地球同步軌道SAR兩維奇異值分解成像方法

游 冬, 孫光才, 李亞超, 陳濺來, 邢孟道

(1. 西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071;2. 西安電子科技大學信息感知技術協同創新中心, 陜西 西安 710071)

0 引 言

星載合成孔徑雷達(synthetic aperture radar, SAR)不受光照、氣候等條件的影響,具有全天時、全天候、高分辨的工作能力。相對于機載SAR,星載SAR在較高的軌道高度運行,具有更長的連續對地觀測時間、更大的觀測范圍。目前在軌的星載SAR系統均為搭載于低軌衛星上的低軌星載SAR系統(low earth orbit SAR, LEO SAR),其軌道高度低,重訪周期長。1978年,Tomiyasu率先提出了地球同步軌道合成孔徑雷達(geosynchronous SAR, GEO SAR)的概念,隨著軌道高度提升至35768km,GEO SAR具有超大的測繪帶寬、僅為1天的重訪時間、以及超大的全軌覆蓋范圍。

由于軌道高度極高,GEOSAR具有超長的合成孔徑時間,軌道彎曲不可忽略,還需要考慮地球自轉的影響[1-2],衛星運動軌跡為復雜的曲線軌跡,同時測繪帶寬度增大,帶來了嚴重的二維空變問題[3-6],對系統參數設計[7-10]及性能分析[11-14]和成像算法設計[15-18]等帶來了許多問題。針對GEO SAR長合成時間曲線軌跡,文獻[19-22]推導了高階近似的斜距模型,采用級數反演(method of series reversion, MSR)方法求解了點目標回波二維頻譜,其中文獻[21-22]在成像過程中沒有考慮空變性的影響,僅利用場景中心參考點構造了匹配函數。文獻[23]提出了一種在距離頻域-方位時域進行二維插值校正距離和方位耦合的方法,并通過非均勻快速傅里葉變換(nonuniform fast fourier transform, NUFFT)來降低計算復雜度。文獻[24]針對長合成時間大方位場景方位空變嚴重的問題,提出了一種級聯的SVD -NCS方法校正方位空變。文獻[25]針對曲線軌跡提出了一種兩步NCS校正方位空變的方法。文獻[24-25]提出的NCS方法均通過距離分塊消除子塊內的距離空變,距離分塊方法對于大場景需要相當多的分塊,距離處理效率不高。

針對GEO SAR大場景成像存在的嚴重的二維空變問題,本文提出一種基于兩維奇異值分解(singular value decomposition, SVD)的成像方法。首先,基于四次多項式斜距模型,推導得到了二維空變的MSR二維頻譜,并將其分解為與距離空變的距離徙動(range cell migration, RCM)校正相關的距離信號和與方位聚焦相關的二維空變的方位信號;然后,利用SVD對距離空變信號進行分解得到距離和多普勒的二維耦合關系,并通過Stolt插值和距離頻率重采樣完成距離空變的RCM校正;最后,利用級聯的SVD-NCS算法完成方位空變校正[24],實現方位聚焦。該方法不需要對空變的MSR二維頻譜進行求解得到復雜的處理函數,通過奇異值分解可以簡化譜分析的復雜性。

1 GEO SAR信號模型

圖1為GEO SAR成像幾何模型,為了便于斜距的表示,將星地幾何關系在地球固定坐標系下表示。其中,ωe為地球自轉角速度,RT(tm)為tm時刻信號發射時的斜距,RR(tm+τ)為信號接收時的斜距,τ為信號發射接收的雙程時延,通常情況下τ在0.24 s左右[26],不可忽略;P(X,RB)為場景中任意點目標,P0(X0,R0)為場景中心點。

圖1 GEO SAR成像幾何模型Fig.1 Geometry of GEO SAR imaging system

衛星到場景中點目標P的雙程斜距采用4階多項式斜距模型可以表示為

R(tm;RB,X)=RT(tm;RB,X)+RB(tm;RB,X)=

(1)

