矩形折疊問題的深度探析

朱曉勤

折疊問題是中考中的一個熱點(diǎn)問題，最常見的是矩形折疊，它對于我們識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了較高的要求。折疊操作，簡單的說，就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，其中“折”是過程，“疊”是結(jié)果。折疊問題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對稱變換，變換前后兩個圖形全等，折痕就是對稱軸，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。折疊更突出了軸對稱問題的應(yīng)用，所以在解決有關(guān)的折疊問題時可以充分運(yùn)用軸對稱的思想和軸對稱的性質(zhì)。

矩形折疊存在著翻折前后兩個圖形全等，下面我們繼續(xù)探究，還會發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論。

例如：在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上的一個動點(diǎn)，將△ABE沿著AE折疊，

若點(diǎn)B落在線段CD的點(diǎn)F處，這時有∠AFE=90°，從而有△ADF∽△EFC。

那么，當(dāng)點(diǎn)F不落在邊CD上時，點(diǎn)E是BC邊上的一個動點(diǎn)，我們會發(fā)現(xiàn)，這樣的翻折有無數(shù)多種，即折痕是不固定的，但根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，AF始終等于AB，所以點(diǎn)F運(yùn)動的路徑是以A圓心，AB為半徑的圓。

根據(jù)對稱性，可以知道BF⊥AE，因此在矩形折疊中存在以下重要的結(jié)論。

1.兩點(diǎn)一線，構(gòu)成十字形。

對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分。

2.圖中無圓，心中有圓。

翻折中，繞著某個點(diǎn)翻折的過程，就相當(dāng)于繞著這個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，即形成隱形圓。

在解題過程中，我們靈活利用上面的結(jié)論，會收到意想不到的收獲，使復(fù)雜問題簡單化。

一、利用“十字形”，化難為簡

（1）如圖1，正方形ABCD邊長為12，將正方形沿MN折疊，使點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)E處，且DE=5，求折痕MN的長。

（2）已知點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH=90°，EF=4。直接寫出下列兩題的答案：

①如圖2，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，則GH=_______；

②如圖3，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，則GH=________。（用n的代數(shù)式表示）

分析：第（1）題，連接AE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE⊥NM，所以過點(diǎn)N作NH⊥AD于H，然后利用“角邊角”即可證明△ADE和△NHM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=MN，然后利用勾股定理列式求出AE，從而求出MN=13。

第（2）題，由第一題得到啟發(fā)，構(gòu)造互相垂直的兩邊所在的直角三角形相似。所以過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥BC于N，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得GH=2EF=2×4=8，第三題類比可得GH=NEF=4N。

在折疊中，對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分。因此，通過構(gòu)造以“十字形”為斜邊的相似三角形，列出比例式，建立方程，求得線段長。

二、隱圓顯現(xiàn)，為解題插上翅膀

如圖5，矩形OABC的兩邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，B（8，6），D（2，6），E（6，6），點(diǎn)F（t，0）是射線OA上的一個動點(diǎn)，將四邊形OCDF沿直線DF翻折，O、C兩點(diǎn)關(guān)于直線DF的對稱點(diǎn)O′，C′，是否存在某一時刻，使得點(diǎn)O′落在第一象限，并在矩形OABC邊所在的直線上？若存在，直接寫出所有t的值；若不存在，請說明理由。

分析：本題難點(diǎn)是根據(jù)題目條件畫出圖形，由折疊的特征知道，點(diǎn)O′在以D為圓心，OD為半徑的圓上，與矩形邊所在直線相交有五種情況，落在第一象限的有三種情況。

由折疊可知，不論哪一種情況，DF始終垂直平分OO′，因此當(dāng)點(diǎn)O′位置確定下來之后，DF的位置也就容易確定。

當(dāng)點(diǎn)O′落在直線BC上時，如圖6，因?yàn)橹本€DF垂直平分OO′，又直線BC平行于x軸，得到四邊形ODO′F是菱形，所以有OD=OF，所以t=2。

當(dāng)點(diǎn)O′落在直線AB上時，點(diǎn)O′在點(diǎn)B上方時，如圖7，由于△O′BD≌OCD，所以O(shè)′B=CD=2，則有O′A=OA，那么OO′的中垂線經(jīng)過點(diǎn)A，此時點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，t=8；當(dāng)點(diǎn)O′落在點(diǎn)B下方時，如圖8，此時同樣有O′B=CD=2，O′A=4，再由“十字形”模型構(gòu)造相似，即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，得t=5。

折疊問題中輔助圓的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)了在解題中準(zhǔn)確畫出所需要的圖形，并使抽象問題具體化，分類問題變得簡單，從而突破了折疊問題難點(diǎn)。

折疊類問題，題型多樣，變化靈活，知識點(diǎn)多，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。“對稱的東西要盡量對稱地處理，不要隨意破壞自然的對稱性。——波利亞”，因此，在解決折疊問題時，首先要把握折疊的實(shí)質(zhì)，抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從點(diǎn)、線、面三個方面入手，發(fā)現(xiàn)其中變化的和不變的量，將其中的基本數(shù)量關(guān)系用方程的形式表示出來，從而使問題得以解決。