關于線性代數中矩陣的秩的應用問題分析

廖婧 廖建新

摘 要：由于信息技術的不斷進步，計算機在人們日常生活以及學術研究中應用情況變得越來越廣泛，同樣使得數學領域和理工類、經濟類等多個領域的關聯變得比以前更緊密，數學成為了我們解決許多學科問題的重要手段，數學課程也成為了各個階段學習的重要基礎課程。矩陣是我們在計算機中常用的數學量，因此對于線性代數中矩陣的研究有著重要的意義。本文介紹了關于矩陣和矩陣的秩的相關概念，并針對矩陣的秩在線性代數學科中的應用進行了分析。

關鍵詞：信息技術；矩陣；線性代數；矩陣的秩

引言

數學是很多領域的基礎，因此靈活掌握數學技巧是許多學術研究的必要條件。在不斷進入信息化的現在更要求我們對計算機相關的許多數學知識進行深入學習，矩陣這一數學中的概念與計算機領域的關系十分緊密，因此對于線性代數領域中矩陣的學習十分必要。線性代數是一門比較抽象的學科，主要針對線性空間以及其中的一些變換進行學習，在線性代數的學習中，矩陣占據了十分重要的地位，對矩陣的概念的理解是學習線性代數的重要基礎任務，相應的，對矩陣的變換和矩陣的秩的相關運算也是其中常考的重要運算和題型[1]。其中矩陣的秩可以說是矩陣學習中的核心部分，它表示了一個矩陣在數量上的特征，因此對于矩陣的秩的研究也是線性代數學習中的重要部分[2]。

1秩的概念

對矩陣的秩的掌握對于學好矩陣相關知識十分重要，因此本文首先對矩陣的秩的相關基本概念進行介紹。

在一個矩陣A中，如果該矩陣存在至少一個r階的子式D的值不等于零，并且滿足矩陣A的任何一個r+1 階子式均等于零，那么這個非零子式D便可以稱作是A的最高階非零子式，這時該最高階非零子式對應的階數r我們便稱它為該矩陣的秩，即R（A）=r。即，對于任意一個矩陣而言，它的最高非零子式對應的階數就是該矩陣的秩。可以推出，若該矩陣為零矩陣，那么它的秩也同樣為零。除此之外，對于矩陣的秩的概念還存在另外一種描述，那就是：在一個矩陣A中的極大無關組的個數[3]。

2 矩陣的秩的應用

矩陣的秩的相關理論以及求解在線性代數中應用十分廣泛，本文針對幾個重要的方面進行介紹。

2.1 解線性方程組

在線性代數這門學科中，對線性方程組的求解可以說是一個核心性的問題，首要我們要判定所給出的線性方程組是否有解存在，之后便要求出其解。在解線性方程組的過程中，往往將其與矩陣的概念相聯系，將求解問題轉化成矩陣的秩相關計算來進行解答，以方便求解。具體過程可以表示為：在判斷線性方程組的解是否存在的時候，將其變化為計算方程相應的系數矩陣和它的增廣矩陣的秩，并對這兩個秩相同與否進行判斷，這時可以分為三種情況進行討論，第一，若系數矩陣的秩小于增光矩陣的秩，則該線性方程組無解；第二，若二者相等并且等于線性方程組中未知數的個數，則原線性方程組有一組解，并且只有這一組解；第三，若二者相等并且小于線性方程組中未知數的個數，則原線性方程組有解，并且有無窮多組解。通過利用求矩陣的秩來解線性方程組可以使復雜的問題簡單化、具體化，具有很大的應用價值。

2.2 向量組的相關性判斷

在線性代數中除了矩陣之外還有另外一個重要的概念便是向量，我們經常會遇到判斷幾個向量是否相關的問題，在解決這類題目的時候，對矩陣的秩的求解同樣可以起到重要的幫助作用。變量之間存在的最常用的一種較簡單的變換關系，并且在很多其他領域中也經常會應用到這種關系，因此在很多情況下，我們可以將問題轉換思路，使其成為線性問題來找到解決方案。

若存在一組向量為u1 ，u2 ，...uk， 當式子 成立的條件只有c1，c2，....ck=0時候，原向量組為一組線性無關的向量組，反之，原向量組則為一組線性相關的向量組。

我們取一組k階的列向量，若通過矩陣的形式對上式進行表示，可以寫作：

，并且式中的A=[u1，u2，....uk]，c=[c1，c2，...ck]T，在將向量組的問題轉化為矩陣的問題之后，想要判斷線性方程組是否相關，該題目便可以轉向求方程組Ac=0是否具有不為零的零解來運算。當矩陣A的秩等于向量的階數的時候，原向量組為線性無關的向量組。根據這一推論我們可以解決很多關于向量的問題。這樣便能夠看出矩陣的秩的運算在判斷向量組是否具有相關性上提供了很直觀的解決方法，通過對矩陣的線性變換求秩可以使問題簡單化。

2.3 二次型的正定

通過對二次型的正相關指數、負相關指數和矩陣的秩的關系可以判斷出該二次型的正定、負定和半正定等特征。對于一個二次型

，并且矩陣A的轉置與其本身相等，我們可以得到一下幾個推斷：第一，矩陣A正定等價于f的正慣性指數和矩陣的秩都和n相同；第二，矩陣A負定等價于f的負慣性指數以及矩陣的秩都和n相同；第三，若f的正慣性指數以及矩陣的秩相等可以等價于矩陣A半正定。矩陣的秩的求解為二次型判定中的一個重要步驟。

3 矩陣的秩求解重難點

通過上文的分析，我們可以看出矩陣的秩的求解對于解決線性代數中的許多重要問題都十分重要，并且和許多數學問題都具有緊密的聯系。在關于矩陣的秩的求解中，首先要對其基本概念進行深入的理解和掌握，在此基礎之上，要能做到使矩陣問題與線性方程組、向量組以及二次型等其他線性代數中的基本問題進行融會貫通，靈活掌握其精髓，并且矩陣的秩相關的概念本質上和線性方程組的維數以及向量組的秩的概念都具有很大的關聯性，只有對相關概念都掌握熟練，并分析比較其異同點，才能對其內在聯系熟練掌握，并且更好的應用矩陣的秩來解決線性代數中或其他領域中的相關問題。

4 總結

在線性代數這門學科中，矩陣為其中重要的一部分，對于矩陣的秩的求解及其應用更是重中之重，并且矩陣的秩和數學這門學科中的其他的很多概念都具有緊密的聯系，因此了解矩陣的秩在線性代數中的應用對于數學的學習乃至計算機等理工科領域的學習都十分重要。本文通過對矩陣的秩的概念進行介紹，進一步引出了矩陣的秩應用于線性代數其他問題中的具體情況，分別針對不同情況的解決方法進行了分析研究，最后針對矩陣的秩掌握中的重難點進行了介紹，對掌握矩陣的秩相關概念以及其應用的研究具有一定的借鑒價值。

參考文獻：

[1] 江蓉， 王守中. 矩陣的秩在線性代數中的應用及其教學方法的探討[J]. 西南師范大學學報（自然科學版）， 2012， 37（8）：175-180.

[2] 趙偉. 矩陣的秩在線性代數中的應用及其實踐教學方法的探究[J]. 考試周刊， 2016（40）：52-53.

[3] 周俊超. 線性代數中矩陣的秩的運用及教學策略分析[J]. 課程教育研究， 2016（12）：240-241.

作者簡介：

廖婧，女，浙江師范大學2016級數理學院數學與應用數學專業本科生。

廖建新，江西師范大學副教授。