基于耦合Van der Pol-Duffing系統的微弱信號檢測研究

石兆羽，楊紹普，趙志宏

(1.石家莊鐵道大學機械工程學院，河北 石家莊 050043;2.河北省交通安全與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043)

0 引 言

檢測微弱信號在早期機械故障檢測中是一項具有挑戰性的任務，傳統的檢測方法在強噪聲條件下會受到一定限制[1-3]?；煦缯褡訖z測系統具有對微弱周期信號敏感和對一定強度噪聲免疫的特性，使它在微弱信號檢測中非常具有優勢[4-6]。

Van der Pol-Duffing振子是非線性系統中具有代表性的一類系統，該系統可隨周期策動力強度的變化表現出豐富的非線性動力學特性，如倍周期分岔、混沌狀態、周期狀態等[7-9]。它對微弱信號敏感和對噪聲免疫，為其應用于微弱信號檢測領域提供了可能。作為經典混沌系統，Van der Pol-Duffing振子常被用于動力系統的建模，如今在物理、生物工程、神經學和經濟學等領域，很多非線性問題[10-16]，都可以簡化成為該系統來進行研究。隨著研究的深入，人們從研究低維混沌發展到研究高維時空混沌，耦合Van der Pol-Duffing系統就屬于高維時空混沌系統。耦合混沌系統的動力學行為比單振子更為復雜，它的同步和控制過程是光學、電子技術、生物學等領域的研究重點，受到了世界各國學者的關注。

本文研究了耦合Van der Pol-Duffing系統在微弱信號檢測當中的應用。利用該耦合系統對微弱信號的敏感性和對噪聲的免疫性以及Van der Pol-Duffing振子之間相互聯系和控制的工作特性，為混沌振子檢測微弱信號提供了新的方法。本文建立耦合Van der Pol-Duffing系統，分析該耦合系統的動力學行為，并根據耦合Van der Pol-Duffing系統的相變對微弱信號進行檢測，獲得較好的效果。

1 建立非線性耦合系統模型

Van der Pol-Duffing振子作為非線性動力學中最典型的自激振蕩系統之一，經常用來描述非線性工程學中重要的振蕩過程和建立復雜的動力學模型。此系統的形式如下：

式中：α——阻尼系數；

β——剛度系數；

fcos(ωt)——周期策動力；

f——周期策動力的幅值；

ω——周期策動力的頻率。

為了更好地說明此系統最具代表性的兩種動力學行為即混沌態和周期態，本節對該系統建立Simulink模型，用定步長四階Runge-Kutta法進行仿真。當系統參數為α=5，β=1，f=5，ω=2.466 rad/s，初值為 (0,0)時，通過觀察相圖可知，此時系統處于混沌狀態，如圖1(a)所示。當f取值為6，其余參數不變時，系統處于周期態，如圖1(b)所示。兩個相圖不僅展現了混沌振子最典型的兩種狀態，而且說明了混沌振子對參數的變化非常敏感。

圖1 Van der Pol-Duffing振子的相圖

根據式(1)，建立耦合Van der Pol-Duffing系統：

其中x，y，z是用來模擬系統狀態的無量綱變量，α1，α2，α3是 阻尼系數，β1，β2，β3是剛度系數，fcos(ωt+θ)是周期策動力，f是幅值，ω是頻率，θ表示初始相位，通常情況下，選取θ=0。當其他參數取固定值，耦合Van der Pol-Duffing系統的狀態會隨著幅值f的變化而變化。對于式(2)，可通過觀察系統處于混沌狀態還是周期狀態來判別輸入信號中是否含有微弱信號。式(2)的狀態方程為

