基于MATLAB的調Q Nd：YAG激光器仿真

單騰飛 劉才寧

摘要：本文主要運用MATLAB軟件實現對調Q Nd：YAG激光器的綜合設計，在固體激光器設計初期完成性能預測和系統優化的目的。主要包括使用MATLAB繪制優化Q開關激光器運轉的解析解，借助圖像完成激光器的初步設計。其次通過對激光器速率方程組進行數值求解，推導出在激光調Q的過程中激光各粒子變化的規律，進而得到如峰值功率、脈寬、升降時間等重要參量，以滿足激光器設計初期對性能掌握的要求。

關鍵詞：激光速率方程組，MATLAB，Nd：YAG，主動調Q

中圖分類號：0439 文獻標識碼：A

MATLAB是一款數學類科技應用軟件，具有高效的數值計算及圖像處理能力，廣泛應用于工程計算、圖像處理等領域。借助MATLAB可以較為輕易地解決與數學相關的問題，包括繪制復雜函數的圖形、求解微分方程的解析解。

為優化固體激光器，達到其輸出的最大效率，在設計過程中可以借助優化Q開關激光器的解析解，來實現激光器的綜合設計。但由于解析解的函數形式較為復雜，難以直接判斷其具體特性。而由于MATLAB軟件具有如上所述的優點，可以通過MATLAB軟件繪制出解析解的圖像，進而幫助設計者迅速完成激光器的初步設計。另外，為了進一步了解調Q激光器的性能，可以通過求解激光器的速率方程組來實現，因為激光器速率方程可以精確地描述激光動態特性，表征激光器內光子數與工作物質各能級上原子數隨時間變化的規律[1]。且通過對速率方程的求解，可以進一步得出激光器能量、功率脈寬和脈沖形成時間等重要參量，有助于了解在實際情況中固體激光器的特性。另外，由于方程組中各變量相互耦合，其速率方程組的解析解難以算出，一般運用計算機輔助得出數值解。而通過MATLAB軟件求解速率方程，則可以得到不同階段下激光器內光子數與各能級粒子數隨時間變化的規律，進而求得激光器的各種性能參量。

2.理論

2.1優化Q開關激光器運轉的解析解

優化Q開關激光器運轉的解析解的形式由Degnan推導出，他指出最佳反射率、輸出能量、峰值功率、提取效率等參量可以用函數z=2g0l/L表示，其中2g0l為對數小信號增益，L為激光器往返損耗。借助這些函數可以完成激光器初步設計，得到Q開關激光器的脈沖寬度及峰值功率等參數。

最佳反射率

（1）

輸出能量

（2）

其中Esc為標度因子，包含若干常數。

（3）

脈沖寬度

（4）

其中tR為腔內的往返時間，tR=2l'/c，l'為激光器諧振腔的長度， c為光速。且a的表達式為

a=（z-1）（zlnz） （5）

能量提取效率

（6）

2.2激光器速率方程組的解析解

2.2.1一般四能級系統方程[1]

（7）

（8）

（9）

式中n1為能級1粒子數密度，n2為能級2粒子數密度，ntot為總粒子數密度，γ為簡并因子，對于四能級系統通常為1。Wp為泵浦速率，Wpn0的含義表示單位時間、單位體積內由基能級向上激光上能級轉移原子的數量，σ為激光受激發射截面，φ為光子密度，c為介質中的光速，τ21為能級2自發輻射壽命，τ10為下能級到基態能級的弛豫時間，τ20為上能級到基態能級的弛豫時間。其中Wpn0可表示為[2]

（10）

其中ηB為光束交疊效率，ηQ為量子效率，ηS為斯托克斯因子，ηP為泵浦源效率，ηT為有效輻射泵浦效率，ηA為吸收效率，hvl為激光輻射能量，v為光速，Pin為泵浦光功率

2.2.2泵浦階段

由于在泵浦階段中，激光振蕩尚未形成，激光腔內光子數較少。因此在式（7）、（8）中，可近似光子數密度φ為零，于是得到泵浦階段速率方程

（11）

（12）

2.2.3 Q開關工作階段[1]

（13）

（14）

式中φ為光子密度，n為反轉粒子數密度，c為介質中的光速，l為激活材料的長度，l為諧振腔的長度，tR=2l'/c為光子壽命，σ為受激發射截面，γ為簡并因子，ε為腔內的損耗，可表示為

（15）

式中R為出射鏡反射率，ξ為Q開關工作時的腔損耗。

3分析說明

調Q技術的原理是將激光能量壓縮在很短的脈沖當中，從而使得到高的輸出功率。因調Q激光器具有峰值功率高、脈寬窄等特點，現已廣泛應用與工業加工與科研領域。因此，研究Q開關激光器設計方法，具有重要的現實意義。以下主要基于MATLAB軟件繪制優化Q開關激光器的解析解，求解激光器泵浦階段及Q開關運轉時的速率方程組，并由此來完成對Q開關Nd：YAG激光器性能的初步掌握，有助于設計者的后續調整。

3.1優化Q開關激光器的解析解

優化Q開關激光器的解析解由（1）-（6）表示，分別反應激光器最佳反射率、脈寬、輸出能量以及提取效率與z之間的關系。取z作為自變量，利用MATLAB軟件分別繪制出各參量與z之間關系的圖像。

