讓“簡單的知識”凸顯“思維的深度”
———《倒數的認識》教學片斷與反思

蔣明玉（特級教師）

著名數學教育家鄭毓信先生認為：學會數學思維的首要涵義就是學會數學抽象（模式化）。“數學是模式的科學”，這就是指，數學所反映的不只是某一特定事物或現象的量性特征，而是一類事物或現象在量的方面的共同性質。學生學會數學抽象的關鍵是從問題的現實情境過渡到抽象的數學模式。從教學的現狀看，正如鄭毓信教授所言，標準所制定的目標還不能得到很好的貫徹，一個重要的原因是普遍認為小學數學的教學內容過于簡單，因而不可能很好地體現數學思維的特點。

《倒數的認識》一課，我通過簡單的教學內容引導學生經歷倒數概念的抽象（模式化）與概括過程，充分體現了數學思維的特點，使學生的數學思維能力得到了訓練和培養。由此可見，簡單的知識同樣蘊含著豐富的數學思想！

蘇教版教材先以乘積是1的兩個分數為素材，幫助學生建立倒數的意義，這樣的素材從形式上看，有利于學生體會“倒數”的含義，便于學生形成倒數的概念。然后又通過舉例說明，幫助學生認識互為倒數的兩個數的依存關系和表達方式。在實際教學中，我將教學內容調整為乘積是1的兩個數互為倒數（這兩個數可以是分數、整數和小數）。在實際教學中，首先倒數概念的建立以已經學過的分數、整數和小數為素材。教材中是先以分數為素材認識倒數，建立倒數的概念，然后擴展到整數。考慮到學生已有的知識和經驗，在建立倒數概念時，學生應該能從不同的數中找出乘積是1的兩個數。其次在找一個數的倒數時，由于倒數概念的建立是依托分數、整數和小數的，因此直接讓學生根據對倒數實例的觀察和分析，發現找一個數倒數的方法，并通過思考和觀察，發現1的倒數是1，0沒有倒數。由于倒數的引入和找一個數的倒數的方法在素材上作了較大調整，因此課后的鞏固練習題也作相應地調整。

在教學中，我注意激發學生的學習興趣，引導學生通過觀察、比較、概括等途徑，在合作學習的過程中，學會交流，相互評價，經歷知識的建構過程，培養學生的觀察、歸納、推理和概括能力，讓“簡單的知識”凸顯“思維的深度”。

【教學內容】

蘇教版六年級上冊第36頁及課后練習。

【教學過程】

一、口算練習，感受神奇

課始將兩組口算紙分別發給同桌兩人。口算A:3道題，口算B：5道題。

師：現在我們舉行一個口算比賽，做完的同學請起立。

（學生陸續起立，絕大多數是做口算B的學生）

師：時間到，剛才大家有沒有注意到是哪些同學先站起來的？

（完成口算B的學生自豪地舉起手）

師：（故意問已經完成的學生）你做了幾道題？（5道）

師：（問同桌的另一位學生）你做了幾道題？（3道）

師：為什么做5道題比做3道題還快？現在我們一起來看一看剛才老師給大家的兩組口算題。（出示兩組口算題）你找找原因，為什么口算B的同學做得快？

生：B組的口算題是不需要約分的。

生：B組的口算題都是乘以或除以1，因為所有數乘或除以1都等于原來那個數；而A組的口算都是分數乘分數。

師：一個數乘1或者除以1，都得原數。所以這個“1”，在數學運算中有自己獨特的地方，那么今天我們就先來研究這個神奇的“1”。（在黑板上板書“1”）

師：同學們可以想一想，什么數除以什么數會等于1呢？你能用最簡單的語言概括一下嗎？

生：相同的數除以相同的數可以等于1。

生：用字母表示就是a除以a等于1。

生：我覺得a不能等于0。

師：補充得好！a等于0沒有意義。再想想什么數乘什么數等于 1呢？［板書：（）×（）＝1］

師：請同學們打開練習本，在上面寫上乘積是1的幾組數，看看哪些同學寫得多。（學生在練習本上寫，教師巡視，然后組織學生交流）

【說明：借助“1”來轉化，在導入階段，進行了這場不公平的計算比賽。不平則鳴，喚醒的是學生以前練習中積淀的對“1”的好感和探究的熱情。“誰除以誰會等于1呢？你能用最簡單的語言概括一下嗎？”雖然簡單，但有此鋪墊，教學便有了波瀾，有了情趣。當我拋出有些難度的問題“什么數乘什么數等于1”時，學生有些遲疑，這在我意料之中，請學生打開練習本，在上面寫上乘積是1的幾組數，我們看看哪些同學寫得多。”嘗試之后，學生就有話要說了。學生開動腦筋，找到了很多乘積等于1的算式，在我的適當引導下，找到乘積是1的幾組數：有整數的、有分數的、還有小數的，引導學生進行分類思考。寫得多，不是追求個數多，而是追求種類全。這樣為之后倒數概念的抽象提供了全面、豐富的素材，積累了豐富的、典型的倒數概念的表象。】