2 不同參數對系統動力學行為的影響

混沌振子對系統參數的變化非常敏感，本節選取兩組系統參數，通過分別畫出耦合系統的分岔圖來研究系統參數對耦合系統動力學行為的影響。分岔是指系統某一參數達到臨界值時，系統行為發生突然變化的現象，研究分岔揭示了系統不同狀態之間聯系和轉化，與系統的結構穩定性聯系十分緊密。對于式 (3)，取 α1= 2.1，α2=3.0，α3=2.6，β1=1.1，β2=1.2，β3=1.0，ω=4.2作為第1組參數；α1=3.0，α2=3.2，α3=3.0，β1=1.1，β2=1.2，β3=1.0，ω=3.6作為第2組參數。在初值為(0,0,0,0,0,0)的條件下，應用Matlab畫出第1組參數下耦合系統的分岔圖，如圖2所示，顯示出了豐富的動力學行為。通過觀察此圖可以看出隨著周期策動力幅值f的逐漸增大，由于非線性特點，耦合混沌振子系統出現了倍周期分岔，混沌態和周期態的現象。該圖以周期策動力幅值f作為控制參數，f的取值范圍為[5，9]，步長為0.002 5。當周期策動力的幅值f的值為5.5時，根據分岔圖可知此時耦合系統處于穩定的周期態，通過 Simulink畫出相應的相圖，如圖3(a)所示。周期策動力的幅值f為6時，耦合系統處于混沌狀態，如圖3(b)所示。

圖2 第1組參數下耦合系統的分岔圖

圖3 第1組參數下耦合系統的相軌跡

圖4是第2組參數下耦合系統的分岔圖，系統同樣具有豐富的動力學行為。周期策動力f的取值范圍為[2，7]。圖5(a)和圖5(b)分別是f為2.2和2.3時耦合混沌系統處于混沌態和周期態的相圖。對比兩組參數下耦合混沌系統的分岔圖和相圖可知，參數的變化使得耦合系統的動力學行為發生了明顯改變，說明耦合混沌系統對參數的變化非常敏感，從而為檢測微弱信號提供了可能。

圖4 第2組參數下耦合系統的分岔圖

圖5 第2組參數下耦合系統的相軌跡

3 耦合Van der Pol-Duffing系統檢測微弱信號仿真實驗

微弱信號檢測是基于耦合混沌系統的相平面變化完成，該原理簡述如下：

首先調整周期策動力幅值為臨界閾值fe，使系統處于臨界狀態，然后將與周期策動力同頻率同相位的微弱周期信號與噪聲一起輸入到耦合混沌系統當中，微弱信號與周期策動力疊加后的幅值會大于臨界閾值fe，此時耦合混沌系統的相軌跡會由混沌態變為周期態，因而根據相軌跡的狀態就可以判斷噪聲中是否包含微弱信號。

3.1 臨界閾值的確定

為了獲得較精確的臨界點閾值，首先從分岔圖獲得系統臨界閾值的大概位置。在第2組參數下，f=2.2時系統處于混沌狀態，f=2.3時系統處于周期態。本文選取臨界閾值的范圍為[2.2,2.3] 。由于二分法用于求最優解，可將其用于求臨界閾值的精確值。步驟如下：

1)由于2.2對應耦合系統的混沌態，2.3對應周期態，取2.2～2.3的中間值2.25。

2)由于2.25對應混沌態，2.26對應混沌態，2.27對應周期態，所以f的取值范圍為[2.26,2.27]。然后f從2.26～2.27以步長為0.001增加到2.265，該值對應混沌態，2.267對應周期態。

3)確定臨界閾值fe為2.265。

3.2 檢測微弱信號

輸入微弱信號和噪聲后，由式(2)可得：

式中acos(ωt+θ)是微弱信號，幅值為a，n(t)=σ·ε(t)是高斯白噪聲。當輸入包含有與周期策動力同頻率同相位的微弱正弦信號的噪聲時，會有fe+a＞fe，由于系統對微弱周期信號敏感，對噪聲具有免疫力，相軌跡會由混沌態躍遷到周期態，此時就能判斷已經成功檢測到微弱周期信號。令fe=2.265，當a=0，σ=1時，即只輸入噪聲時，系統處于混沌狀態，如圖6(a)所示。當a=0.002，σ=0.03時，即輸入微弱信號和噪聲時，系統處于周期狀態，如圖6(b)所示。仿真結果說明噪聲不會改變耦合系統的相軌跡即該系統對噪聲具有免疫力而對微弱正弦信號敏感。

