具有非線性收獲及食餌避難的Leslie睪ower模型的稅收分析

喬運成 李懷玉 黃創霞

摘要研究了具有非線性收獲及食餌避難的Leslie-Gower 模型，討論了該模型解的正性、有界性及正平衡點的存在性. 通過分析特征方程并運用Routh-Hurwitz判別法，得出正平衡點局部漸近穩定的充分性條件. 借助Lyapunov函數以及LaSalle不變原理，研究了正平衡點的全局穩定性. 利用Pontryagin最大值原理，得到了最優稅收τoptimal以及最優平衡解（xoptimal， yoptimal， Eoptimal）. 數值模擬與理論結果一致.

關鍵詞財政學；平衡點；穩定性；最優稅收

中圖分類號O175.14文獻標識碼A

Taxation Analysis of LeslieGower Model

with Nonlinear Harvesting and Prey Refuge

Yuncheng Qiao，Huaiyu Li，Chuangxia Huang

（School of Mathematics and Statistics， Changsha University of Science

and Technology， Changsha， Hunan410114， China）

AbstractIncorporating the nonlinear harvesting and prey refuge， a Leslie-Gower model is investigated. The positivity， boundedness of solutions and the existence of the positive equilibrium are discussed. By analyzing the characteristic equation and using Routh-Hurwitz method， some sufficient conditions for the locally asymptotically stable of the positive equilibrium are derived. With the help of Lyapunov function and LaSalles invariance principle， the global stable of the positive equilibrium is studied. Applying Pontryagin maximum principle， the optimal taxationτoptimaland the optimal equilibrium solution（xoptimal，yoptimal，Eoptimal）are obtained. Numerical simulations are great well agreement with the theoretical results.

Key wordsfinance；equilibrium point； stability； optimal taxation

1引言

隨著人們物質文化需求的日益增長，人類對自然資源的開發和利用不斷地擴大，然而，對于漁業等可再生資源來說，并非是取之不盡的. 因此，如何在保證種群系統持續發展的前提下，實現經濟效益的最大化，一直是眾多學者熱切關注的問題.最早，Clark（1976）對可再生資源的優化管理給出了最基本定義及研究，在此基礎上Ganguly和Chaudhuri（1995）[1]研究了單種群的漁業稅收問題.考慮到實際生態系統中，環境容納量往往與其生存環境及食餌種群的密度有關，Leslie（1948）[2]在捕食者種群的環境容納量與食餌種群的密度成比例的假設下，對傳統LotkaVolterra模型進行了改進，提出了LeslieGower捕食食餌模型.基于食餌在與捕食者共同進化的過程中所形成的躲避天敵的特性（例，利用自身的保護色來躲避天敵的襲擊）（Wang等，2017）[3]，Chen 等（2009）[4]引進了食餌避難率m（0

雖然對捕食者種群進行選擇性收獲的稅收問題的研究已相對完善，但是對于具有食餌避難且對食餌種群進行非線性、選擇性收獲的Leslie-Gower稅收模型的研究并不多，大多數還停留在對食餌種群的常數收獲（SUN等，2011；Lv等，2013）[7-8]或是沒有考慮食餌避難這一問題（賈春瑩等，2010；Li等，2017）[9-10].基于以上幾點的考慮，建立了具有食餌避難且對食餌種群進行非線性（非線性收獲項為：h（t）=qE（t）x（t）μE（t）+vx（t））、選擇性收獲（僅對食餌種群進行選擇性收獲）的LeslieGower稅收模型：

dx（t）dt=r1x（t）1-x（t）k-α（1-m）x（t）y（t）-

qE（t）x（t）μE（t）+vx（t），dy（t）dt=r2-βy（t）（1-m）x（t）y（t），dE（t）dt=σ（p-τ）qx（t）μE（t）+vx（t）-c-γE（t），（1）

考慮到系統（1）的生物學意義，則系統（1）的初始條件為：x（0）=x0>0，y（0）=y0>0，E（0）=E0>0. x（t）和y（t）分別為t時刻食餌種群及捕食者種群的密度，E（t）表示t時刻對食餌種群的收獲努力量，r1和r2分別為食餌種群及捕食者種群的內稟增長率，k為食餌種群的環境容納量，α為捕食者種群對食餌種群的捕獲率，m（0τ，c為收獲單位資源x的成本，γ代表資本的折舊率.

考慮到系統（1）的現實意義，首先分析系統（1）解的正性及有界性.

2解的正性與有界性

引理1在初始條件下，系統（1）的解是正的.

證對系統（1）的第一個方程，分離變量求積分可得

x（t）=x0e∫

SymboleB@ 0r1（1-x（s）k）-α（1-m）y（s）-qE（s）μE（s）+vx（s）ds，

在初始條件x（0）=x0>0下，x（t）>0對所有的t>0均成立.

