基于NSGA-Ⅱ的拖拉機傳動箱齒輪系參數優化

楊思灶，夏長高

(江蘇大學 汽車與交通工程學院， 江蘇 鎮江 212013)

拖拉機傳動箱的齒輪系統是拖拉機傳動系統的重要組成部分，拖拉機傳動系統性能的好壞很大程度上取決于傳動箱齒輪系。國內拖拉機傳動箱齒輪系大多利用傳統方法進行設計，即根據經驗、公式估算等方法初選齒輪系各參數，再進行相關校核計算。這樣設計的傳動箱存在結構質量大、效率不高等問題。因此，進行拖拉機傳動箱齒輪系的優化研究十分必要。國內不少研究人員對不同農機的傳動箱進行了優化研究，

陳小亮[1]以輕量化為目標，對高速插秧機主變速箱的齒輪、軸和箱體的進行了優化設計。張奇巍[2]利用Matlab優化工具箱以體積最小為目標，對變速箱1擋齒輪副進行了優化。Yallamti Murali Mohan與R.C.Sanghvi等[3-4]利用多目標遺傳算法對齒輪進行優化設計，降低了齒輪總質量。但是上述文獻都沒有考慮到優化后齒輪參數的變化可能會影響齒輪的嚙合效率。由于拖拉機傳動箱通常擋位數較多，且帶有動力輸出(PTO，power take off)機構，不同于通常的汽車變速箱，其傳動齒輪系較復雜，使得動力從輸入到輸出之間需要通過多對齒輪的傳遞。由于每對嚙合齒輪都有一定的效率損失，必將導致傳動箱總效率的下降。所以，在齒輪系設計過程中提高每對嚙合齒輪的嚙合效率顯得更加重要。同時，因為拖拉機傳動箱的擋位數多、齒輪數多，齒輪在傳動箱中的質量比重也比通常的汽車變速箱大。為此，本文以輕量化和高效傳動為雙目標建立拖拉機傳動箱齒輪系的優化數學模型。

1 雙目標優化模型

1.1 優化目標函數

由于拖拉機傳動箱齒輪系具有齒輪數多、齒輪嚙合對數多的特點，導致其結構質量大、嚙合效率損失大。因此，齒輪系的總嚙合效率與齒輪總質量有較大的優化空間，將其作為本文研究的兩個優化目標。

1) 齒輪總體積的目標函數

在材料相同的情況下，齒輪的質量與體積相關，為了計算簡便，可將齒輪體積作為目標函數。忽略齒形與軸孔，將齒輪視作一個圓柱，則

(1)

式中：V為齒輪系齒輪的總體積；bi為第i對齒輪副的齒寬；m為模數；zi1為第i對齒輪副主動齒輪的齒數；zi2為第i對齒輪副從動齒輪的齒數。

2) 齒輪系嚙合效率的目標函數

忽略滾動摩擦功率損失、將滑動摩擦因數視為定值、忽略齒輪的加工誤差和安裝誤差，則直齒輪的平均嚙合效率公式為[5]

(2)

其中：

(3)

Q1=f-1+tanα

(4)

Q2=f-1-tanα

(5)

(6)

(7)

則齒輪系嚙合效率的目標函數為

(8)

1.2 優化變量

根據上述分析，將各齒輪副齒輪的齒數zi1與zi2、模數m、壓力角α、齒寬bi作為設計變量。從工藝方面考慮，各擋齒輪應該選用一種模數，而從強度方面考慮，各擋齒輪應選用不同的模數[6]。為了加工方便，降低成本，令各擋位齒輪的模數與壓力角相等。綜上所述，優化變量為

x=[xi]=[m,bi,α,zi1,zi2]

(9)

1.3 約束條件

1) 性能條件約束

性能條件約束包括齒面接觸疲勞強度約束和彎曲疲勞強度約束。依據文獻[7]確定齒面接觸疲勞強度約束條件和齒根彎曲疲勞強度約束條件如下。

齒面接觸疲勞強度約束：接觸強度的計算安全系數應不小于其相應的最小安全系數，即

SHmin-SH≤0

(10)

式中：SHmin為接觸強度的最小安全系數；SH為接觸強度的計算安全系數。SH的計算公式為

(11)

