關(guān)于線性代數(shù)中矩陣的秩的應(yīng)用問(wèn)題分析

廖婧 廖建新

摘 要：由于信息技術(shù)的不斷進(jìn)步，計(jì)算機(jī)在人們?nèi)粘Ｉ钜约皩W(xué)術(shù)研究中應(yīng)用情況變得越來(lái)越廣泛，同樣使得數(shù)學(xué)領(lǐng)域和理工類、經(jīng)濟(jì)類等多個(gè)領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)變得比以前更緊密，數(shù)學(xué)成為了我們解決許多學(xué)科問(wèn)題的重要手段，數(shù)學(xué)課程也成為了各個(gè)階段學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)課程。矩陣是我們?cè)谟?jì)算機(jī)中常用的數(shù)學(xué)量，因此對(duì)于線性代數(shù)中矩陣的研究有著重要的意義。本文介紹了關(guān)于矩陣和矩陣的秩的相關(guān)概念，并針對(duì)矩陣的秩在線性代數(shù)學(xué)科中的應(yīng)用進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；矩陣；線性代數(shù)；矩陣的秩

引言

數(shù)學(xué)是很多領(lǐng)域的基礎(chǔ)，因此靈活掌握數(shù)學(xué)技巧是許多學(xué)術(shù)研究的必要條件。在不斷進(jìn)入信息化的現(xiàn)在更要求我們對(duì)計(jì)算機(jī)相關(guān)的許多數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，矩陣這一數(shù)學(xué)中的概念與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的關(guān)系十分緊密，因此對(duì)于線性代數(shù)領(lǐng)域中矩陣的學(xué)習(xí)十分必要。線性代數(shù)是一門比較抽象的學(xué)科，主要針對(duì)線性空間以及其中的一些變換進(jìn)行學(xué)習(xí)，在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，矩陣占據(jù)了十分重要的地位，對(duì)矩陣的概念的理解是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重要基礎(chǔ)任務(wù)，相應(yīng)的，對(duì)矩陣的變換和矩陣的秩的相關(guān)運(yùn)算也是其中常考的重要運(yùn)算和題型[1]。其中矩陣的秩可以說(shuō)是矩陣學(xué)習(xí)中的核心部分，它表示了一個(gè)矩陣在數(shù)量上的特征，因此對(duì)于矩陣的秩的研究也是線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要部分[2]。

1秩的概念

對(duì)矩陣的秩的掌握對(duì)于學(xué)好矩陣相關(guān)知識(shí)十分重要，因此本文首先對(duì)矩陣的秩的相關(guān)基本概念進(jìn)行介紹。

在一個(gè)矩陣A中，如果該矩陣存在至少一個(gè)r階的子式D的值不等于零，并且滿足矩陣A的任何一個(gè)r+1 階子式均等于零，那么這個(gè)非零子式D便可以稱作是A的最高階非零子式，這時(shí)該最高階非零子式對(duì)應(yīng)的階數(shù)r我們便稱它為該矩陣的秩，即R（A）=r。即，對(duì)于任意一個(gè)矩陣而言，它的最高非零子式對(duì)應(yīng)的階數(shù)就是該矩陣的秩。可以推出，若該矩陣為零矩陣，那么它的秩也同樣為零。除此之外，對(duì)于矩陣的秩的概念還存在另外一種描述，那就是：在一個(gè)矩陣A中的極大無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)[3]。

2 矩陣的秩的應(yīng)用

矩陣的秩的相關(guān)理論以及求解在線性代數(shù)中應(yīng)用十分廣泛，本文針對(duì)幾個(gè)重要的方面進(jìn)行介紹。

2.1 解線性方程組

在線性代數(shù)這門學(xué)科中，對(duì)線性方程組的求解可以說(shuō)是一個(gè)核心性的問(wèn)題，首要我們要判定所給出的線性方程組是否有解存在，之后便要求出其解。在解線性方程組的過(guò)程中，往往將其與矩陣的概念相聯(lián)系，將求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成矩陣的秩相關(guān)計(jì)算來(lái)進(jìn)行解答，以方便求解。具體過(guò)程可以表示為：在判斷線性方程組的解是否存在的時(shí)候，將其變化為計(jì)算方程相應(yīng)的系數(shù)矩陣和它的增廣矩陣的秩，并對(duì)這兩個(gè)秩相同與否進(jìn)行判斷，這時(shí)可以分為三種情況進(jìn)行討論，第一，若系數(shù)矩陣的秩小于增光矩陣的秩，則該線性方程組無(wú)解；第二，若二者相等并且等于線性方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則原線性方程組有一組解，并且只有這一組解；第三，若二者相等并且小于線性方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則原線性方程組有解，并且有無(wú)窮多組解。通過(guò)利用求矩陣的秩來(lái)解線性方程組可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化，具有很大的應(yīng)用價(jià)值。

