曼德爾布羅特——海岸線的長度

曹則賢

記得有一首很抒情的歌唱道：“林中的小路有多長？只有我們漫步度量。”林中的小路有多長？一般人不會認為這是一個成問題的問題。翻開地理書，就能看到“我國有長達多少多少千米海岸線”的說法。海岸線真有確切的長度嗎？1967年，曼德爾布羅特在《科學》雜志上發表了題為《大不列顛的海岸線有多長》（How Long Is the Coast of Britain？ Statistical Selfsimilarity and Fractional Dimension）的論文，明確指出海岸線的長度是一個依賴于測量所用標尺的量。相關問題的研究引入了一個嶄新的數學分支—分形幾何。

曼德爾布羅特（Benoit B. Mandelbrot，1927～2010），數學家，出生在波蘭，后來先后定居在法國和美國。受其數學家叔叔的影響，曼德爾布羅特從小就熱愛數學。在求學經歷中，曼德爾布羅特曾受教于大數學家尤利亞（Gaston Julia）、馮·諾依曼（John von Neumann）。曼德爾布羅特后來在美國憑借替國際商業機器公司（IBM）工作的便利，成了最先使用計算機圖形功能創造分形幾何的人。當然，這也與他的老師尤利亞引入的一種特殊的集合有關。

尤利亞集合與復函數的迭代有關。例如，考察函數fc（z） = z2 + c，其中c是一個常復數，z是復變量。把函數fc（z）當成新的變量z代到方程的右邊去，可以研究這個函數的迭代性質。如果某個區域內的z經過迭代算法還保留在這個區域內，則這個區域屬于復平面內的Fatou集合。Fatou集合以外的區域就是尤利亞集合。尤利亞集合是處處非稠的集合（通俗地說，就是麻將牌里的“十三不靠”），因此具有非常迷人的外觀。

對于fc（z） = z2 + c這樣的迭代函數，可引入曼德爾布羅特集合。從圖中可以看出，曼德爾布羅特集合的邊界具有越來越精細的、遞歸的細節，也就是說你將選定的部分不斷地放大，會發現同樣的細節會不斷再現。對局部的放大會重復發現圖形整體的形狀，即是說圖形具有自相似的結構。

1975年，曼德爾布羅特創造了“分形”（fractal）一詞，用來描述那些具有自相似結構的幾何體。聰明的讀者可能已經注意到，因為曼德爾布羅特集合是由迭代算法的結果加以定義的，因此所謂的曼德爾布羅特集合之圖形化表示具有自相似結構是自然而然的事情，算法的迭代和所得圖形的自相似，這兩者是有內在聯系的。具有自相似結構的事物在菜市場就能見到，比如寶塔菜，可以看到幾個大小層次上的花瓣結構都是一樣的螺旋狀的。當然了，寶塔菜不僅有自相似結構，其結構花樣還是斐波那契斜列螺旋（Fibonacci parastichous spirals），因此更顯神奇。

為了更好地理解分形的概念，我們考察一個簡單點的例子。如下圖，從一個正三角形出發，把其每邊的中間三分之一去掉，但以這去掉的部分為基準往外構造一個正三角形，則這新的兩邊就替代被去掉的部分完成了去掉部分的連接。對所有某個尺度上存在的線段進行上述操作，不斷地重復下去，就能得到所謂的科赫曲線或者科赫雪花。明顯可看出，隨著構造不斷往下個層面進行，這個圖形的周長也在不斷增大。實際上，每往下一個層面，周長都增加到原來的4/3倍。

曼德爾布羅特注意到類似科赫雪花樣的曲線在別的領域也能見到，比如人們非常熟悉的海岸線。海岸線雖然不會像科赫曲線那樣具有嚴格的自相似結構，但確實是足夠不規則的。可以肯定的是，使用越小的尺子，量得的海岸線長度就越長。曼德爾布羅特引入了分形幾何和分數維度的概念，認為一類具有自相似結構的幾何體，其維度是一個非整數，比如科赫雪花的維度就約是1.26。作為對照，直線、圓周是一維的，平面規則圖形如三角形、菱形是兩維的，而球體、四面體這樣的規則結構是三維的，維度都是整數。分形幾何在物理學、化學、經濟學、地球科學、氣象學等領域里都找到了許多有價值的應用。

海岸線多長的問題，實際上牽扯到了測量這一物理學最重要的問題。以標尺進行的長度測量，測量對象在標尺的尺度之上出現顯著變化才是允許的、可容忍的。一條海岸線，可以簡化為折線，它出現拐點的特征越小，則允許的標尺尺度也應該越小。這在提醒我們，不存在先驗的測量設備和測量方法。那些能得出有價值結果的物理實驗，其所使用的設備和方法是在對具體問題的研究過程中慢慢演化出來的。某種程度上可以說，實驗和理論是一體的，都是物理知識體系的有機組成部分，是相互砥礪才獲得正確性的。

本文選自《一念非凡—科學巨擘是怎樣煉成的》。該書由外語教學與研究出版社出版，入選我社“中華優秀科普圖書榜”2018年第一季度“成人原創”榜單。

溫馨提示：若你牽著蹣跚學步的小孩兒沿著羊腸小道這樣的分形結構散步時，請你一定要耐心地等他，因為在他的小腳下，路確實更長。