定積分概念的教學設計

董艷

【摘 要】定積分是微積分的核心概念之一，是微積分的重要組成部分。定積分的概念比較抽象，如何進行課堂設計是上好本節課的關鍵。本節課主要從求曲邊梯形的面積，建立定積分符號的原因以及它的幾何意義這三方面理解概念的，其中是以極限的思想為線索展開的，最后以一個哲學的道理加深對概念的理解。

【關鍵詞】定積分；課堂設計；曲邊梯形；幾何意義；極限

前言

本節課的設計理念為：敢于提出問題、形象解決問題、用心感悟問題。通過學生預習探究環節提出問題；通過數形結合解決問題；通過學習數學知識體會到其中的哲學道理。設計特色：以學生預習探究引入， 提出理解概念的關鍵問題點，用數形結合的方法幫助學生解決問題，體會極限的重要作用，并從中體會數學的哲理，得出有益于學生的人生道理！

一、設計思想

教材分析：

定積分是微積分的核心概念之一，是微積分的重要組成部分；定積分的概念是定積分一切知識的源泉，對定積分概念的理解為后續有關它的計算和應用奠定基礎，因此學好本節課是非常重要的。有關定積分的知識，學生高中接觸過，但是都是一些碎片化的知識，對它的了解只停留在簡單的計算上，對概念的理解幾乎是零。定積分的概念較長，也比較抽象，如何讓學生理解概念的思想是上好本節課的關鍵。

學情分析：

學習對象：一年級的高職新生。學習對象基礎概況：數學基礎較為薄弱，比較注重形象思維，接受新知識能力較強。學習對象知識儲備：曲邊梯形的概念及面積計算。定積分的幾何意義學習對象能力特征：具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力。學習對象情感態度：對定積分概念的理解有強烈的興趣和求知欲。

二、教學目標及重難點分析

1.知識與技能目標

通過預習探究，提出理解定積分概念的關鍵點。通過解決問題，讓學生在理解概念的同時，體會數形結合的數學思想和方法以及極限思想的重要性。 通過學習培養學生觀察、分析、思考問題的能力，并深刻的理解數學問題的實質。

2.過程與方法目標

通過對預習問題的探究體會數學學習與哲學觀點的結合并提高學生解決問題的能力。

3.教學重點

定積分概念的內容和對定積分概念的理解。

4.教學難點

對定積分概念的理解。重、難點突破措施：預習探究，問題引入，數形結合，以情動人、以理悟人，層層探究，哲學提升。

5.教學資源準備

具備使用多媒體上課的教室，PPT課件一份。

三、教學環節設計

本節課既然是學生高中接觸過的內容，是否還有必要再學習！結合學生實際，通過以小組為單位進行預習探究，提出問題，此問題恰是理解概念的核心之處。在講解概念時，從以下三方面展開：

1.通過把概念內容與求曲邊梯形面積的過程進行比較，說明兩者基本一致，顯然課前的預習過程是為概念講解做好鋪墊。

2.通過對數學符號的認識來理解概念，明確建立符號的原因。

3.通過學生所熟悉的幾何意義的回顧，從“形”的角度理解概念，形象生動，并對學生熟悉的內容設計一個課下思考題，加深學生對概念的理解，同時也說明了概念與求曲邊梯形面積的細微區別。

通過課堂小結，在梳理內容的同時再次使重難點重現，本節課始終圍繞一條線索從多方位展開，最后從理解概念的思想里悟出做事的一個道理，使得課堂主題得到升華！

四、教學設計

1.預習探究

（1）教學內容

①以一個學習小組同學預習上課內容，提出疑問作為本節課的引入。一：定積分既然是高中學過的內容，是否還有必要學習呢？二：從定積分的作用出發，列舉一個與鐵路有關的具體實例，明確知識點與專業領域的銜接點。三：雖然知道定積分的作用，但是它在解決這些實際問題中的思想是什么呢？四：用東漢末年曹沖稱象的故事類比求曲邊梯形面積的過程，其中最后一步學生不容易理解，從而提出疑問。②提出的問題正是理解概念的關鍵點。