式中,ki(RB,X)(i=0～4)為雙程斜距的各階泰勒展開系數。考慮到二維空變高次項的影響,ki(RB,X)應建模為RB和X的二階多項式模型。

設GEO SAR發射的信號是chirp信號,場景中任意點目標P的基頻回波信號為

(2)

式中,R(tm;RB,X)如式(1)所示,為4階多項式斜距模型；c為光速;γ為發射信號的調頻率;λ為載波波長;tr和tm分別為快時間和慢時間;ar(·)和aa(·)分別為線性調頻信號距離向和方位向的窗函數。通過駐定相位原理和級數反演法可以得到4階斜距模型精確的信號的二維頻譜表達式,下面給出距離脈壓后的點目標P的二維頻譜表達式:

S(fr,fa;RB,X)=Ar(fr)Aa(fa-fdc)·

exp(jΦ(fr,fa;RB,X))

(3)

式中,fr和fa分別為距離頻率和方位多普勒頻率;fdc為多普勒中心頻率;相位Φ(fr,fa;RB,X)是文獻[22]中推導得到的MSR二維頻譜。需要注意的是斜距各階展開系數ki(i=0～4)均為式(1)中的二維空變系數ki(RB,X)(i=0～4)。根據文獻[25],Φ(fr,fa;RB,X)可以分解為

Φ(fr,fa;RB,X)=Φr(fr,RB;fa)+Φa(fa,X;RB)

(4)

式中,Φr(fr,RB;fa)和Φa(fa,X;RB)分別是與距離空變的RCM校正相關的距離信號和與方位聚焦相關的二維空變的方位信號。

2 二維空變SVD特性分析

基于MSR方法求解的二維頻譜形式復雜,且該二維譜隨距離維和方位維是二維空變的,因此求解各處理函數比較復雜。而奇異值分解可以作為一種高效的數學工具將復雜的二維頻譜表示為易于處理的形式。式(5)給出了任一相位矩陣Φ奇異值分解后的表達式[27-28]

Φ=UΣVH=

(5)

表1 GEO SAR系統參數

2.1 距離空變SVD特性分析

根據式(5),距離信號經過SVD后可以表示為

(6)

式中,Url(fr;fa)·Vrl(RB;fa)是距離SVD的第l個特征分量;對每個多普勒單元fa,Url(·)是距離頻率fr的多項式函數,Vrl(·)是距離RB的多項式函數。

距離空變會隨著距離分辨率和距離場景寬度的增加而加劇。在一定的距離分辨率下,當距離場景寬度不是非常大時,用距離SVD的第一個特征分量表示距離信號的剩余相位誤差Φr_error_1(RB)<π/4 rad,第一個特征分量可以精確地表示距離信號;隨著距離場景的增大,距離信號將需要兩個或更多的特征分量才能精確表示。圖2給出了在表1的系統參數下,不同距離場景寬度對應的剩余相位誤差Φr_error_1(RB),其中藍色實線表示剩余相位誤差,紅色虛線表示π/4 rad的精度要求。從圖2中可以看出,當距離場景寬度為150 km時,距離信號可以用第一個特征分量精確表示;而當場景寬度非常大時,例如500 km時,距離信號必須用兩個甚至更多的特征分量才能精確表示。

圖2 距離空變SVD特性分析Fig.2 Range variation analysis by SVD

2.2 方位空變SVD特性分析

與距離空變SVD特性分析類似,可以得到方位信號的SVD結果

(7)

式中,Ual(fa;RB)·Val(X;RB)是方位SVD的第l個特征分量;對每個距離單元RB,Ual(·)是多普勒頻率fa的多項式函數,Val(·)是方位位置X的多項式函數。

