小學生數(shù)學“運算能力”存在的問題與改進策略

[摘 要]

計算作為小學階段數(shù)學學習的重要內(nèi)容，其核心在于提升“運算能力”，同步實現(xiàn)數(shù)學思維的發(fā)展。教學中教師可以有意識地從動作技能的形成方式入手，通過對運算過程的體悟與反思、算理理解的探究與建模、算法分析的解構(gòu)與遷移，從而幫助學生在具體問題中提升自主認識，在形成“運算能力”主體建構(gòu)中的挖掘數(shù)學思維，提升學科核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]

小學數(shù)學；運算能力；數(shù)感；算理；算法構(gòu)造；策略

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，人們越來越關(guān)注學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。就小學數(shù)學學科而言，一線教師更習慣傾向于通過“綜合應(yīng)用數(shù)學知識解決簡單的實際問題[1]”的途徑加以實施，采用能較“明顯地”體現(xiàn)數(shù)學思維的內(nèi)容組織教學。其實，小學階段每個內(nèi)容均承載著學生思維發(fā)展的目標，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011）版》中，將“運算能力”定位于義務(wù)教育階段學生數(shù)學發(fā)展的核心概念，具體表述為：“運算能力是指能夠根據(jù)法則和運算律正確進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》[2]中，將“數(shù)學運算”定位為高中階段學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等。

正確理解并發(fā)展小學生的“運算能力”，有助于通過運算促進學生數(shù)學思維發(fā)展，解決實際問題。因此，合理把握小學生“運算能力”培育的一般路徑與策略，處理好算理與算法的關(guān)系，提升學生運算的準確性、合理性與靈活性，是需要進一步思考與實踐的問題。

一、運算能力：小學生數(shù)學的關(guān)鍵能力

運算能力是小學生數(shù)學能力的核心要素，是數(shù)學學科獨有的能力，運算能力的形成對小學生整體數(shù)學能力的培養(yǎng)與提升起到了基石性的作用[3]。分析現(xiàn)行各版本小學數(shù)學教材中相關(guān)內(nèi)容，主要包括整、小數(shù)的四則計算及混合運算，分數(shù)的四則計算及混合運算，以及運算律在計算中的應(yīng)用，這部分內(nèi)容的教學本身占了教材總體內(nèi)容的25%以上，而且在解決問題的過程中都需要運用計算。小學數(shù)學試卷中，涉及計算內(nèi)容的題目一般占85%以上[4]，運用“運算”考查學生的數(shù)學知識及素養(yǎng)形成，具有廣泛的實踐基礎(chǔ)。

相關(guān)研究中，對于“運算能力”的內(nèi)涵厘定也逐步清晰。從內(nèi)容上看，運算中算理的分析、數(shù)據(jù)的解讀、方法的選擇、算法的推理、過程的遷移等正體現(xiàn)了“數(shù)學技能就是從數(shù)學知識掌握到數(shù)學能力形成和發(fā)展的中間環(huán)節(jié)”[5]。其主要體現(xiàn)在解決問題、理解問題、掌握法則、探究思路、選擇算法等。從內(nèi)涵架構(gòu)上看，運算能力并非是一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合，是以數(shù)學認知、數(shù)學思想、個人發(fā)展三個維度融合架構(gòu)形成[6]。從數(shù)學活動組織上看，“運算能力”包括運算、作圖和推理三種基本活動，“能算、會作圖和會推理”基本涵蓋了整個小學階段數(shù)學學習的內(nèi)容。在小學階段占有較大比重的計算教學，從理解算理到算法建構(gòu)，就體現(xiàn)著學生思維發(fā)展的軌跡。某種意義上“運算能力”（計算）的品質(zhì)決定著小學生把握計算本質(zhì)的內(nèi)涵，豐富數(shù)學建模方式，形成一般數(shù)學的認識方法，它是形成后續(xù)數(shù)學認知及基本思想方法的基礎(chǔ)。

二、小學生“運算能力”的現(xiàn)狀觀察與分析

受傳統(tǒng)教學影響，對于“運算能力”的分析診斷往往局限于對運算技能達成度、速度的評價，較少關(guān)注不同數(shù)學內(nèi)容中“運算”與“思維”的關(guān)聯(lián)應(yīng)用，從而造成班級學生運算技能發(fā)展水平不一，會算不會思，只注重計算結(jié)果忽視數(shù)據(jù)體驗與分析的現(xiàn)實狀態(tài)，主要表現(xiàn)在以下幾方面。

