基于非線性回歸分析的顏色與物質濃度辨識

年福耿,黃 輝

(海軍士官學校,安徽 蚌埠 233012)

1 問題1模型建立與求解

1.1 問題一模型的建立

判斷顏色讀數和物質濃度之間的相關關系.可建立基于Pearson簡單相關系數為基礎的相關性檢驗模型。

1.1.1 Pearson簡單相關系數

計算樣本Pearson相關系數r；

樣本Pearson相關系數r的數學定義如下：

r=1n∑n=i=1)xi-Sx)(yi-Sy)

(1)

式1中，n為樣本量，xi和yi分別為兩變量的變量值。說明簡單相關系數式n個xi和yi分別標準化后的積的平均數.

Pearson 相關系數r的取值介于-1～1之間，具體取值的絕對值越接近1說明相關度越高.

1.1.2 可決系數的擬合檢驗

可決系數 是自變量 和因變量 的簡單相關系數r的平方.可反映回歸方程所能解釋的變差比列(摘自《統計分析與SPSS的應用》第四版)，其計算公式如下：

(2)

由式2可知， 的取值在0～1之間， 值越接近1，說明回歸方程對樣本數據點的擬合優度越高。

1.2 問題一模型的求解

1.2.1 Pearson簡單相關系數證明

利用SPSS 軟件將組胺、溴酸鉀、工業堿、硫酸鋁鉀和奶中尿素在不同濃度下與各色度的取值做相關性分析，可得到Pearson相關系數的值和顯著性水平p的值.本文以組胺為例。

表1 組胺相關性分析

由表1可知，組胺濃度與藍色數值的相關系數為-0.972，由于其顯著性值0.000小于給定的顯著性水平0.01，則拒絕兩總體無顯著關系的假設.從相關系數可以看出，藍色數值與組胺濃度負相關，相關程度為高度相關，即一定程度上藍色數值越小，組胺濃度越大。

同理可知，綠色數值與組胺濃度負相關且高度相關；紅色數值與組胺濃度負相關且高度相關；色調數值與組胺濃度負相關且高度相關；飽和度數值與組胺濃度正相關且高度相關。

通過計算可得組胺、溴酸鉀、工業堿、硫酸鋁鉀和奶中尿素與各顏色數值的相關系數，如表2所示。

表2 各顏色數值的相關系數

表2是各種溶液顏色數值與濃度之間的相關系數，可見溶液顏色與濃度之間相關度是比較高的。

1.2.2 可決系數 的擬合檢驗

首先，利用SPSS 軟件繪制五種物質濃度值與藍、綠、紅、色調、飽和度數值的散點圖，利用散點圖進行線性擬合處理，得到各散點圖直線擬合的 值.本文以組胺為例，如圖1所示。

圖1 組胺各顏色數據散點及直線擬合圖

組胺濃度與藍色數值的R2=0.946>0.64；組胺濃度與綠色數值的R2=0.994>0.64。

組胺濃度與紅色數值的R2=0.876>0.64；組胺濃度與色調數值的R2=0.96>0.64。

組胺濃度與飽和度數值的R2=0.931>0.64。

將五個 求均值，均值為0.942 ，說明將組胺數據進行線性擬合和時，擬合程度為94.2%，從而論證組胺的顏色讀數和物質濃度之間相關性較高。

同理可得溴酸鉀、工業堿、硫酸鋁鉀和奶中尿素與各顏色數值的 值和均值，如表3所示。

表3 各物質與各顏色值的相關系數

1.3 建立評價準則

通過研究Pearson相關系數和可決系數和數量可得到如下準則：

準則一：Pearson 相關系數的絕對值越大，且能通過顯著性水平檢驗，數據越優；

準則二：可決系數 數值越大，數據進行線性擬合度越高，數據越優；

準則三：數據量越大，即檢驗次數越多，擬合度越準確，數據越優。

根據建立的數據評價原則，本文對五種數據分別進行相關系數比較、可決系數比較、數據量比較，可得到三種排名.為了避開三種標準下的排名沖突，本文通過三類排名之和比較五組數據的優劣.排名合計值越小，數據越優.具體情況如表4所示。

表4 評價原則排名合計

通過該表的排名名次求和，名次求和越小越好，所以可得組胺的數據最好，而五組數據從優到劣的排序為組胺、溴酸鉀、硫酸鋁鉀、奶中尿素、工業堿。

2 問題二模型的建立與求解

2.1 問題二模型的建立與求解

2.1.1 多元線性回歸模型建立與求解

以紅色、綠色、藍色、飽和度、色調為自變量，物質濃度為因變量，用SPSS軟件對其進行回歸分析.首先，進行五種顏色數值與濃度的線性回歸分析，依據多元線性回歸模型，建立本文線性線性回歸模型：

y=β0+β2r+β2g+β3b+β4s+β5h

經過SPSS軟件分析，得出問題二的線性相關回歸模型為：

y=5063516-5.96r-26.2g+8.36b-9.905s-15.159h

利用線性回歸模型可以求解出檢查數據的濃度對應的回歸計算濃度,如表5所示。

表5 多元線性回歸解得濃度值

回歸結果分析：

五種顏色數值共同作為自變量時R2為0.900，說明二氧化硫濃度有90%受這幾個顏色數值影響。

驗證回歸式顯著性的F值是3.590，Sig.=0.38>0.05，顯著符號是“*”，則說明模型受誤差因素干擾太大，沒有通過檢驗，所以回歸效果不好。

2.1.2 多元非線性回歸模型建立與求解

由于多元線性回歸模型效果不好，所以建立多元非線性回歸模型：

y=w0+∑ni=1qixi+∑ni=1pix2i

注：w0為常數項，q為一次變量系數，pI為二次變量系數，n為自變量數量。

本文二氧化硫的顏色數據為五維，結合多元非線性回歸模型建立五維的二氧化硫回歸分析模型：

y=β+β1r+β2r2+β3g+β4g2+β5b+β6b2+β7s+β8s2+β9h+β10h2

經過SPSS軟件分析，得出二氧化硫多元非線性回歸方程為：

y=52494.39656+5.06846r-0.04568r2-33.51444g+0.18322g2+96.35998b-0.28502b2-864.77807s+3.14512s2+6.36228h-0.00901h2