對系統（1）的第二個方程，分離變量求積分可得

y（t）=y0e∫

SymboleB@ 0r2-βy（s）（1-m）x（s）ds，

在初始條件y（0）=y0>0下，y（t）>0對所有的t>0均成立.

對系統（1）的第三個方程，分離變量求積分可得

E（t）=E0e∫

SymboleB@ 0σ（（p-τ）qx（s）μE（s）+vx（s）-c）-γds.

在初始條件E（0）=E0>0下，E（t）>0對所有的t>0均成立. 證畢.

引理2在初始條件下，系統（1）的解是最終有界的.

證定義

ρ（t）=x（t）+y（t）+1σ（t-τ）E（t），（2）

結合系統（1），對ρ（t）求導可得，

dρ（t）dt=dx（t）dt+dy（t）dt+1σ（t-τ）dE（t）dt=

r1x（t）-r1x2（t）k-α（1-m）x（t）y（t）+

r2y（t）-βy2（t）（1-m）x（t）-σc+γσ（t-τ）E（t），

從而，

dρ（t）dt+（σc+γ）ρ（t）=

r1x（t）-r1x2（t）k-α（1-m）x（t）y（t）+

（σc+γ）x（t）+r2y（t）-βy2（t）（1-m）x（t）+

（σc+γ）y（t）≤r1x（t）-r1x2（t）k+

（σc+γ）x（t）+r2y（t）-

βy2（t）（1-m）x（t）+（σc+γ）y（t）≤

kM264β2r1，

其中

M=4β（r1+σc+γ）+（r2+σc+γ）2（1-m），

因此，limt→∞ sup ρ（t）≤kM264β2r1（σc+γ）. 證畢.

3正平衡點的存在性與局部穩定性

為維持生態系統的平衡，保證食餌種群及捕食者種群能夠持續共存，下面僅對系統（1）的正平衡點進行分析.

定理1若（C1）和（C2）成立，則系統（1）存在正平衡點P（x*，y*，E*）.

其中

（C1）r1μ-q>0，

（C2）τ

x*=kβ[（r1μ-q）（p-τ）σq+（γ+σc）qv]μ[r1β+αr2k（1-m）2]（p-τ）σq，

y*=r2（1-m）βx*，

E*=（p-τ）σq-（γ+σc）v（γ+σc）μx*.

證對系統（1），正平衡點P（x*，y*，E*）存在，當且僅當滿足如下方程組：

r1（1-xk）-α（1-m）y-qEμE+vx=0，r2-βy（1-m）x=0，σ（p-τ）qxμE+vx-σc-γ=0，（3）

對上述方程組求解可得，

x*=kβ[（r1μ-q）（p-τ）σq+（γ+σc）qv]μ[r1β+αr2k（1-m）2]（p-τ）σq，

y*=r2（1-m）βx*，

E*=（p-τ）σq-（γ+σc）v（γ+σc）μx*.

證畢.

定理2若kqv<μ（μE*+vx*）r1，則正平衡點P（x*，y*，E*）是局部漸近穩定的.

證 系統（1）在正平衡點P（x*，y*，E*）處的特征方程為：

λ+r1x*k-qE*x*（μE*+vx*）2α（1-m）x*qE*x*2（μE*+vx*）2

-βy*2（1-m）x*2λ+βy*（1-m）x*0

-σ（p-τ）qμE*2（μE*+vx*）20λ+σ（p-τ）qμx*E*（μE*+vx*）2=0，

對上述特征方程化簡得：

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0. （4）

其中，

a1=-（A+B+C），

a2=AB+（A+B）C+D+F，

a3=-（ABC+BD+FC），

A=-r1x*k+qE*x*（μE*+vx*）2，

B=-βy*（1-m）x*，

C=-σ（p-τ）qμx*E*（μE*+vx*）2，

D=qvx*2（μE*+vx*）2σ（p-τ）qμE*2（μE*+vx*）2，

E=αβy*2x*

顯然 B<0，C<0，D>0，F>0，

Δ2=a1a2-a3=

-（A+B+C）[AB+（A+B）C+D+F]-

（ABC+BD+FC）.

因此，當且僅當A<0時，即kqv<μ（μE*+vx*）r1時，有Δ2>0. 由RouthHurwitz判別法可知特征方程（4）的根的實部均為負，從而，正平衡點P（x*，y*，E*）是局部漸近穩定的. 證畢.

4正平衡點的全局穩定性

定理3若（C1）、（C2）及kqv<μ（μE*+vx*）r1成立時，則正平衡點P（x*，y*，E*）是全局穩定的.

