無窮小階的比較的講授方法

摘 要：對無窮小和無窮小階的比較的理解是掌握極限理論的關(guān)鍵對同一極限過程下的一組無窮小，抽象的階的比較往往使初學(xué)者難以接受。本文考慮在課堂上講授這一部分時運(yùn)用類比，力圖將無窮小階的比較過程形象地呈現(xiàn)出來。這一類比也可用于對無窮大及其階的比較的課堂講授。

關(guān)鍵詞：無窮小階的比較；類比

一、無窮小及其階的比較

無窮小量，即無窮小，指在自變量的某一變化過程下趨于零的函數(shù)。在微積分的發(fā)展過程中，人們對無窮小量的認(rèn)識經(jīng)歷了一個漫長的過程，這與極限理論的遭遇密切相關(guān)：無窮小是極限理論中最使人難以接受的部分，對當(dāng)時的人們來說，它似乎帶有某種“神秘氣氛”，見[1]。無窮小的定義是“如果一個量的絕對值能變得小于任意選定的無論怎樣小的量，則說它能變?yōu)闊o窮小”，正是這個說法，引出了一般極限定義的ε.δ語言，毋庸諱言，”某量的絕對值小于任意選定的無論怎樣小的量”表達(dá)成的數(shù)學(xué)語言（即無窮小的ε.δ定義）仍困擾著今天的初學(xué)者，而無窮小階的比較，則是在自變量的某變化過程下，比較出不同無窮小趨于零的相對快慢。這個比較過程，在教科書中是考慮這些無窮小量的比值在自變量的該變化過程下的極限（可參見任一本微積分教材，如文獻(xiàn)[2]）：

二、用類比法講授“無窮小量階的比較”過程

極限理論對初學(xué)者往往較難理解，這源于極限概念（ε.δ語言）的抽象性和高度的動態(tài)性：據(jù)說這是一個有四個邏輯層次的雜邏輯結(jié)構(gòu)，[3]而中學(xué)的數(shù)學(xué)對象多是靜態(tài)的，即使略顯抽象，也可在數(shù)次”親密”接觸后形成印象.但對于ε.δ語言，即使靠”死記硬背闖關(guān)了”，理解起來仍無所適從，基于此，人們曾改造極限概念的表達(dá)方式，提出所謂非ε語言定義來代替ε.δ語言，[3]這種做法，不會降低學(xué)生的理解難度，甚至可以說，有意繞開極限理論的精髓反而加大了以后學(xué)習(xí)的難度，最終還是要返回去重新理解ε.δ語言。那么，怎樣才能讓初學(xué)者對ε.δ語言形成一個基本印象呢？ 由前述的極限定義的 ε.δ語言和無窮小之間的關(guān)聯(lián)，即正是無窮小的定義，引出了極限定義的ε.δ語言，筆者認(rèn)為，講授這一部分時，通過對某一動態(tài)過程的類比考察，形象的再現(xiàn)無窮小及其階的比較經(jīng)過，對于初步理解極限定義的ε.δ語言大有裨益。

設(shè)定一個長跑比賽的場景，假設(shè)沿一個800米跑道跑下去，以終點作為各運(yùn)動員在比賽過程”要趨于”的點：這就對應(yīng)于若干同一過程下的極限過程。經(jīng)過最初的幾圈，參賽隊員依實力就會自然地形成梯隊，各梯隊的組成人員隨著比賽的繼續(xù)是相對固定的，而且相鄰梯隊相距很遠(yuǎn)。這時，我們可以認(rèn)定，前面梯隊的人員”趨于”終點的速度要遠(yuǎn)大于其后梯隊的人員，而在梯隊內(nèi)部，運(yùn)動員們的速度是相差不多的（否則就會沖到前一梯隊或掉出該梯隊而拉到后面梯隊）。

在這個場景下，回到無窮小量階的比較上。若將比賽的終點視為極限值0，在比賽過程中，每一個運(yùn)動員都在趨于終點，也就是說參賽的運(yùn)動員都可視為相應(yīng)的無窮小。我們先考慮處于不同梯隊的運(yùn)動員，顯然，如前述，屬于前面梯隊的運(yùn)動員要遠(yuǎn)快于其后梯隊的，如果比較前面梯隊中人員的速度和其后梯隊人員的速度，在前面梯隊接近終點時，可以認(rèn)為對應(yīng)的無窮小接近極限值0，對應(yīng)的，其后的梯隊距終點還有很長一段，對應(yīng)的無窮小還遠(yuǎn)未接近0，那么這個比的極限就是0，我們稱作為分子的無窮小較作為分母的無窮小高階，對應(yīng)到場景中就是前面梯隊的速度遠(yuǎn)大于后面梯隊的。在同一個梯隊中，不同運(yùn)動員之間的速度也有差異，除非二者”并駕齊驅(qū)”，否則，這個相對速度之比會趨于一個非零常數(shù)，這時我們可稱位于同一梯隊中的運(yùn)動員相對靜止，這類比于兩個無窮小量是同階的，而若這個比值趨于1，對應(yīng)于運(yùn)動員”并駕齊驅(qū)”，那么這兩個無窮小量就是等價無窮小了。以上過程中若將終點類比成無窮遠(yuǎn)點，那么比賽過程就可想象為無窮大量的階的比較過程，不同的，由于是趨于無窮遠(yuǎn)，當(dāng)相應(yīng)的極限為0時，類比的情形是，極限過程下，分母遠(yuǎn)大于分子。此時稱分母為較分子高階的無窮大，反過來也可以稱分子為較分母低階的無窮大，類似可有其他結(jié)論。

三、其他

對應(yīng)于某無窮小較另一無窮小低階，場景中就是后面梯隊的速度低于前面梯隊的；而當(dāng)兩運(yùn)動員”并駕齊驅(qū)”時，他們的速度當(dāng)然是可以互換的，這就可聯(lián)系接下來的等價無窮小替換了。

四、結(jié)論

本文用長跑比賽中的梯隊現(xiàn)象類比無窮?。ù螅╇A的比較過程，可幫助初學(xué)者呈現(xiàn)比較的經(jīng)過，理解這一過程及極限定義的ε.δ語言。

參考文獻(xiàn)：

[1]齊民友.重溫微積分[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]張景中.教育數(shù)學(xué)探索[M].成都：四川教育出版社，1994.

作者簡介：曹志杰，男，博士，三峽大學(xué)理學(xué)院講師。