高中數學教學中思維可視化的案例實踐

胡同文 張豪

數學學習是學生思維生成、發展的過程。在數學教學中，堅持以學生為主體，教師主導，使用實體模型、圖形演示軟件、思維類比、程序框圖、自適應平臺等思維可視化工具，幫助學生抽象概念、提煉模型、深度體驗，提升學生的數學素養。

思維可視化的概念

思維是指：在表象、概念的基礎上進行分析、綜合、判斷、推理等認識活動的過程。思維是人類特有的一種精神活動，是從社會實踐中產生的。數學是思維的體操，數學學習是思維生成、鞏固、和發展的過程，高中數學學習是學生知識和技能趨于系統化的階段，塑造良好的數學思維能力，使其一生受益。高中數學知識體系龐大，運算量大，思維容量大，思維嚴謹、系統，學生已有的知識不夠，需要對知識貯備、技能和方法的要求進行掌握，從而造成學生學習起來困難重重，喪失學習的信心與動力。

數學教學要聯系學生的最近發展區，從已有的知識、技能出發，借助思維工具，將抽象的知識具象化、將生澀難懂的知識情境化、將相同類似的知識方法歸類化，教會學生思維可視化的方法，提供給學生思維可視化的工具，將學生帶入數學學習的樂境中，巧妙合理地學習新知識。

思維可視化的案例

案例一：基于實際物體模型的思維可視化教學

在三視圖教學中，多利用實體模型進行輔助教學。學生對于空間的理解多來源于現實生活，利用教具正方體、長方體、柱體、椎體，可以讓學生很直觀地觀察出表面積、體積，通過正面到側面再到頂面不同方位的觀察，可以增加學生對于三視圖的理解，對于線面垂直可以用轉動中的門始終與地面垂直，讓學生從動態過程中逐步提煉出結論：門軸線始終與地面垂直。同樣地，很多時候可以讓手指代替直線，讓手掌代替平面，從而形成動態的直線與平面間的位置關系。

在空間幾何體的表面積教學中，可以使用正方體、長方體、三棱柱、三棱錐的教學模型進行演示教學，讓學生觀察實際的模型，積累經驗，腦海里抽象出空間幾何體的表面積計算模型。

案例二：借助于圖形演示軟件

在正弦型函數的圖像教學中，為了幫助學生認識利用A、w、對圖像的影響，可以使用幾何畫板（圖形計算器、MATLAB等）進行教學。

首先，構建好函數模型，改變其中的一個變量，觀察該變量的變化對于三角函數圖像的影響，形成學生的直觀印象。

接著，讓學生歸納各個變量的影響情況：

1.A是振幅，會影響縱向的拉伸，A值越大縱向越長，A值越小縱向越小，A值與縱向拉伸成正比。

2.W值會影響橫向的拉伸，W值越大橫向越小，W值越小橫向越伸展，W值與橫向拉伸成反比。

3.φ值的改變會影響圖像的左右平移，結合學生經驗容易歸納出左加右減的規律。

最后，先提出預設的圖像變化，讓學生去設計函數變化情況，逐步讓學生脫離軟件模型，內化為自己的知識。

案例三：利用多米諾骨牌游戲類比數學歸納法的教學

數學歸納法教學中需要重點強調：一是首項n=n0時，必須成立；二是假設n=k時成立，推導出n=k+1時也成立；從而得出結論都成立。

在數學歸納法的教學過程中，先播放一段多米諾骨牌的視頻，學生很容易進入情境中，然后對學生提問：

1.大家發現這里面的什么有趣之處？答：前一個倒下后，后一個接著倒下去，從而引起連鎖反應，不斷地倒下去，從而全部都倒下去了。

2.如果從第二項開始推倒，那么所有的骨牌會倒下去嗎？答：不會，第一個不會倒下去；如果從某一個開始推倒呢？答：也不會，因為前面的不會倒下去。

3.如果從第一個開始推倒，但其中有兩個骨牌隔開，那所有的骨牌也不會推倒。

4.如果前幾個骨牌倒下去，能不能令所有的多米諾骨牌倒下去？也不行，因為要所有的都倒下去。

當同學們還沉浸在多米諾骨牌的氛圍中，馬上切入類比數學歸納法：其實數學歸納法類似于多米諾骨牌的游戲，關鍵也在于引起連鎖反應，假設n=k時成立推導出n=k+1也成立，就相當于多米諾骨牌的相鄰兩塊，前面一塊倒下去可以導致后面一塊也倒下去，這樣就能引起連鎖反應，并且是對任意連續兩項都可以，前提條件是第一項必須成立。