證在正平衡點P（x*，y*，E*）處，構造如下正定的V（x，y，E）函數：

V（x，y，E）=ln xx*+xx*+

θ1[（y-y*）-y*ln yy*]+

θ2[（E-E*）-E*ln EE*]， （5）

其中，θ1，θ2為任意的正常數.

由式（5）可知V（x，y，E）是關于x，y，E的連續函數，通過計算可得：

Vx=1x（1-x*x），

Vy=θ1（1-y*y），

VE=θ2（1-E*E）， （6）

lim x→0V（x，y，E）=lim x→∞V（x，y，E）=+∞，

lim y→0V（x，y，E）=lim y→∞V（x，y，E）=+

SymboleB@ ，

lim E→0V（x，y，E）=lim E→∞V（x，y，E）=+

SymboleB@ ，（7）

由式（6）和式（7）可知V（x，y，E）在正平衡點P（x*，y*，E*）處取最小，即

V（x，y，E）>V（x*，y*，E*）=1.

沿著系統（1）對V（x，y，E）函數求導得，

dVdt=x-x*x2dxdt+θ1y-y*ydydt+

θ2E-E*EdEdt=

-[r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）]×

（x-x*）2 -θ1β（1-m）x*（y-y*）2+

[θ1βy*（1-m）xx*-α（1-m）x]（x-x*）×

（y-y*） +[θ2σ（p-τ）E*μ-x*xv]×

q（x-x*）（y-y*）（E-E*）（μE*+vx*）2-

θ2σ（p-τ）qx*μ（μE+vx）（μE*+vx*）（E-E*）2，

取正常數

θ1=α（1-m）2x*βy*， θ2=x*vσ（p-τ）μE*x，

化簡得：

dVdt≤

-[r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）]×

（x-x*）2 -θ1β（1-m）x*（y-y*）2-

θ2σ（p-τ）qx*μ（μE+vx）（μE*+vx*）（E-E*）2，

由定理2條件kqv<μ（μE*+vx*）r1，即r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）>0，可知dVdt<0. 由LaSalle不變原理可得，正平衡點P（x*，y*，E*）是全局穩定的. 證畢.

5最優稅收政策

本節主要研究在初始條件x（0），y（0）及E（0）下，利用Pontryagin最大值原理確定最優稅收τ，得到最優平衡解，使人類在對食餌種群收獲過程中社會的總收益（貼現總收入）

J（x）=∫∞0e-δt[pqx（t）μE（t）+vx（t）-c]E（t）dt （8）

在滿足方程（1）和控制變量為τmin <τ<τmax 時取得最大值. 其中，δ為貼現率.

此控制問題的Hamiltonian函數為：

H（t）=e-δt[pqx（t）μE（t）+vx（t）-c]E（t）+λ1（t）

r1x（t）1-x（t）k-α（1-m）x（t）y（t）-

qE（t）x（t）μE（t）+vx（t） +λ2（t）r2-βy（t）（1-m）x（t）y（t）+

λ3（t）σ（p-τ）qx（t）μE（t）+vx（t）-c-γE（t）， （9）

其中，λ1（t），λ2（t），λ3（t）是伴隨變量.

由于H（t）的最大值在區間τmin ，τmax 上取得，所以

H（t）τ=-λ3（t）σqx（t）μE（t）+vx（t）E（t）=0.

因此，λ3（t）=0.

由Pontryagin最大值原理有

dλ1（t）dt=-H（t）x（t）=

-pqμE2（t）e-δt（μE（t）+vx（t））2+λ1（t）[r1-2r1x（t）k-

α（1-m）x（t）y（t）-pqμE2（t）（μE（t）+vx（t））2] -

λ2（t）βy2（t）（1-m）x2（t），（10）

dλ2（t）dt=-H（t）y（t）=λ1（t）α（1-m）x（t）-

λ2（t）r2-2βy（t）（1-m）x（t），（11）

dλ3（t）dt=-H（t）E（t）=-pqvx2（t）e-δt（μE（t）+vx（t））2+

ce-δt+λ1（t）qvx2（t）（μE（t）+vx（t））2，（12）

為了得到最優解，在正平衡點處結合式（3）對式（10）、式（11）化簡可得

dλ1（t）dt=-pqμE2e-δt（μE+vx）2+λ1（t）（-qEμE+vx+

qμE2（μE+vx）2）+λ1（t）r1xk+λ2（t）βy2（1-m）x2，（13）

dλ2（t）dt=λ1（t）α（1-m）x+λ2（t）βy（1-m）x.（14）

另一方面，在正平衡點處由式（12）可得

λ1（t）=pe-δt-（μE+vx）2ce-δtqvx2. （15）

將式（15）代入式（14）可得，

dλ2（t）dt=φ2λ2（t）+φ1e-δt， （16）

其中

φ1=[p-（μE+vx）2cqvx2]α（1-m）x，

φ2=βy（1-m）x.