通過MATLAB軟件所繪制出的以上圖像，我們可清晰得出隨著增益的增加，激光器各參量變化的規律。其中由圖1及圖4可知，隨著增益的增加，激光器的提取效率以及輸出能量也在不斷提升，其次由圖2及圖3可知，激光器輸出鏡的最佳反射率及激光脈寬隨著增益的不斷增加，而呈現出下降趨勢。

借助以上圖像，可以完成激光器的初步設計。例如設計產生0.1J能量輸出的Q開關Nd：YAG激光器，選定激光晶體的直徑為8mm，長度為100mm，且激光器諧振腔的長度為30cm，腔內往返損耗為1%。通過式3可求得ESC為1.68×10-2J。為使輸出能量能達到1J，則Eout/ESC=60，由圖4可得z=65。通過所求得的z值，以及圖1所示提取效率與z的關系，可以得到此Q開關激光器的提取效率約為92%。并且通過圖2所示最佳反射率與z的關系，得到激光器輸出鏡的反射率為0.86。光束在腔內往返行走的時間為tR=2.5485×10-9s，激光器的脈沖寬度可由圖3得到，其值tp=3.8652×10-8S。根據激光器輸出能量以及計算得出的脈沖寬度，進而求得激光器脈沖的峰值為P=Eout/tp=2MW。由上所述，最終完成對激光器輸出鏡反射率的選擇，激光器脈沖寬度及峰值功率的計算。

3.2泵浦階段

為進一步了解調Q Nd：YAG激光器工作過程，此節主要對激光器泵浦階段速率方程進行求解，以掌握泵浦階段腔內各粒子數變化情況。由上述計算得出的激光脈沖峰值功率為2MW，經調整選擇二極管側面泵浦，泵浦功率Pin=10KW。另外已知腔內往返損耗為0.01，激光晶體ND：YAG受激發射截面為2.8×10-23m2，激光能級間輻射壽命τ21=200μs，下能級弛豫時間τ10=30ns，上能級熒光壽命τf為230μs，光子能量hv=1.87×10-19J，光束交疊效率ηB為0.6，輻射傳輸效率ηT為0.8，ηA吸收效率為0.8，ηP泵浦源效率為0.7，ηS斯托克斯因子為0.7，量子效率ηQ為0.95。

利用MATLAB軟件求解微分方程5、6[3]，核心代碼如下：

wpn0=nq*ns*nb*nt*np*na*P/（v*h*vl）；%wpn0為向亞穩態能級輸送粒子的速率

tf=230*（10^-6）；%上能級熒光壽命

t21=200*（10^-6）；%激光能級間輻射壽命

t10=30*（10^-9）；%下能級弛豫時間

dy=zeros（2，1）；

dy（2）=wpn0-y（2）/tf；

dy（1）=y（2）/t21-y（1）/t10；

并將數值解繪制出，可得激光上能級和基態粒子數隨時間變換的規律

由圖4可知在泵浦階段上下能級粒子數密度的變化情況，粒子數密度隨時間增加呈上升趨勢，并穩定到某一固定值，且上能級粒子數密度增長速度大于下能級粒子數密度。經過約80ms粒子數密度穩定，上能級粒子數密度穩定值為1.5×1023m-3，而下能級粒子數密度穩定值為2×1019m-3。

3.3 Q開關工作階段

Q開關工作可用微分方程7、8表示，利用泵浦階段上能級粒子數密度穩定值作為其初始條件，并用MATLAB軟件進行求解[3]。核心代碼如下：

dy=zeros（2，1）；

dy（1）=-y（1）.*c.*ec.*y（2）；%c為真空中光速，ec為增益介質受激發射截面

dy（2）=（2.*y（1）.*y（2）.*ec.*l./tr）-y（2）./tc；%tr光在腔中往返一周的時間

3.4性能參數

激光器其輸出功率可用以下公式表示[4]

（16）

其中v為激光發射頻率，A為腔內光束截面，R代表激光器輸出鏡的透射率。

將此方程與Q開關工作階段微分方程聯立，通過求解Q開關工作階段的光子數密度變化規律得到激光器的輸出功率。核心代碼如下：

dy（3）=1.1892*10^（-16）*dy（2）；%輸出功率

由圖7可知上能級粒子數密度、光子數密度以及激光輸出功率之間的關系，隨著時間增長，上能級粒子數密度快速減小，而光子數密度及激光輸出功率變化規律相同，在某一時刻出現峰值，隨即趨于平穩。此外在圖7中可以初步了解激光器輸出功率出現峰值的時間以及峰值功率的大小，有利于設計者掌握激光器整體性能，對于以后激光器的調整起到促進作用。

結論

通過利用MATLAB可以解出激光速率方程組的數值解，有利于了解激光器在泵浦及Q開關運作期間激光內各級原子和光子數的變化規律，進而得到激光器各種性能參數，仿真結果對于優化脈沖激光器起到指導作用。

參考文獻：

[1]（美）W.克希耐爾（WalterKoechner），固體激光工程[M].科學出版，2002

[2]田兆碩，陳衛標，胡企銓.考慮激光下能級弛豫過程的調Q Nd∶YAG速率方程理論分析[J].光子學報，2005（03）：325-328.

[3]歐攀，高等光學仿真（MATLA版）——光波導，激光[M].北京航空航天大學出版社，2014.

[4]李榮，伊厚會.Nd：YAG被動調Q激光器的研究及其設計[J].河北師范大學學報（自然科學版）[J]，2011，35（06）：589-593.