式中：σHlim為試驗齒輪的接觸疲勞極限；ZNT為接觸強度計算的壽命系數；ZLVR為潤滑油膜影響系數；ZW為工作硬化系數；接觸強度計算的尺寸系數；ZH為節點區域系數；ZE為材料彈性系數；Zεβ為重合度與螺旋角系數；Ft為端面內分度圓上的名義切向力；bi為工作齒寬；d1為小齒輪分度圓直徑；u為齒數比；KA為使用系數；KV為動載系數；KHβ為接觸強度計算的齒向載荷分布系數；KHα為接觸強度計算的齒間載荷分配系數。

齒根彎曲疲勞強度約束：彎曲強度的計算安全系數應不小于其相應的最小安全系數，即

SFmin-SF≤0

(12)

式中：SFmin為彎曲強度的最小安全系數；SF為彎曲強度的計算安全系數。SF的計算公式為

(13)

式中:σFE為彎曲疲勞強度基本許用應力；YNT為彎曲強度計算的壽命系數；YδrelT為相對齒根圓角敏感系數；YRrelT為相對齒根表面狀況系數；YX為彎曲強度計算的尺寸系數；Ft為端面內分度圓上的名義切向力；bi為工作齒寬；m為法向模數；KFβ為彎曲強度計算的齒向載荷分布系數；KFα為彎曲強度計算的齒間載荷分配系數；YFS為符合齒形系數；Yεβ為重合度與螺旋角系數。

2) 設計準則約束

模數的約束：齒輪的模數直接影響齒輪的幾何大小和齒輪的抗彎疲勞強度，參考大量小型拖拉機變速箱采用的模數，確定模數m的約束條件為

2-m≤0，m-3.5≤0

(14)

齒數的約束：如果齒數過少，齒輪在加工時會產生根切現象，導致齒根厚度變薄，齒輪抗彎曲能力下降，重合度減少，影響傳動的平穩性。為了避免根切，標準直齒圓柱齒輪的最小齒數為17。但由于本文研究對象可采用變位齒輪，因此放寬小齒輪最小齒數的約束，為

14-zi1≤0

(15)

齒寬的約束：齒寬的大小通常由模數初定，它的大小直接影響齒輪的強度。一般直齒輪齒寬b=(4～8)m，相應的約束條件為

4m-bi≤0，bi-8m≤0

(16)

壓力角的約束：壓力角影響齒輪的效率和強度。一般壓力角的常用范圍為14.5°～25°，相應的約束條件為

14.5×π/180-α≤0

α-25×π/180≤0

(17)

3) 設計要求約束

針對具體的某款拖拉機變速箱，還有與其設計要求相關的約束條件，本文的研究對象還包含傳動比要求和中心距要求。

傳動比約束條件為

zi2/zi1-ii=0

(18)

中心距約束條件為

(19)

式中a為齒輪副中心距。

2 雙目標優化模型求解方法

傳統的多目標優化方法通常通過構建一個評價函數，將多目標轉化為單一目標進行求解，例如加權法、約束法、目標規劃法等[8]。但是由于本文兩個優化目標中，一個是百分比，一個是體積，它們各自具有不同的量綱和物理意義，沒有共同的度量標準，無法進行定量比較，而且兩個目標之間存在相互聯系和制約，因此傳統方法不能很好滿足求解該問題的要求。

為了解決上述雙目標優化的求解問題，選擇使用帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ，Non-dominated sorting Genetic Algorithm Ⅱ)，能夠得到一組最優解集，使得各目標不能同時達到各自的最優值， 最優解集中的這些解之間無法進一步比較互相間的優劣性，該解集稱為Pareto最優解集(Pareto optimal solutions)。再根據經驗和實際情況，權衡所有Pareto最優解之后，從中選取一組最優解作為本文雙目標優化問題的最終解。

NSGA-Ⅱ的基本思想[9]：首先，隨機產生規模一定的初始種群，對其進行非支配排序，初始化種群中每個個體的非支配排序值；其次，通過遺傳算法的選擇、交叉、變異得到第1代子代種群；然后，從第2代開始，將父代種群與子代種群合并，再對其進行快速非支配排序，同時對每個非支配層中的個體進行擁擠度計算，根據非支配關系以及個體的擁擠度選取合適的個體組成新的父代種群；最后，通過遺傳算法的基本操作產生新的子代種群；依此類推，直到滿足程序結束的條件。相應的程序流程如圖1所示。