2.2 向量組的相關(guān)性判斷

在線性代數(shù)中除了矩陣之外還有另外一個(gè)重要的概念便是向量，我們經(jīng)常會(huì)遇到判斷幾個(gè)向量是否相關(guān)的問(wèn)題，在解決這類題目的時(shí)候，對(duì)矩陣的秩的求解同樣可以起到重要的幫助作用。變量之間存在的最常用的一種較簡(jiǎn)單的變換關(guān)系，并且在很多其他領(lǐng)域中也經(jīng)常會(huì)應(yīng)用到這種關(guān)系，因此在很多情況下，我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)換思路，使其成為線性問(wèn)題來(lái)找到解決方案。

若存在一組向量為u1 ，u2 ，...uk， 當(dāng)式子 成立的條件只有c1，c2，....ck=0時(shí)候，原向量組為一組線性無(wú)關(guān)的向量組，反之，原向量組則為一組線性相關(guān)的向量組。

我們?nèi)∫唤Mk階的列向量，若通過(guò)矩陣的形式對(duì)上式進(jìn)行表示，可以寫作：

，并且式中的A=[u1，u2，....uk]，c=[c1，c2，...ck]T，在將向量組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣的問(wèn)題之后，想要判斷線性方程組是否相關(guān)，該題目便可以轉(zhuǎn)向求方程組Ac=0是否具有不為零的零解來(lái)運(yùn)算。當(dāng)矩陣A的秩等于向量的階數(shù)的時(shí)候，原向量組為線性無(wú)關(guān)的向量組。根據(jù)這一推論我們可以解決很多關(guān)于向量的問(wèn)題。這樣便能夠看出矩陣的秩的運(yùn)算在判斷向量組是否具有相關(guān)性上提供了很直觀的解決方法，通過(guò)對(duì)矩陣的線性變換求秩可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

2.3 二次型的正定

通過(guò)對(duì)二次型的正相關(guān)指數(shù)、負(fù)相關(guān)指數(shù)和矩陣的秩的關(guān)系可以判斷出該二次型的正定、負(fù)定和半正定等特征。對(duì)于一個(gè)二次型

，并且矩陣A的轉(zhuǎn)置與其本身相等，我們可以得到一下幾個(gè)推斷：第一，矩陣A正定等價(jià)于f的正慣性指數(shù)和矩陣的秩都和n相同；第二，矩陣A負(fù)定等價(jià)于f的負(fù)慣性指數(shù)以及矩陣的秩都和n相同；第三，若f的正慣性指數(shù)以及矩陣的秩相等可以等價(jià)于矩陣A半正定。矩陣的秩的求解為二次型判定中的一個(gè)重要步驟。

3 矩陣的秩求解重難點(diǎn)

通過(guò)上文的分析，我們可以看出矩陣的秩的求解對(duì)于解決線性代數(shù)中的許多重要問(wèn)題都十分重要，并且和許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都具有緊密的聯(lián)系。在關(guān)于矩陣的秩的求解中，首先要對(duì)其基本概念進(jìn)行深入的理解和掌握，在此基礎(chǔ)之上，要能做到使矩陣問(wèn)題與線性方程組、向量組以及二次型等其他線性代數(shù)中的基本問(wèn)題進(jìn)行融會(huì)貫通，靈活掌握其精髓，并且矩陣的秩相關(guān)的概念本質(zhì)上和線性方程組的維數(shù)以及向量組的秩的概念都具有很大的關(guān)聯(lián)性，只有對(duì)相關(guān)概念都掌握熟練，并分析比較其異同點(diǎn)，才能對(duì)其內(nèi)在聯(lián)系熟練掌握，并且更好的應(yīng)用矩陣的秩來(lái)解決線性代數(shù)中或其他領(lǐng)域中的相關(guān)問(wèn)題。

4 總結(jié)

在線性代數(shù)這門學(xué)科中，矩陣為其中重要的一部分，對(duì)于矩陣的秩的求解及其應(yīng)用更是重中之重，并且矩陣的秩和數(shù)學(xué)這門學(xué)科中的其他的很多概念都具有緊密的聯(lián)系，因此了解矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)乃至計(jì)算機(jī)等理工科領(lǐng)域的學(xué)習(xí)都十分重要。本文通過(guò)對(duì)矩陣的秩的概念進(jìn)行介紹，進(jìn)一步引出了矩陣的秩應(yīng)用于線性代數(shù)其他問(wèn)題中的具體情況，分別針對(duì)不同情況的解決方法進(jìn)行了分析研究，最后針對(duì)矩陣的秩掌握中的重難點(diǎn)進(jìn)行了介紹，對(duì)掌握矩陣的秩相關(guān)概念以及其應(yīng)用的研究具有一定的借鑒價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 江蓉， 王守中. 矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用及其教學(xué)方法的探討[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2012， 37（8）：175-180.

[2] 趙偉. 矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用及其實(shí)踐教學(xué)方法的探究[J]. 考試周刊， 2016（40）：52-53.

[3] 周俊超. 線性代數(shù)中矩陣的秩的運(yùn)用及教學(xué)策略分析[J]. 課程教育研究， 2016（12）：240-241.

作者簡(jiǎn)介：

廖婧，女，浙江師范大學(xué)2016級(jí)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生。

廖建新，江西師范大學(xué)副教授。