（一）對數(shù)據(jù)的整體感知能力弱

由于過多關(guān)注計算的速度與正確率，練習形式單一，教師往往忽視了學生在具體問題中對“數(shù)據(jù)”的體驗，學生從整體上觀察數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)物征、選擇數(shù)據(jù)處理方式的能力較弱。比如，四年級混合運算中，學生能解決較“直觀”的第一步就能簡算的計算問題，但往往看不出第二步或第三步后可簡算的環(huán)節(jié)，數(shù)據(jù)觀察與分析的意識弱。學生對數(shù)據(jù)的局部、特定的顯性分析能力強于一般整體分析感知能力。歸其實質(zhì)，是教師在計算教學中算的多、想的少；校對多，討論少，運算中較易形成相對機械的計算技能訓練。

（二）問題解決中根據(jù)需求靈活選擇計算的能力弱

當一個學生能正確地選擇合適的計算方法來合理、靈活地解決實際問題時，我們認為這個學生具備了良好的“運算能力”。而現(xiàn)實的情況中，學生更多地是以“具體明確要求”來指導自己的計算行為。尤其是面對不同情境下的具體問題時，筆算出精確值成為學生解決問題的唯一方式，忽視了估算、口算、用近似值表示等方法。這樣，運算能力的培養(yǎng)“精簡”成了豎式計算的“技能”，單一固化的技能培訓使學生思維發(fā)展淺層與弱化。

（三）計算結(jié)果合理性的判斷能力弱

學生計算出“一輛汽車的價格是10.868元”，分析這種問題的產(chǎn)生，淺層原因可能是由于數(shù)量單位的分析不到位，審題中出現(xiàn)錯誤。但其實更為關(guān)鍵的是學生對“數(shù)”的結(jié)果合理性認識不到位，缺乏對數(shù)據(jù)意義的數(shù)學認識，表現(xiàn)出對計算結(jié)果進行評價、診斷的“運算能力”弱，算與思、算與用相脫節(jié)。

（四）算理分析中數(shù)學思想方法的訴求弱

計算作為一種解決問題的基本能力，在會算甚至達到自動化的基礎(chǔ)上更需關(guān)注其運算背后所承載的思想方法。比如計算“×”學生會算，但“為什么分子相乘作分子，分母相乘作分母，算理是什么？”卻是許多學生忽視的關(guān)鍵。缺乏算理理解支撐的計算，將使有意義的“運算”走向機械的“計算”，這也是造成當下學生只會計算，不會通過計算分析數(shù)據(jù)，實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化，方法遷移的根本問題。

三、提升小學生“運算能力”的實踐改進

（一）注重“運算”過程的感悟與思考

“運算能力”的形成不是一蹴而就的，而是在多種途徑下對問題的深入思考逐步積累而形成的。這樣，對于“運算”目標達成，首先應(yīng)定位于對“運算”過程的體驗，因為只有當學生面對具體的運算問題，在豐富的體驗分析中感悟，才能真正觸及對計算中的相關(guān)方法（算法、算理）的深入理解。

1.借助“數(shù)感”體驗，思考“數(shù)據(jù)”

“數(shù)”及“數(shù)感”是新課改以來十分關(guān)注的核心能力，運算中對數(shù)的理解與應(yīng)用正是增強“數(shù)感”體驗的重要環(huán)節(jié)。“數(shù)感”包括“對數(shù)字關(guān)系和數(shù)學模型的意識，以及應(yīng)用這種意識靈活解決數(shù)字問題的能力，其核心是指計算策略中的靈活性和創(chuàng)造性，而非“沒有思維”的計算程序[7]。就“運算能力”的形成，教學中教師引導學生對計算數(shù)據(jù)進行分析與選擇，并在過程上針對數(shù)據(jù)“左顧右盼”與“瞻前顧后”，即不局限于結(jié)果的準確性，而更在于對得出結(jié)果中的思考過程的悟，比如根據(jù)數(shù)據(jù)特點選擇計算的最優(yōu)化方式、進行算法的水平或垂直遷移、類比感悟一類問題的共性等。如此，教師要精選計算問題，選擇適合于學生多元思維的計算，引發(fā)學生對一類問題的思考，并在過程中逐步感悟其合理性。