與距離信號類似,方位空變也隨著方位分辨率和方位場景寬度的增加而加劇。在一定的方位分辨率下,仿真分析了不同方位場景寬度下的SVD結果如圖3所示。

圖3 方位空變SVD特性分析Fig.3 Azimuth variation analysis by SVD

由于方位信號的空變相較于距離信號的空變更嚴重,方位信號可能將不能用一個特征分量簡單表示,因此圖3(a)給出了用方位SVD的第一個特征分量表示方位信號的剩余相位誤差Φa_error_1(X),圖3(b)給出了用方位SVD的前兩個特征分量表示方位信號的剩余相位誤差Φa_error_2(X)。從圖3(b)中可以看出,在方位場景寬度為150 km時,方位信號需要用兩個特征分量精確表示,當方位場景繼續增大時,方位信號甚至需要3個或者更多的特征分量才能表示。用第一個特征分量表示方位信號雖然可以通過簡單的插值處理校正方位空變,但是從圖3(a)可以看到,一個特征分量基本無法精確表示方位空變信號,而且方位分塊操作存在很多問題,例如在經過方位分塊處理后會出現柵瓣現象,使成像質量降低。針對兩個特征值能夠表示方位信號的情況,文獻[24]提出了一種級聯的方位SVD方法校正方位空變,可以對較大的方位場景完成方位空變校正,得到很好的聚焦效果。本文在經過距離空變校正后將采用該方法完成方位空變校正及方位聚焦。

3 基于SVD的GEO SAR成像方法

圖4給出了本文提出的GEO SAR兩維奇異值分解成像方法流程圖,其處理步驟主要可以劃分為兩個部分:第一部分是基于距離塊的SVD-RCMC算法,通過一次距離SVD實現距離空變校正;另一部分是級聯的方位SVD-NCS算法,通過級聯的兩次方位SVD完成方位空變校正。

圖4 算法流程圖Fig.4 Block diagram of algorithm

3.1 基于SVD的距離空變校正方法

由第2.1節的距離空變的SVD分析結果可知,在較大的子距離塊中與距離空變的RCM校正相關的距離信號可以用SVD后的第一個特征分量表示

Φr(fr,RB;fa)=Ur1(fr;fa)·Vr1(RB;fa)

(8)

在GEO SAR曲線運動軌跡情況下,通過SVD得到的特征向量Ur1(fr;fa)和Vr1(RB;fa)分別是fr和RB的高階多項式。注意到各特征向量為數值列向量,因此可以通過數值方法得到多項式的各階系數[30],通過仿真分析可知高階項(三階及以上)對相位的影響遠小于π/4 rad,可以忽略。故下面將Ur1(fr;fa)和Vr1(RB;fa)分別對fr和RB展開到二階:

(9)

注意到式(8)和式(9)中的參變量fa,它代表著距離與多普勒的耦合。對每一個多普勒單元均進行式(8)的距離SVD,可以得到距離與隨多普勒變化的系數Ai(fa)、Bi(fa)之間的耦合關系。利用距離SVD得到的這個耦合關系,將每個多普勒單元的距離信號通過插值和重采樣變換到參考多普勒單元的參考距離信號即可實現距離空變的RCM校正。

(10)

式中,系數C0和C1將通過下面的參考多普勒處的SVD得到。考慮到選取的參考多普勒單元將帶來的形變問題,選取多普勒中心fdc作為參考多普勒單元,參考多普勒處的SVD結果由下式給出

Φr(fr,RB;fdc)=Ur1(fr;fdc)·Vr1(RB;fdc)=

(11)

經過式(10)的第一次Stolt插值后,距離信號表示為

(12)

觀察式(11)和式(12),可以發現通過構造下面的距離空變的距離頻率重采樣方程即可完成距離空變的RCM校正

(13)

其中重采樣系數α(RB)為

(14)

經過距離空變校正后,距離信號表示為

(15)

式中,等號右邊第一項與多普勒有關的相位是距離SVD處理引入的方位剩余相位,會影響之后的方位聚焦處理導致散焦。通過在距離多普勒域構造相應的補償函數將其補償為與參考多普勒單元(即式(11))相同的形式,即可完成方位剩余相位補償。方位剩余相位補償函數為

Haz_res(RB,fa)=exp(-jC0(B0(fa)+

(16)

exp(jΦa(fa,X;RB))

(17)

