以學的視角看中學向量教學內容的處理

周形巖

摘要：中學向量這部分內容，在實際教學中，尤其是在生源不太好的學校，大多數的教師側重向量的坐標運算的教學，而且側重公式的應用.這樣面對高考中出現的稍難一點的向量問題，學生就會束手無策.另外，在三角解析幾何、立體幾何的學習中，學生靈活運用向量知識的能力難免偏低.本文將從基礎較差的學生需要的視角，談一談中學向量教學內容的處理。

關鍵詞：中學;向量教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2018）12-0235-01

1.以今后的正余弦兩角差的余弦公式的學習需要出發，加強向量數學積概念外延的教學

講解向量數量積概念對應引導學生思考：

（1）這一個表達式中若向量均為單位向量，那么這個式子就變形為：，也就是這兩個向量的數量積.這就為今后學習兩角和差的余弦公式的證明做好鋪墊.反之，學生難以想象到兩角差的余弦可以表征為兩個單位向量的數量積，以向量為工具證明這個公式。而這個公式用向量的方法證明是比較簡潔的，也有助于學生的記憶.而這個公式又是其他多個兩角和差三角函數公式的基礎，是三角恒等變化的核心知識點。

（2）應引導學生思考公式中，若是同一個向量，但不是單位向量，也可以理解為一條線段的長度，所以線段長的問題也可以用相應向量的數量積加以表示，不僅如此，若是單位向量，則，這樣邊長和角三角函數的乘積就和數量積發生聯系。這也為今后的正余弦定理的學習打好基礎。反之，學生學習正余弦定理時往往會感到以向量方法證明這兩個定理相當突兀，難以接受，而這兩個定理在整個三角中的重要性是不言而喻的。

（3）提問強調：若，這意味著線段己在可知長可以轉化為數量來求，而在夾角為90°時兩向量所在直線（線段）的位置關系問題幾蕊所在的相應有向線段的長度的夾角問題均可以由其數量積來表達。

教學中應特別強調數量積的這種功能，今后立體幾何中以向量法證明直線、平面間的位置關系，求其直線平面的夾角的思路的形成;解析幾何中把特殊位置的點的幾何特點（如總在以AB為直徑的圓上的動點P）以數量積形式表達，這一切都是水到渠成的。

2.講清向量數量的坐標表示的來龍去脈以應用求向量數量積的問題

要重視向量基本定理的教學，這樣向量坐標運算的公式也就不難理解，也容易記住.更重要的是在這個內容的教學過程中要引導學生體會一個向量可以如何表達。

（1）可以表達為特定向量的和、差的若干倍。但這樣做可能會比較麻煩，于是對著特定的向量要加以選擇，便于運算，選定的兩個基向量可以垂直，也可以不垂直，只要便于運算就可以。

（2）向量也可以用向量的坐標加以表示，但這有一個前提，表示向量的兩個基向量是標準正交基，也就是有可以建立平面直角坐標系的條件：可以得到兩個標準正交基。

基于這樣的理解，處理向量數量積的問題的若干方法也就有了源頭。一種是坐標法，另一種是基底法，基底的選擇要確保數量積好求。更一般地處理向量問題往往涉及對向量的表征，自然也就有兩個角度，一個是坐標表示，另一個是以基底向量表示。立體幾何中可以由向量坐標關系導出其坐標關系，遇到兩向量坐標是在非標準正交基下，此時也很容易求到其數量積。這些問題也是高考中的常考點，也是生源較差的學校失分很多的難點，但這些常考點也不是高不可攀的。

3.向量教學中應重視同一種向量關系能以圖形、文字、向量式等多種方式表達

即轉化思想的滲透。日常應該注重包括數形結合，完成數和形兩種表達的轉化，以達到簡化解題過程的目的，也可文字表述、向量式含意表述、圖形表述.向量式的變換，日常應注意應對稍難一點的向量問題。

已知：

解：注意到已知條件的特點，可以用三個向量構成一個直角三角形，三邊長分別為3、4、5.

則易得：

其關鍵是把題中向量之間的關系以圖形加以表征，而題目已知條件給定的向量之間的關系大多以向量式給定。

上述轉化思想在解向量題目中也是很常見的，但相對較難，要有足夠的訓練才能讓部分學生掌握。

4.結語

作為向量的應用之一，三角形的重心、外心、內心、垂心，也是要關注的內容，這些問題的處理需要的許多知識方法，文中已經提及，只是應把這四個心的幾何特點以向量式表示，區分這四個心，而且這部分內容較難，適合基礎較好的學生。而本文主要針對基礎不太好的學生，所以不再詳敘。