2.著眼計算整體，感悟“方法”

感悟“方法”，其核心是選擇能提升高質(zhì)量“運算能力”的載體。當學生對數(shù)據(jù)產(chǎn)生敏感，嘗試數(shù)據(jù)的合理化分析時，教師要實現(xiàn)過程主導，幫助學生由觀察思維向操作、推理思維發(fā)展。同時，注重計算問題的整體性分析，將單一結(jié)果運算，轉(zhuǎn)化為一類相關(guān)聯(lián)的“問題組”，學生可從多維度分析算理，形成多元、個性地算理解構(gòu)與應(yīng)用，幫助學生有效打開數(shù)學思維核心，實現(xiàn)經(jīng)驗“創(chuàng)造”。這種“創(chuàng)造”一般是從問題整體切入的，可能是遷移形成，可能是“類比”形成，可能是“突發(fā)奇想”，但這種過程中的提煉，教師充分引領(lǐng)去思考其合理性，從而悟出“方法”。

比如計算[65×67-15÷76]，指導學生觀察算式，如何找到相同因數(shù)進行簡算。學生能發(fā)現(xiàn)“化除為乘”轉(zhuǎn)化為[65×67-15×67]使計算簡便。再提供：[47×35+37×15]指導學生觀察，分母都是7、5，有些相似，現(xiàn)在能否快速計算。此時學生大多比較迷茫，嘗試計算中發(fā)現(xiàn)結(jié)果是[37]，再指導觀察，能否轉(zhuǎn)化為相同因數(shù)呢。[47×35+37×15]=[37×45+37×15]=[37×（45+15）=37]。兩步的分析都從觀察因數(shù)入手，不斷幫助學生能從整體上分析數(shù)據(jù)的構(gòu)造，提升計算的靈活性，積累“方法”的體驗。

3.辨析應(yīng)用分析，體驗“過程”

過程感悟指不能僅停留于抽象的運算及數(shù)據(jù)，而是要引導學生結(jié)合現(xiàn)實數(shù)據(jù)，通過綜合的分析運算過程，實現(xiàn)數(shù)與數(shù)量關(guān)系、數(shù)與空間形式、數(shù)與抽象概念的融合，提升應(yīng)用意識。使運算分析成為解釋現(xiàn)象的工具，成為交流、加工、解釋信息的量化方法。

比如“一個商店每天的營業(yè)額約5000元，那么一個月（按30天）計算，平均每月的營業(yè)額是多少元。”一位學生的答案是15000元。教師引導學生觀察數(shù)據(jù)，“你能怎樣來進行檢驗？”

生1：我是通過計算檢驗的。先算5×3=15，再加4個0，也就是150000元。

生2：我是想3個5000元是15000元，那這個結(jié)果一定是錯的，因為一個月有30天。

生3：我覺得一個商店如果一個月的營業(yè)額只有15000元，早就關(guān)門了。

學生1是通過計算法則來分析，學生2是通過數(shù)據(jù)分析來解決的，而學生3具有現(xiàn)實的數(shù)據(jù)感知能力，通過意義來判斷。三種檢驗談不上好與壞，但從“運算能力”的角度分析，學生2與學生3的檢驗更體現(xiàn)出靈活“運算能力”中對抽象數(shù)學的應(yīng)用價值。

（二）優(yōu)化“算理”理解的探究與建模

理解“算理”是解構(gòu)算法，形成“計算技能”，提升“運算能力”基礎(chǔ)與關(guān)鍵。算理的理解不等同于知道怎樣算，而是明理、會意、成型，知道“為什么”這樣算的過程。教學中，教師要立足整體，打破單一的知識點的教學設(shè)計方式，從平行式推進轉(zhuǎn)變成遞進式拓展，從而在課堂時空中，借助具體學習內(nèi)容實現(xiàn)學生認知、能力、思維等方式的提升。