二、研究探索，學習新知

1.認識倒數的意義。

（1）交流展示。

師：已經寫出2個或2個以上算式的同學請舉手。

全班交流學生找到的算式。可能出現的情況有：分數乘分數、分數乘整數、小數乘整數。（隨機板書交流的算式，盡可能板書出三種情況，為后面研究做鋪墊）

（2）建立概念。

引導：請大家仔細觀察，剛才我們找出的這些算式有什么共同特點？

學生交流后明確：這些算式的乘積都是1。

指出：像這樣乘積是1的兩個數就互為倒數，今天這節課我們就一起來研究有關倒數的內容。（板書課題：認識倒數）

引導：結合剛才的舉例，用一句話說說什么是倒數。

提出要求：先學生自己說一說，再同桌交流。接著全班交流。

生：兩個數相乘，結果等于1，就是倒數。

生：我覺得，一個數乘一個數等于1，這兩個數就是倒數。

師：剛才同學們說得很好，究竟課本上是怎么規定的呢？請大家看書上第36頁。

（板書：乘積是1的兩個數互為倒數）

提問：你是怎樣理解“互為”兩個字的？能結合具體的例子來說說嗎？

提問：你能再找一個例子來說說嗎？（同桌互相舉例說一說再全班交流）

【說明：概念的形成離不開感性材料和感性經驗的支撐，它主要依賴于對感性材料的概括。根據學生的學習經驗和水平，學生已能熟練地找到乘積是1的兩個數，因此在新課開始，安排想一想、寫一寫的數學活動，旨在通過這一活動及結果的交流，讓學生找到豐富的肯定例證這樣的感性材料，具體感知兩個數的關系，從中獲得對互為倒數的兩個數的關系與特征的直接感受，豐富感性認識，使之成為抽象概念屬性的基礎。接著讓學生進一步對這些例子進行比較、綜合，找到共同特性，并嘗試用語言描述概念的本質屬性。在這一過程中，學生經歷了對感性材料的直觀感知——比較綜合——概括概念的過程，這是遵循學生建立概念的基本規律來安排的。】

2.探究找倒數的方法。

（1）引導啟發。

引導：我們已經知道了乘積是1的兩個數互為倒數，從大家舉的例子中可以看到，整數、分數、小數都可以找到它們的倒數，找一個數的倒數有什么竅門呢？比如例子中的，它的倒數是多少？

（教師再隨機舉幾個分數，讓學生分別找到它們的倒數）

提問：怎樣找分數的倒數？

學生交流，明確找倒數的方法：找分數的倒數只要交換分子、分母的位置。

（2）自主探究。

引導：如何找整數、小數的倒數呢？你能通過觀察黑板上的例子或者自己舉例找到方法嗎？先獨立嘗試一下，再在小組里交流。

（3）交流總結。

在小組交流的基礎上全班交流：

①怎樣找整數的倒數？

先讓學生結合例子說明方法，之后教師隨機寫出幾個整數（包括1和0），讓學生快速找倒數，在找倒數的過程中明確這兩個數的特殊性：1的倒數是1；0沒有倒數，因為0乘任何數都得0。（板書：1的倒數是 1，0沒有倒數）

②怎樣找小數的倒數？

啟發：剛才我們分別交流了找整數、分數、小數這三類數的倒數的方法，這三種方法之間有沒有聯系？同桌同學議一議。

組織交流，使學生明白求一個整數或小數的倒數，可以把這個數先表示成分數的形式，然后交換分子分母的位置。

小結：求一個數的倒數的方法。

【說明：學生是學習的主體，只有充分發揮學生的主觀能動性，才能收到更好的學習效果。本環節針對求一個數的倒數的方法設計了“找竅門”的活動。通過教師引導，學生自主探索交流等活動，促進學生分別建構找分數、整數和小數的倒數的方法。同時在此基礎上適時引導提升：“這三種方法之間有聯系嗎？”兩個層次的教學活動，引導學生主動觀察、思考、抽象、概括，既充分發揮學生的主觀能動性，又培養了學生的觀察能力、總結歸納能力和語言表達能力。】

三、練習鞏固，內化新知

1．你能很快說出下列各數的倒數嗎？（口答）

2的倒數是（ ），

1的倒數是（ ）。

2．判斷正誤，并說明原因。

3．寫出下列各數的倒數。

交流時要求學生說說找0.3、1.5的倒數的方法。

4．完成練習六第19題。

練習之前明確要求：觀察每組的3個數有什么共同點？它們的倒數有什么共同點？帶著問題邊寫邊觀察思考，再小組交流。

全班交流。并針對1、2兩組的練習辨析討論兩句話的正誤：真分數的倒數一定是假分數，假分數的倒數一定是真分數。

5.小游戲（找朋友）。

請五位學生到臺上來，給他們每人戴上一頂漂亮的帽子，帽子上面各有一個數（、、1、、7），本人不允許看自己頭上的數，下面的學生也不允許告訴臺上的學生，不允許講話、交流，只能借助你的思考，你能找到你帽子上的數的倒數嗎？

【說明：練習關注兩個方面：一方面是倒數概念的理解與鞏固及求一個數的倒數的方法。與此同時，注意了知識視野的拓寬，考慮到對倒數意義的完整建構和學生的實際水平，倒數的范圍可以擴展到小數，因此在練習設計的過程中，在側重于對倒數意義和求整數、分數的倒數的同時，不排除求一個小數的倒數的練習，這樣安排溝通了分數、小數知識間的聯系，發展了學生知識的靈活應用的能力。另一方面，注意結合練習引導學生發現相關規律，使學生了解每一類分數和整數的倒數的特點，進一步提高找倒數的能力，認識每一類特定數的倒數特點與范圍。最后，一個找朋友的游戲活動，變成了一道有一定難度的邏輯推理題。通過此游戲，既進一步鞏固“1的倒數是1”的規律，又培養了學生的簡單推理能力。】