利用二氧化硫非線性回歸方程可以求解出，檢驗數據的濃度對應的回歸計算濃度值,如表6所示。

表6 多元非線性回歸解得濃度值

從表6可以看出，多元非線性回歸模型求解的結果 ，比多元線性回歸模型的結果 大.因此，所建立的非線性回歸模型要優于多元線性回歸模型，可以利用多元非線性回歸模型表示顏色讀數和物質濃度的關系.

2.2 誤差分析

2.2.1 平均相對誤差模型的建立

一般來說，相對誤差更能反映理論值的可信程度.為了檢驗上文中模型的可行性與可靠性，本文建立相對誤差分析模型：

αi=│Si-Li│Si×100% 由于題中所給出的數據中有多種濃度，所以本文取所有相對誤差的平均值作為模型的最終誤差，建立平均相對誤差模型如下：

2.2.2 平均相對誤差模型的求解

將多元線性和非線性回歸的計算數據帶入評價相對誤差模型，由于計算相對誤差時需要除實際數據，而實際數中有濃度為0的數據，所以對于濃度為0的數據只求平均誤差，進行對比評價.結果如表7所示。

由表7可見當濃度為0時，非線性回歸的誤差要小于線性回歸的誤差。

對于其他非0濃度數據，可以利用評價相對誤差模型計算平均相對誤差，來評價模型優劣，計算得出結果.多元線性和非線性回歸模型的平均相對誤差分別為34.6%和11%，可見多元非線性回歸模型效果較好。

表7 0濃度數據絕對誤差分析

3 問題3模型的建立與求解

3.1 數據量對模型的影響

本文對同種物質的不同組濃度數值與顏色數值，用非線性回歸模型求解，通過對不同組物質濃度的非線性回歸方程的可決系數 及所求得的平均相對誤差相比較，探索數據量對模型的影響。

本文將二氧化硫濃度分為三組，分別為六種二氧化硫濃度、五種二氧化硫濃度、四種二氧化硫濃度，具體分組見表8。

表8 數據量的選擇方案

利用問題二模型，用SPSS軟件分別求出六種濃度、五種濃度、四種濃度的非線性回歸方程及R2值，不同數據量和的SPSS輸出結果，各方程如下：

六種濃度的非線性回歸方程：

y=-26530.85338-301.1942r+1.04870r2-15.11929g+0.10741g2+11.49582b-0.04834b2+704.78935s-2.61041s2+4.16098h+0.1317h2

五種濃度的非線性回歸方程：

y=-57787.31738-144.88254r+0.50553r2-163.94082g+0.78356g2+8.99396b-0.02992b2+1103.95843s-4.05614s2+16.68831h-0.06937h2

四種的濃度非線性回歸方程：

y=-26530.85338-301.61942r+1.04870r2-15.11929g+0.10741g+11.49582b-0.04834b2+704.78935s-2.61041s2+4.16098h+0.01317h2

再用非線性回歸方程計算三組不同種濃度的數值對應的理論濃度，并用Excel計算平均相對誤差.三種不同數據量情況下的誤差系數及R2值如表9所示。

表9 數據量對模型的影響

對結果進行分析可得，隨著濃度種類的減少，即數據量減少， 值增大，模型的準確性增高。但由于數據變少，沒有數據的濃度回歸模型計算所得結果與實際相差較大所以造成最后的平均相對誤差增大。

3.2 顏色維度對模型的影響

對同種物質的不同顏色維度與物質濃度，用非線性回歸模型求解，通過對不同顏色維度得出的非線性回歸方程的可決系數 及所求得的平均相對誤差相比較，探索顏色維度對模型的影響。

本文將顏色維度分為六維顏色維度、五維顏色維度、四維顏色維度、三維顏色維度，具體內容見表10。

表10 維度的選擇方案

最后，用SPSS軟件得出四種維度下的非線性回歸方程及 值，不同維度的SPSS輸出結果，各方程如下：

三維顏色維度非線性回歸方程：

y=10770.64172-209.28194r+0.709332r2-38.11511g+0.17376g2+72.36017b-0.20102b2+5.60757g-0.02878h2

四維顏色維度非線性回歸方程：

y=52494.39656+5.06846r-0.04568r2-33.51444g+0.18322g2+96.35998b-0.28502b2-864.77807s+3.14512s2+6.36228h-0.00901h2

五維顏色維度非線性回歸方程：

y=54.286.55996-1880.64040r-0.92992r2-411.52973g-0.29355g2-685.60944b-0.09269b2-887.96192s+3.22375s2+5.08980h+0.00157h2+6848.44956l+1.14721l2

六維顏色維度非線性回歸方程：

用非線性回歸方程計算四種維度的各顏色數值對應的理論濃度，再用Excel計算四種顏色維度的濃度的平均誤差系數.最后分析四種不同維度下的誤差系數，及判定系數R2，具體結果如表11所示。

對結果進行分析可得，隨著顏色維度的增加模型的誤差系數減小， 值越大，模型的準確性越高，但精度提高較少。

表11 不同維度對模型的影響