1.多元表征，從模型視角理解算理

算理的理解離不開對問題構(gòu)造的數(shù)學模型抽象。教師對于計算中算理的分析，需要通過多種形式，打開學生的思路，借助學生已有認知經(jīng)驗的遷移與再創(chuàng)造，幫助學生在頭腦中清晰過程，形成計算模型。這種幫助一般表現(xiàn)為設(shè)置一定的思維支架，算理的理解，不再僅是“教學”與“操作+思維”的簡單方式，而是適時引導學生在操作中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、激活思維、豐富經(jīng)驗。例如，五年級轉(zhuǎn)化策略教學中典型的[12+14+18+116]的計算，教師如果只是針對題目“教”“數(shù)形結(jié)合”，讓學生看（簡單畫）圖后直接解決問題，此時的思維支架僅僅成為學生解題的一個特殊的外在方法。但如果教師能幫助學生觀察數(shù)據(jù)的特點（后一個數(shù)是前一個的2倍）、提供可供操作的圖形（正方形看作“1”）、組織議一議[12、14、18、116]的表示、啟發(fā)思考“是否可以換個角度來思考”……一系列的分析與操作的協(xié)同過程，必將引領(lǐng)學生對為什么需要“數(shù)形結(jié)合”，怎樣實現(xiàn)形與數(shù)的聯(lián)系等等解決問題方式的思考，最終形成認識上的飛躍，同步實現(xiàn)數(shù)學活動經(jīng)驗不斷豐富與遞增。如果教師能更進一步啟發(fā)操作：“如果是[13+16+112+124]或[14+18+116+132]又可以怎樣操作分析呢？從中可以發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？”帶著問題引領(lǐng)的操作分析將帶著學生走入更為理性與規(guī)律變化的數(shù)學世界，獲得不一樣的數(shù)學思維經(jīng)驗。因此，從形象的計算，到抽象的算理解構(gòu)，教師通過多樣化比較與呈現(xiàn)，可引導學生意識到算理的合理性、必要性與聯(lián)系性，啟發(fā)學生探尋實質(zhì)，體會計算存在方式的合理邏輯。

2.同化順應(yīng)，在意義聯(lián)接中理解算理

同概念形成的一般規(guī)律一致，“算法”的認識過程也涉及形成與同化兩個方面。形成階段學生經(jīng)歷對具體數(shù)學現(xiàn)象的觀察，對特定（特殊）問題進行分析，從而形成對操作規(guī)范的形象感知；同化階段學生經(jīng)歷豐富素材的比較過程，教師聚焦不同現(xiàn)象中的相似性，幫助學生對“算理”進行主體性構(gòu)造分析，實現(xiàn)具體特殊原理向一般化的轉(zhuǎn)化。因此，教學中，教師要選擇具有典型特征的現(xiàn)象，啟發(fā)學生從多種角度（式、圖等）進行分析，借助豐富個案的溝通，幫助學生對“算理”體驗與理解。比如小數(shù)乘法教學中，0.8（元/千克）×3（千克）就是通過買賣問題中“貨幣單位”的轉(zhuǎn)換獲得最初的直觀認識，進而結(jié)合“位值制”原則，啟發(fā)學生借助已有經(jīng)驗進行分析，并在多個例證中的應(yīng)用使學生對于整數(shù)乘小數(shù)的“算理”與整數(shù)乘法“算理”相通，明晰“轉(zhuǎn)化”原理，形成意義建構(gòu)。

同時，教師需要不斷清晰學生算理理解的困難，即“小數(shù)乘整數(shù)的計算，從兒童心理接受、認知遷移層面等方面，明顯受到原有經(jīng)驗的影響：小數(shù)點要上下對齊，乘出的結(jié)果要與原有結(jié)果相一致”。教師在引導問題解決，理解算理中，可有意識呈現(xiàn)新算法建立的數(shù)學背景，從而以形式入手再到算理分析，進而實現(xiàn)簡單算法建模，為后續(xù)學習提供思維方式的心理基礎(chǔ)。教師可圍繞問題引導學生反思過程：

①借助加法模型、經(jīng)驗（口算）遷移，從形式上看出變化。（小數(shù)點點在哪里）

②借助現(xiàn)象解讀本質(zhì)，引導學生去思考為什么小數(shù)點要點在這里。

③找尋理由，打通知識聯(lián)系進行簡單演繹推理，自主建構(gòu)算法，明確算理。

事實上，通過上述三個方面的聯(lián)系，學生不光形成了小數(shù)乘整數(shù)的算法，對于小數(shù)乘小數(shù)的算法構(gòu)造從整體上將有進一步的感知理解。