注意到,因為本節的距離空變的RCM校正處理僅對距離頻率fr進行操作,不會對方位聚焦相位Φa(fa,X;RB)產生影響,故下面可以直接對方位信號Φa(fa,X;RB)進行級聯的SVD完成方位聚焦。

3.2 基于SVD的方位空變校正方法

經過第3.1節的距離空變的RCM校正后,在每個子距離塊中,與距離信號類似,式(17)中的方位信號是二維空變的。文獻[24]提出了一種級聯的SVD-NCS方位空變校正方法,在這里可以通過該方法校正方位空變完成方位聚焦。下面對該方法進行簡單的描述。

對子距離塊中的每個距離單元RB的方位信號進行SVD,根據第2.2節的方位空變SVD特性分析結果,分解后的信號需要由兩個特征分量表示。級聯的SVD-NCS方法首先通過第一次SVD-Stolt補償第一個特征分量(即主要特征分量)的高次項,然后通過在方位時域引入一個三次擾動函數,使得與三次擾動函數相乘后的信號的二維頻譜經過第二次SVD分解可以僅由一個特征分量表示,最后對整合后的這個特征分量進行Stolt插值即可完成方位空變校正。

4 仿真結果及分析

4.1 距離空變校正結果

仿真場景點目標分布如圖5所示,其中距離向場景寬度為300 km,方位向場景寬度為100 km。仿真系統參數如表1所示。為了驗證本文提出的基于SVD的距離空變校正方法的有效性,下面首先給出大距離測繪帶的距離空變校正結果。

采用本文算法對大距離測繪帶進行距離空變的RCM校正,圖6(a)給出了距離中心點匹配后的A點信號包絡,可以看到距離空變嚴重,將影響距離聚焦;圖6(b)為距離中心點匹配后的中心點O的信號包絡。本文所提方法的目標是通過一次SVD將各距離單元點目標包絡校直。圖7(a)給出了直接對A點進行一次距離SVD空變校正后的包絡結果,可以看到包絡未被完全校直,距離空變未被完全校正,將影響距離聚焦結果;根據第2.1節的距離空變SVD特性分析結果,圖7(b)給出了經過150 km距離分塊后的距離空變RCM校正結果,可以看到經過距離分塊后,場景邊沿點目標的包絡被校直,距離空變被校正。

圖5 仿真場景示意圖Fig.5 Simulation scene

圖6 中心點匹配后點目標包絡Fig.6 Signal envelope after center point matching

圖7 距離空變校正結果Fig.7 Range variation correction result

4.2 點目標成像仿真

采用本文提出的兩維SVD成像方法對圖5中設置的300 km×100 km的場景成像。圖8和圖9分別給出了文獻[18]和本文方法對場景邊沿點目標P成像的等高線圖,方位剖面圖和距離剖面圖。從圖8中可以看到,由于還存在空變的三次項,點目標副瓣抬升,散焦嚴重。而從圖9中可以看到,采用本文提出的兩維SVD成像方法,點目標距離和方位均聚焦良好,其距離PSLR和ISLR分別為-13.26 dB和-10.15 dB,方位PSLR和ISLR分別為-13.20 dB和-10.23 dB,均非常接近理論值,滿足成像需求,驗證了本文方法的有效性。

圖8 文獻[18]對場景邊沿點目標P成像結果Fig.8 Imaging result of point P by reference[18]

圖9 本文所提算法對場景邊沿點目標P成像結果Fig.9 Imaging result of point P by this paper

5 結 論

本文以地球同步軌道SAR為背景,研究了長合成時間寬測繪帶情況下嚴重的二維空變問題。本文提出了一種基于奇異值分解的地球同步軌道SAR兩維成像方法,該方法不需要對二維空變的二維頻譜進行復雜的推導構造處理函數,而是通過奇異值分解對空變的信號進行分析,然后利用空變信號奇異值分解后的特性先通過距離Stolt插值和距離頻率重采樣的方法校正距離空變,最后采用一種級聯的SVD-NCS算法校正方位空變。仿真結果驗證了本方法的有效性。