案例四：程序框圖軟件實現程序可視化

在程序框圖的教學中，學生認知的一個誤區就是程序要運行結束以后才會有結果，其實不然，一個程序設計好以后，程序運行的結果已經確定。借助程序框圖軟件可以輕松實現程序過程的間斷，使學生觀察到程序運行中變量的變化情況，例如：

的程序設計中，使用Qbasic編程：

在程序運行的過程當中可以很容易地進行程序的調試，通過對更改變量S起始值、I的終值引起S的最終變化；先運行值的交換程序發現不能交換a、b的值，再通過引入c的值實現a、b值的交換。讓學生通過對結果變化的觀察，倒回去思考流程中的變化情況，從而得出電腦的運行方式是很單一的，即嚴格地按照步驟執行程序語言，也就要求學生特別注意程序語言的格式規范，通過編寫程序，體驗電腦運算的便捷，學會程序性思維方式。

案例五：借助自適應平臺復習，構建知識框架圖

數學的知識是體系化的，既有基本的知識點、概念的教學，又有方法類型的概括，通過思維導圖構建知識框架圖，讓學生的知識形成體系，形成版塊性的知識點。借助每周在自適應平臺的練習，可以生成全班的學習記錄，錯誤的題自動加入錯題庫，定期進行清理，對每位同學的學習情況進行診斷，對于已經學習好的知識點略講，未學透的知識點著重講。幫助教師掌握班級學習情況，制定適合的教學方案。通過思維導圖建立知識體系，自適應平臺測評學習情況，使得教師和學生的學習針對性更強，學習效率得到提升。

思維可視化教學的原則

注重主體型思維，重視學生的主體性

主體型思維是以思維主題為標準，對思維進行因素分析的分類而得到的因素類思維。注重學生的主體型思維，任何教學方式都要以學生為中心，以學生的思維為起點，以學生的活動為載體，以學生思維的發展為目的。

選擇思維工具教學時，要基于學生已有的知識體系、技能方法、思維層次，找到適合學生學習的方式類型。學生作為教學活動的主體，參與課堂的程度直接決定課堂的成效。

注重上升性思維，強化教師的引導力

教師要采取恰當的教學手段和措施，從引導，到半扶持，再到放手，讓學生逐步從“學會”到 “會學”，真正成為數學學習的主人。教師對于整個章節的把握，直接影響到課程內容設計、內容選擇、課程實施，師生的思維的交互，提供在學生需要的時候。教師的個人風格、自身的綜合素養也會對學生的學習造成影響，正所謂“親其師，信其道”。

注重探究式思維，強化課程內容體驗

注重探究式教學，強調深度學習。幫助學生理順思路，根據馬斯洛的多元認知理論，圖像的知識覆蓋比直接講解要多，可以適當地加入圖片，函數圖像，實體模型等，符合學生的學習和認知習慣，利用思維可視化工具可以幫助學生很容易地獲得直觀經驗，但是在教學活動中，學生學習的獲得在于思維活動的深度體驗。既要有縱向知識點間的傳承，體會數學知識點的發生與發展；又要有橫向知識版塊間的類比，發現知識版塊的共同之處，體會數學的方法論、數學化；更要對單個知識點進行深挖，探究內涵，體驗數學的嚴謹與魅力。

板書是思維可視化的最根本途徑

一支粉筆最能展示數學的思維。一名數學教師可以不用電腦、PPT等輔助教學工具，但是卻不能少了教學演示，教學過程當中最不可或缺的是教師的板書演示，好的板書能帶給學生好的演示，規范學生解答過程的同時，有效引導學生的思維過程。板書演示是數學教學過程中運用最多的方式，也是數學思維體現最多的過程，教師對數學問題的思考就蘊藏在數學解題過程中，教師認真板書，并配合適當的講解能有效展現數學問題的思維過程。學生的解題過程反映了學生對知識點的掌握情況，暴露出思維過程中有問題的地方，讓學生上臺板書可以有效了解學生的思維過程和學習的具體情況。PPT能提高課堂的有效性，但有時數學解題過程的呈現太直接，導致學生思維發生跳躍，無法跟上學習的節奏。

結語

數學是思維的學科，數學的學習是思維生成和發展的過程，借助數學工具進行思維可視化的教學，可以幫助學生迅速融入數學的知識版塊體系中，融入數學思維的基本活動體驗當中，激發學生數學學習的興趣，促進學生思維更快更深地發展，提升學生的數學素養。