（2）師生互動

①上一節課老師留下作業，要求學生以小組為單位預習本節課。②老師通過藍墨云和QQ群發布課件，為學生預習提供依據。③老師要求學生將預習的視頻和預習中遇到的問題通過藍墨云和QQ群進行反饋，將表現好的小組視頻課前給大家播放，并對每個小組的表現打分。

（3）設計思路

問題數學：以學生預習對話開頭，提出問題，引起學生上課的興趣，提高學生學習本節內容的積極性，學生帶著問題走進課堂，激發學生求知欲，探索欲。同時“以已知探求未知”的數學思想方法，培養學生的動手操作能力、邏輯思維能力。

2.疑問解答

（1）教學內容

針對學生在預習中提出疑問，進行解釋：

①λ的含義

②λ→0表示的意思

③極限最終實現了什么

④從極限的思想出發，點破理解問題的關鍵之處

（2）師生互動

通過對λ含義的分析，討論，教師循序漸進，借助圖形幫助學生理解極限的思想，并且將極限的思想上升為哲學領域，量變到質變的飛躍。

（3）設計思路

借助圖形，幫助學生理解極限的思想，通俗易懂，并且將這個無限的過程用量變到質變來形容，將問題突破口打開。

3.概念講解

（1）教學內容

①定積分的概念與求曲邊梯形面積的關系

②定積分概念的內容

③定積分符號的由來

i等式兩邊存在一一對應關系

ii定積分符號比和式極限表示簡單

iii它們用各自的方法計算出的結果一致

④定積分的概念注意事項

⑤定積分的幾何意義

（2）師生互動

引導學生明確數學概念都是拋開諸多問題的實際背景，只抽取實際問題形式上的共同特性， 從而得出數學概念的。雖然概念比較長，但是可以借助求曲邊梯形面積的過程理解其內容。

引導學生對建立定積分符號的原因也是理解概念的一個有效途徑。

最后引導學生站在“形”的角度對概念進行理解，明確幾何意義和概念之間的關系。

（3）設計思路

由于學生高中對這部分內容的學習都是碎片化的知識，如何讓求曲邊梯形的面積，以及它的幾何意義合成一個整體是概念講解中需要考慮的問題。從學生熟悉的定積分符號出發， 明確建立符號的原因，將為理解概念提供一個有效的渠道。

4.心得感悟

（1）教學內容

最后的課堂小結，既整合內容，又升華主題：

①本節課主要從求曲邊梯形的面積，建立定積分符號的原因以及它的幾何意義這三方面理解概念的。②在理解概念時，整個課堂主要抓住一個線索，就是極限的思想的理解，這也是理解概念的關鍵點。③極限的思想實現了由近似到精確的跨越，同時也實現了量變到質變的飛躍，它也是數學中“以直代曲”思想的根源。④定積分解決問題的思想也告訴我們一個道理：如果能將一個好的習慣堅持下去，永不停止，一定會有一個意想不到的結果出現。

（2）師生互動

通過最后的課堂小結，進行碎片整理，重點重現，強調了理解概念的關鍵點，并將主題升華為一個生活小道理，加深學生的印象。

（3）設計思路

學生通過課堂小結，進一步理解數學概念，要學好概念就要理解極限的思想，將極限的思想上升到哲學領域，并且告訴學生人生中一個道理，從而實現對本節課進行升華。

五、結語

本節課在教學設計中，緊緊圍繞學生在高中學習定積分時未能解決的問題：即對概念的理解存在問題和知識的碎片化現象， 其實概念的內容和求曲邊梯形面積的步驟基本一致，而求曲邊梯形面積的過程學生是有所了解的，只是其中有一步沒有理解清楚，因此本節課從關鍵的這一步出發，特設計預習探究，讓學生在預習的過程中自己提出問題，并在課前進行疑難解答，在講解概念時，自然水到渠成。

為了從數學符號的角度再次理解定義，因此從建立定積分符號的原因出發，對定義式進行解釋，從而實現用數學語言理解定積分的目的。

【參考文獻】

[1]岳忠玉.高等數學[M].西北大學出版社，2014

[2]吳贛昌.實用高等數學[M].中國人民大學出版社，2016

（基金項目：陜西高等教育教學改革研究項目基金（項目編號：17GY021））