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)各有不同。總而言之，ADI-FDTD算法和SS-FDTD算法是通過分解傳統(tǒng)的時(shí)間步長(zhǎng)來實(shí)現(xiàn)隱式以達(dá)到無條件穩(wěn)定的，其中SS-FDTD算法還把麥克斯韋系數(shù)矩陣進(jìn)行了分解，簡(jiǎn)化了推導(dǎo)公式，提高了速度。而CN-FDTD算法是麥克斯韋旋度方程在離散化過程中通過利用n時(shí)刻和n+1時(shí)刻場(chǎng)量值的平均值代替中間時(shí)刻n+1/2的場(chǎng)量值來實(shí)現(xiàn)隱式以達(dá)到無條件穩(wěn)定的目的。

參考文獻(xiàn)

[1]Namiki T. A new FDTD algorithm based on alternating-direction implicit method[J]. IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques，1999，47（10）：2003-2007.

[2]Namiki T. 3-D ADI-FDTD method-unconditionally stable time-domain algorithm for solving full vector Maxwell's equations[J].IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques，2000，48（10）：1743-1748.

[3]An Ping Zhao. A novel implementation for two-dimensional unconditionally stable FDTD method[J]. Microwave and optical technology letters，2003，38（6）：457-462.

[4]Jongwoo Lee， Bengt Fornberg， A split step approach for the 3-D Maxwells equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2003，158：485-505.

[5]孔永丹.基于分裂步長(zhǎng)的無條件穩(wěn)定FDTD算法研究[D].華南理工大學(xué)，2011.