數形結合思想在解題中的應用研究

廖婧

摘 要：數學知識抽象性極高，因此將數形結合思想靈活運用，不僅便于解題，而且激發學生想象力以及創新能力，但采用數形結合思想解題時必須了解題目本質，把握基本的數學知識，將數學公式、概念靈活轉換成圖形，方能提高解題效率。本文著重講述數形結合的概念以及實例，以期拓展數形結合思想的應用。

關鍵詞：數形結合；數學

新課改背景下，數學知識點增多，且難度加大，解題方式多元化，而數形結合的靈活運用可以使抽象的數學問題簡化，以直觀的圖形形式呈現給學生，以輔助的方式引領學生探索答案。此方式不僅提高學生的數學興趣，而且有效加強思維創新以及想象能力，最關鍵的是將復雜的題目大幅簡化，減輕學生壓力，增加正確率。

一、數形結合的概念以及解決問題的對象

所謂數形結合，是指把握數學問題的本質，了解問題條件以及所需結果的內在聯系，不僅理解其代數關系，還需掌握幾何聯系，將代數關系以空間形式呈現，并從中探索出解題思路，進而獲得答案。總而言之，其本質在于將代數問題幾何化，抽象問題具體化。

目前，數形結合思想已廣泛運用于高中數學，例如：將函數問題轉化為幾何模型，從模型中提取參數范圍并求解；代數問題是數形結合思想應用效果最顯著的問題，根據圖形分析問題實質，了解斜率、截距、極值等數據，甚至從結構位置關系判斷代數關系，進而求解。

二、數形結合方法的意義

（一）激發學習興趣。抽象的數學問題會導致部分學生感到沉悶，甚至產生畏難情緒，這是由于他們無法掌握數學問題的本質，沒有解題思路。但圖形屬于直觀形式，將復雜問題簡單化，而且相比代數或者函數等數學內容，圖形會帶給學生熟悉感，進而激發學生的解題興趣，所謂興趣是學習的老師，因此，學生會更樂于迎接困難，鉆研問題。

（二）提高數學分析能力。眾所周知，絕大部分數學知識均為抽象的數字，而幾何知識只占據小部分，但若將數形結合思想代入數學學習，不僅將數學知識形式轉化，同時加強學生的空間想象力，尋求不同的解題方法，腦海中創建問題模型，提高數學分析能力。

（三）通過實踐表明，高等院校的數學課程經常將復雜的知識內容拆分為細小單元，找到幾何化思路，激發學生自主實踐能力，從繪畫圖形中尋找問題本質，而教師在教學過程中融合數形結合思想可以凸顯數學知識的魅力以及變化，并利用圖形意義為數字理論提供適當解釋以及補充，同時也展現高等數學所具備的嚴謹的邏輯思維。例如：高等數學知識中包含中值定理，大量的推導公式加深學生的理解難度，而結合圖形說明中值定理的概念意義并引導學生提出問題，不僅加強學生的邏輯思維能力，同時降低教師的主體地位，提高學生的主體地位，進而讓學生擁有克服困難的自信心。

三、結合實例來分析數形結合的實際運用問題

（一）概率問題中的數形結合思想解決方案。韋恩圖可以將包含關系清晰反映，概率問題中經常會遇見集合問題，因此，如果我們能夠善于利用韋恩圖梳理問題的內在聯系，進而獲得事件概率，則相比傳統的公式推理，復雜的計算流程，此數形結合手段更加清晰易懂，且便于學生解決難題，減少運算失誤。

（二）數列極限問題

眾所周知，《高等數學》教材中的數列極限知識點通常會描述定性知識，再進行定量描述，換言之，屬于無窮問題。該知識點具有極高的抽象性，學生難以憑借空間想象理解無窮的概念，因而，該章節成為高等數學的關鍵難點。但隨著數形結合思想的提出，教師可以通過幾何描述直觀呈現極限意義，進而有利于學生深入理解極限本質。當n趨近于無窮大時。數列Xn無限逼近常數a，換句話說，即便常數a的領域無限小，只要n超過某一極限值，那么Xn便會落在以u為中心的某個臨界范圍內，如圖1所示。

從圖中可以了解到極限本質上是動態逼近，我們可以抽取出某個靜止狀態講述內在含義，例如：實現繪畫出以a為區域中心，任意數值b為半徑的區內（a-b，a+b），我們一定可以發現數列Xn中從某項開始的后續所有項均位于該區間內，我們可以將其轉化為數學形式|Xn-a|

高等數學作為數學知識的高級課程，其內容更具抽象性，學生難以理解。如果將數形結合思想應用于數學解題，不僅簡化解題流程，而且加強學生學習興趣、提高邏輯思維能力以及減少失誤率，本文以概率問題以及數列極限問題為例，詳細分析數形結合思想在解題中的應用，以期推動數形結合思想的發展。

參考文獻：

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