3.雙向溝通，借助橫縱比較理解算理

小學生數(shù)學知識、技能的習得與原理及數(shù)學經(jīng)驗的積累是相互交織、循序漸進、螺旋上升的，學生運算能力形成也是如此。在相關(guān)“算理”理解的活動中，一方面要橫向溝通，注重激活學生已有的知識、經(jīng)驗，并將新計算的“算理”理解與解析建立在與原有相關(guān)知識發(fā)生、發(fā)展與聯(lián)系的基礎(chǔ)之上，使得新舊知識得以在多角度、多側(cè)面共通，并在靈活應(yīng)用這些知識過程中，理解新產(chǎn)生的“算理”，使得“算理”在學生認知結(jié)構(gòu)中“扎根”。比如，口算是在“位值制概念”與運算意義的基礎(chǔ)上直接形成的“算理”認識與應(yīng)用，筆算的“算理”則是由口算演化形成的“規(guī)范”過程，復(fù)雜筆算又是在簡單筆算基礎(chǔ)上延伸與發(fā)展的。而分數(shù)加減法算理來源于整數(shù)運算的類推，分數(shù)乘、除法的算理則來源于分數(shù)乘、除法意義。

另一方面，要注重縱向激活，注重為學生提供現(xiàn)實的應(yīng)用場景，在基于經(jīng)驗的運算中，借助多樣方式，理解算理。比如“二步混合運算”的教學，運算順序的算理理解就需要以解決問題的過程展開。教師提出“每本筆記本15元，每個書包20元，小軍買3本筆記本和1個書包，一共用去多少錢？”學生嘗試解決，教師收集資料。“5×3=15（元），15+20=35（元）”“5×3+20”

師：不同的列式解決過程，你能看懂嗎？

生：都先算3本筆記本的價錢，再加上1個書包的價錢，就是一共的價錢。

師：其實他們都是在算3本筆記本的價錢，再加上1個書包的價錢，就是一共的價錢。那它們之間有什么不同嗎？（貼移動板書：3本筆記本的價錢，1個書包的價錢）

師：像這樣用兩個算式的叫分步算式，而像他這樣合并成一個算式的，我們稱之為綜合算式。像這樣的綜合算式你該怎么計算呢？（板書：3×5+20=15+20=35元）

師：數(shù)學上還有另外一種書寫方式（移動數(shù)量關(guān)系的板書，先算3本筆記本的價錢“3×5”寫上=15+20，再加1個書包的價錢，=15+20=35），現(xiàn)在你能結(jié)合數(shù)量關(guān)系，理解遞等式運算的步驟嗎？請來說一說。

抽象的運算順序用直觀的數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)，幫助學生突破了認知難點，更為重要的是教師如果能在不同“算理”的認識節(jié)點激活相應(yīng)的知識、經(jīng)驗，通過橫縱向意義的聯(lián)系，就能使“算理”理解成為一個整體綜合的內(nèi)循環(huán)過程。

（三）突出“算法”分析的解構(gòu)與遷移

計算能力中包含著對算法的構(gòu)造、設(shè)計、選擇[8]。因此，“算理”的理解與應(yīng)用不能僅停留于“會算”的階段，按照算法規(guī)則進行邏輯推理而獲得正確結(jié)果是計算的一個方面，更重要的，通過算法的構(gòu)架與應(yīng)用，提升運算能力。一般的，數(shù)運算教學中，要將“算理”與“算法”整體規(guī)劃，從而達到循“理”入“法”，以“理”馭“法”。其基本流程可描述為：

1.基于學情，促進“算法”的節(jié)點生成

算法是運算過程的程序性法則，就小學生而言，算法的認識與形成離不開生活中的過往經(jīng)驗。因此引導學生從自我認知中去發(fā)現(xiàn)、解構(gòu)算法，將有助于學生對具體問題的數(shù)學化思維發(fā)展。“異分母分數(shù)加、減法”教學中，教師把著力點放在基于數(shù)據(jù)體驗的算法認識，在對比選擇中合理選擇不同類型異分母分數(shù)加、減法的方法，提升對于“算”的認識。

