淺談核心素養導向下“曲邊梯形的面積”的教學

甄榮

隨著課程改革的不斷深入，學生核心素養的培育越來越為人們所關注。提升學生的數學核心素養是高中數學教學活動的發展去向。提升數學核心素養是一個長期的、動態的、循序漸進的過程，不是一蹴而就的。作為高中一線教師，我們必須認真思考如何基于核心素養來設計和實施數學課程，深化學生的數學思維以及學生“用數學”的自覺性。本文以《曲邊梯形的面積》為例，從提升學生分析力、增強學生創造力、提升學生思考力、增強學生實踐力等方面闡述了對核心素養視角下高中數學教學的一些思考。

創設問題情境，提升學生的分析能力

一個好的問題情境可以開啟學生對新問題的研究，促使其用數學眼光觀察情境、用數學思維分析問題。《曲邊梯形的面積》一課可以設計如下問題情境：小方塊狀的瓷磚為什么能貼出拱形建筑？讓學生直觀感受“曲”與“直”的矛盾，感悟數學具有現實的性質，促使學生思考，為后續教學中“以直代曲”思想的形成做好鋪墊。

注重數學歷史，增強學生的創造能力

陳玉嬋在《如何讓數學文化在中學課堂中綻放魅力》一文中提到“科學只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧”，讓學生了解知識的產生、發展歷程，可以拓寬學生的視野。在此基礎上學生可以進行合理的借鑒和創新，建構新知，增強學生的創造能力。

《曲邊梯形的面積》一課中設計了這樣的數學史內容：一是，劉徽以極限思想為指導，提出用“割圓術”來求圓周率，既大膽創新，又嚴密論證，從而為圓周率的計算指出了一條科學的道路。

二是，古希臘數學家阿基米德通過計算邊數倍增的圓外切和內接正多邊形的周長來求圓周率的近似值，阿基米德用到了迭代算法和兩側數值逼近的概念，稱得上是“計算數學”的鼻祖。

講割圓術，讓學生初步體會“以直代曲”和“逼近”的思想。介紹圓內接和外切正多邊形逼近圓的過程，為后面提出“不足近似”和“過剩近似”埋下伏筆。

立足學生思維，提升學生的思考能力

教師要站在高觀點下進行數學教學設計，關注學生思維發展的特征，激發學生認知上的不平衡，把數學知識的建構活動不斷引向深入，引導學生用數學的方法和視角分析問題，解決問題，切實提高其思考能力。

《曲邊梯形的面積》一課為了幫助學生建立解決曲邊梯形面積問題的基本經驗，先考慮一個特殊的問題：如何求由拋物線，直線，所圍成的平面圖形的面積？

針對這個特例，設計了以下幾個問題：

問題1 ：你打算怎樣計算這個曲邊圖形的面積？具體怎樣操作？（分割）

問題2 ：每個小曲邊梯形的面積如何計算，能用什么圖形代替？（以直代曲、近似代替）

問題3 ：如何得到整個曲邊三角形面積的近似值？（求和）

問題4 ：直邊圖形的面積怎樣才能越來越接近曲邊三角形面積的準確值？能否得到準確值？（取極限）

問題5： 用每個小區間的右端點的函數值作為近似值計算曲邊三角形的面積，結果是否一樣？（“不足近似”和“過剩近似”）

問題6 ：用每個小區間的左、右端點的函數值作為近似值計算曲邊三角形面積得到的結果相同，如果用每個小區間任意一點處的函數值作近似代替，是否也可以求出曲邊三角形的面積，結果是否一樣？（“左右夾逼”，合情推理與演繹推理）

問題7 ：回顧求這個曲邊三角形面積的整個過程，你能概括出求這個曲邊三角形面積的方法嗎？（分割→近似代替→求和→取極限）

問題8 ：以上過程都是基于等分區間的，如果不等分區間行嗎？保證什么就可以？（更深層次地理解這一算法，體會其數學本質）

問題9 ：對于一般的由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積你會求了嗎？（通過從特殊到一般的推廣，再一次強化求曲邊梯形面積的方法和步驟。同時 的出現為后續定積分的教學做了鋪墊。）

問題10： 任意曲線所圍成的曲邊圖形的面積怎么計算？（再次經歷一般化的過程）

通過對問題由淺入深的層層遞進，學生的思維一直處于積極的思考狀態。學生在分析問題、解決問題的過程中提升了思考能力，理解了數學本質。課堂中充分向學生滲透觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納、類比等各種數學思想方法，從特殊到一般，讓學生的思維空間更為廣闊，學生逐步自主完成數學學習過程，使得學生能夠在數學活動中進行“再創造”，這都符合數學思維的建立。

關注探究活動，增強學生的實踐能力

《曲邊梯形的面積》一課還設計了這樣兩個課外探究活動：

活動1 ：嘗試用“分割→近似代替→求和→取極限”的四部曲，驗證球體的體積公式。

活動2 ：由拋物線，直線，所圍成的平面圖形的面積為，嘗試編寫算法求的近似值，畫出程序框圖，并寫出相應語句。

這節課讓學生經歷了知識的孕育、形成、發展、運用與拓展等完整過程，讓學生嘗試用數學眼光觀察世界、用數學思維分析世界、用數學語言表達世界。

基金項目：甘肅省教育科學“十二五”規劃2015年度 “隴原名師”專項課題“基于合作的高中數學單元教學設計的實踐研究”的研究成果（項目編號：GSGB[2015]MSZX139）