對式（16）分離變量求積分可得

λ2（t）=-φ1φ2+δe-δt+K1eφ2t，（17）

當t→0，K1=0時，影子價格λ2（t）eδt是有界的，

λ2（t）=-φ1φ2+δe-δt. （18）

同理，由式（18）及式（13）可得

λ1（t）=-ψ1ψ2+δe-δt， （19）

其中

ψ1=pqμE2（μE+vx）2-φ1φ2+δβy2（1-m）x2，

ψ2=-qEμE+vx+qμE2（μE+vx）2+r1kx.

由式（19）及式（15）可得

p-（μE+vx）2cqvx2=-ψ1ψ2+δ， （20）

將正平衡點P（x*，y*，E*）代入式（20）得到關于τ的方程，令τoptimal為方程的解，從而得到最優平衡解x=xoptimal， y=yoptimal， E=Eoptimal以及最優稅收τoptimal=p-（σc+γ）（μEoptimal+vxoptimal）σqxoptimal.

注1系統（1）更具有一般性，它包含了多種特殊的情況. 事實上，如果不存在人類收獲，即對食餌種群的收獲努力量E（t）=0時，則系統（1）即為具有食餌避難的LeslieGower捕食食餌模型[2-4]；如果對食餌種群的收獲為線性收獲，即h（t）=Eqy時，則系統（1）即為具有食餌避難且帶有線性收獲項的LeslieGower捕食食餌模型[3，5，7，8]；如果γ=0，即資本折舊率為零[6，9，10].

注2 當系統（1）滿足條件（C1）、（C2）及kqv<μ（μE*+vx*）r1時，捕食者、食餌種群最終將達到平衡且共存，容易發現：此時必須保證食餌避難率m滿足0

6數值模擬

考慮具有非線性收獲及食餌避難的LeslieGower稅收模型如下：

dx（t）dt=0.5x（t）1-x（t）100-0.42x（t）y（t）-

0.5E（t）x（t）2E（t）+x（t），dy（t）dt=0.001-0.06y（t）0.7x（t）y（t），dE（t）dt=0.40.5（15-τ）x（t）2E（t）+vx（t）-5-0.01E（t），（21）

當τ=1時，p-τ=14>0，1-m=0.7>0. 另外，由計算可得

（C1）r1μ-q=0.5>0，

（C2） 1=τ

kqv=50<μ（μE*+vx*）r1≈60.42，

滿足定理3的條件，因此可知系統（21）的正平衡點存在且全局穩定，數值模擬與該結論相一致，如圖1所示.

通過注2的分析可知，稅收策略在人類對資源的合理開發及利用，維持生態系統的平衡與穩定方面具有一定的調節作用，對于系統（21）而言，當稅收τ發生變化時（這里研究τ=1，2，4），食餌種群x，捕食種群y以及E隨時間的變化，如圖2所示.

通過圖2可以清晰地發現：稅收τ=4時，食餌種群的平衡密度最大，稅收τ=2時次之，稅收τ=1時，食餌種群的平衡密度最小，即，在稅收控制范圍內，稅收τ增加，食餌種群的平衡密度最終將會增加.

通過圖3不難發現：稅收τ=4時，捕食者種群的平衡密度最大，稅收τ=2時次之，稅收τ=1時，捕食者種群的平衡密度最小，即，在稅收控制范圍內，稅收τ增加，捕食者種群的平衡密度最終將會增加.

通過圖4可以發現：稅收τ=4時，對食餌種群的收獲努力量的平衡密度最小，稅收τ=2時次之，稅收τ=1時，對食餌種群的收獲努力量的平衡密度最大，即，在稅收控制范圍內，稅收τ增加，對食餌種群的收獲努力量的平衡密度最終將會減小.

結合圖2，圖3以及圖4，同樣可以得到注2的結論：在稅收的增加的情況下，對食餌種群的收獲將減少（即收獲努力量E減小），因此食餌種群x的平衡密度將會增加，捕食者種群y的平衡密度也終將會隨之增加.

7結論

考慮到食餌種群在進化過程中所形成的躲避捕食者種群捕食的特性，人類的非線性選擇收獲行為，以及稅收政策對生態系統穩定性和人類經濟利益的影響，建立了具有食餌避難、對食餌種群進行非線性選擇收獲的LeslieGower稅收模型. 通過分析得到了在稅收量τ

通過對系統動力學行為的研究發現：稅收的適當增加、捕獲成本的提高、食餌種群出售價格的降低以及收獲努力量的下降，都可以降低人類對食餌種群的收獲，從而使食餌種群、捕食者種群的平衡密度增加，從而達到合理地利用資源，維持生態系統的穩定與平衡，實現經濟利益的最大化的目的.

參考文獻

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