教師呈現(xiàn)[25+38]。

師：你能獨立解決這個問題嗎？想一想，可以怎樣來計算，求出結(jié)果。教師巡視，收集學生資源：

第一種通分，將異分母分數(shù)化成同分母分數(shù)就可以解決問題[25+38=1640+1540=3140]。

第二種化成小數(shù)：[25+38]=0.4+0.375=0.775。

小結(jié)：同樣的一個計算問題，分析數(shù)據(jù)的特點，利用通分，化成同分母分數(shù)進行計算，也可以根據(jù)分數(shù)的特點，化成小數(shù)計算，從多種不同的思維路徑解決問題。

師：想想分別可以用哪些方法來解決？試著簡要地寫一寫。

[45+34] [34-13] [920-1950] [812-515]

學生進行分析并計算后，教師組織橫向比較：

師：為什么[34-13]都選擇通分？——無法化成有限小數(shù)

為什么[812-515]卻有多種通分方法？哪種更合理呢？

追問1：為什么這4個異分母計算，大家在方法應(yīng)用上有差異？

追問2：通過上述計算，對你在計算上有什么啟示，有什么經(jīng)驗可與同學分享？

小結(jié)：同樣是通分，還要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點，選擇合適的方法。有時先約分后再通分能使計算簡便。

上述過程，教學沒有拘泥于“算法”建構(gòu)，而是借助數(shù)學問題分析，突出了“結(jié)合數(shù)據(jù)特征，合理選擇算法”的運算能力培育。在“分析數(shù)據(jù)、選擇算法、比較優(yōu)化”的多樣化問題情境下，師生的學習活動不斷深入，推動了學生數(shù)學思維的提升。

2.利用同化，促進“算法”的構(gòu)造分析

同概念形成的一般規(guī)律一致，“算法”的解構(gòu)過程也涉及形成與同化兩個方面。形成階段學生經(jīng)歷對具體數(shù)學現(xiàn)象的觀察，對特定（特殊）問題進行分析，從而形成初步操作規(guī)范；同化階段學生經(jīng)歷豐富素材的比較過程，教師聚焦不同現(xiàn)象中的相似性，幫助學生對算法進行主體性構(gòu)造分析，實現(xiàn)特殊向一般的轉(zhuǎn)化[9]。因此，教學中，教師要選擇具有典型特征的現(xiàn)象，啟發(fā)學生從多種角度（式、圖等）進行分析，借助豐富個案的溝通，幫助學生對“算法”進行自主解構(gòu)。如《異分母分數(shù)加、減法》中對+算法的分析，往往老師會忽視主題圖的應(yīng)用，對折演示實質(zhì)對異分母“化異為同”算法的直觀化理解，指向于形成統(tǒng)一分數(shù)單位的初步直觀感悟。教學中，教師要能較充分展開“解讀”的過程，通過數(shù)與形的結(jié)合，幫助學生理解統(tǒng)一分數(shù)單位對計算的重要性，并隨之與整數(shù)、小數(shù)計算溝通，為后續(xù)“算理”深入理解提供認識基礎(chǔ)與構(gòu)造遷移經(jīng)驗。

小學生“運算能力”，其本質(zhì)在于展現(xiàn)運算背后的數(shù)學思維品質(zhì)，使學生經(jīng)歷觀察、分析、推理、遷移的數(shù)學活動過程，同樣能促進學生在解決問題中的算理解構(gòu)、算法優(yōu)化，走出單一運算思維的局限，進而形成個性化的數(shù)學思維，提升“運算能力”，彰顯小學階段學生的基本數(shù)學素養(yǎng)。

[參 考 文 獻]

[1]國家教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]國家教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]潘小福.學科關(guān)鍵能力的厘定、評價及培養(yǎng)——以小學數(shù)學為例[J].上海教育科研，2015（11）.

[4]此數(shù)據(jù)為筆者對本區(qū)域內(nèi)21所自主命題學校2018學年秋學期各年級試卷分析結(jié)果，不代表其他地區(qū).

[5]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[6]王永春.小學數(shù)學核心素養(yǎng)體系下的運算能力[J].小學教學研究，2017（3）.

[7]徐文彬，喻平.數(shù)感及其盛開與發(fā)展[N].數(shù)學教育學報，2007（5）.

[8]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[9]蔣敏杰.小學數(shù)學計算教學算理的結(jié)構(gòu)分析及教學策略[J].中小學教師培訓，2016（7）.

（責任編輯：李雪虹）