圖1 NSGA-Ⅱ基本流程

3 實例分析

3.1 優化對象簡介

選取某拖拉機傳動箱為優化對象，其傳動方案如圖2所示。以傳動箱的低1擋(1擋1對齒輪+高低擋低檔2對齒輪)為例，對其進行雙目標優化。該擋位的傳遞路線如圖2中箭頭所指，原齒輪參數為：中心距a=105 mm；模數m=3；壓力角α=20°；1擋傳動比為2.455，齒寬b1=15 mm，主動齒輪齒數z11=20，從動齒輪齒數z12=49；高低擋主動齒輪副傳動比為2.136，齒寬為12 mm，齒數z21=22，z22=47；高低擋從動齒輪副傳動比為2.136，齒寬為16 mm，齒數z31=22，z32=47。根據整機參數算得的3對齒輪副小齒輪上的最大扭矩分別為T1=112.45 N/m，T2=60.37 N/m，T3=128.98 N/m。根據式(1)算得的齒輪總體積為829 986 mm3；根據式(2)算得的總嚙合效率為96.859 2%。

由于該傳動箱前部還可加裝HST，因此中心距必須等于已選定的HST的中心距，即a=105 mm；小型拖拉機變速箱模數m取值為2、2.5、3、3.5。

圖2 傳動系統簡圖

3.2 優化的結果與分析

遺傳算法中，種群個體數目N即初始解的個數，N的取值越大，優化結果越好，但是迭代次數和計算時間也會越長。根據經驗，N的取值范圍在20～150之間，或者取值為變量個數nv的50倍但不超過200。最大遺傳代數Ngen即運算的最大迭代次數，Ngen的取值一般在100～500之間，或者取值為變量個數nv的100倍。

利用Matlab優化工具箱編寫程序求解該優化問題。本文為了獲得更好的優化結果，取N=200，Ngen=1 000，運行優化程序后最終得到的Parato最優解，如圖3所示。

圖3 雙目標優化結果

優化程序運行后的齒寬和齒數結果均不是整數，因此需要對其進行圓整。優化結果的參數圓整之后如表1所示。各優化結果與原參數結果的總體積和總效率對比如表2所示。

表1 雙目標優化圓整結果

表2 各結果與原參數結果的對比

結合表1和表2可以看出：變量壓力角α的優化結果為25°，其中結果1～6的齒輪模數為3，齒輪總體積減少了6%～12%，齒輪系總嚙合效率提升了0.36%～0.46%；結果7～9的齒輪模數為2.5，齒輪系的嚙合效率提升較大(0.82%～0.85%)，但齒輪總體積增加了9%～10%；結果10和11的齒輪模數為2，齒輪系的嚙合效率得到了大幅度提升(1.26%左右)，但是齒輪總體積也增加了50%左右。經過權衡，選取結果2為最終的優化結果。優化后的齒輪系嚙合效率為97.297 6%，與優化前相比提高了0.45%，優化后的齒輪總體積為770 886 mm3，與優化前相比降低了7.12%。

3.3 優化后齒輪參數的最終確定

經過優化，該傳遞路線各擋位的傳動比i，中心距a，模數m，壓力角α，齒數zi1，zi2和齒寬bi都已確定。由于齒數經過圓整，因此還需對齒輪進行變位才能滿足中心距的要求。利用專業齒輪箱設計軟件Kisssoft，將已知參數和齒輪受力數據輸入軟件的齒輪副設計模塊，在變位系數中選擇最佳滑移率，可得到6個齒輪的最終變位系數，如表3所示。

表3 變位系數結果

4 結束語

本文建立了以齒輪系齒輪總體積最小、總嚙合效率最高為優化目標的雙目標優化模型。提出了利用帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)求解該模型。以某拖拉機傳動箱低1擋為例，利用Matlab對雙目標優化模型進行求解。結果表明：齒輪系總嚙合效率和齒輪總體積均得到了有益的結果。本研究為拖拉機傳動箱齒輪系的優化設計提供了新的思路。