4 噪聲對耦合Van der Pol-Duffing系統的影響

為研究噪聲對耦合系統的影響，可對該系統輸入不同強度的噪聲來觀察系統運行軌跡的變化。當周期策動力幅值f=2.5且不輸入噪聲時，耦合混沌系統處于周期狀態。當輸入σ=0.1的噪聲時，雖然耦合混沌系統的相軌跡并未改變，但是由于噪聲的干擾，耦合系統輸出的的相軌跡邊界稍些粗糙，說明耦合系統對噪聲具有一定的抑制作用，如圖7(a)所示。當噪聲強度進一步加大到σ=0.3時，系統的相軌跡不再保持周期態，反而會表現為雜亂無章的混沌態，如圖7(b)所示，可見即使噪聲很強烈，相軌跡仍然保持在一定的范圍內運動，說明混沌吸引子對相軌跡具有束縛作用。圖7(c)為當周期策動力幅值為2.267時，相軌跡也保持在周期態，同樣輸入σ=0.1的噪聲時，耦合混沌系統卻并不能如f=2.5時一樣保持周期狀態，如圖7(d)所示，說明周期策動力的幅值精度較低時，系統受噪聲的影響相對比較小，精度較高時，噪聲對系統的影響較大。

圖6 耦合系統的微弱信號檢測仿真實驗

圖7 不同幅值下噪聲對系統的影響

現對σ進行取值，取值范圍為[0.01,0.1]，以此來檢測在噪聲條件下該耦合混沌系統檢測微弱信號的能力。仿真結果表明只有當σ≤0.047時，微弱信號才能被檢測到。圖8(a)和圖8(b)分別為σ=0.047，σ=0.15時耦合系統的相圖。因此，測得的信噪比門限為

圖8 噪聲變化對系統相軌跡的影響

在微弱信號檢測領域中，用傳統時域檢測方法得到的最低信噪比門限只有–10 dB，根據式(1)所建立的混沌系統信噪比門限為–18 dB，而耦合Van der Pol-Duffing混沌振子系統的信噪比門限為–30 dB，與前兩種方法相比大大降低了信噪比門限，說明該耦合混沌系統在微弱信號檢測領域非常具有優勢。

5 微弱信號與周期策動力不同頻率對檢測的影響

當微弱信號的頻率與周期策動力的頻率不同時，設周期策動力為2.265cos(3.6t)，微弱信號為0.035 cos(ωt)，假設ω取值為1和5。將該微弱信號輸入到耦合系統后，系統仍處于混沌態，如圖9(a)和圖9(b)所示。該情況表明當微弱信號與周期策動力頻率不同時，系統并不會發生相變，也就是說系統檢測不出與策動力不同頻率的微弱信號。

6 微弱信號與周期策動力不同相位對檢測的影響

設周期策動力為fecos(ωt)，微弱信號為acos(ωt+θ)以考慮微弱信號與周期策動力相位不同時對檢測帶來的影響。系統總的策動力為

圖9 微弱信號頻率變化對檢測的影響

7 結束語

本文提出了一種基于耦合Van der Pol-Duffing系統的微弱信號檢測方法。根據耦合方程建立了檢測模型，比較了兩組參數下系統的動力學行為，闡述了應用混沌振子檢測微弱信號的原理。仿真結果表明用耦合Van der Pol-Duffing系統檢測微弱信號是可行的，信噪比門限達到–30 dB。噪聲對該耦合系統的影響取決于周期策動力的幅值精度，精度越高，影響越大。該耦合系統檢測不出與周期策動力不同相位或不同頻率的微弱信號。本文的研究表明耦合Van der Pol-Duffing系統在微弱信號檢測領域具有一定的研究價值。