例析分塊矩陣的應用

廖雷 胡婷

摘要：分塊矩陣是一種特殊矩陣，在矩陣的運算中起著簡化降級的作用。本文先介紹分塊矩陣的性質，再歸納分塊矩陣在高等代數中的普遍應用。

關鍵詞：分塊矩陣；簡化降級；高等代數

在高等代數里，矩陣是必不可缺的內容，也是研究代數問題的重要工具。為了方便探究與運用更廣泛的矩陣的特性，我們想到把一個階數較大的矩陣分割成若干個子塊，再把每一塊子塊看成一個元素，從而引出分塊矩陣。本文的理論框架為通過研究分塊矩陣的性質，一步一步的總結出分塊矩陣在計算和證明這兩方面的應用。

一、分塊矩陣

（一）分塊矩陣的定義

設A∈F（m×n）對A用橫線劃分成t塊，用豎線劃分成塊，就得到一個s×t的分塊矩陣

其中，小矩陣Aij（i=1，…s；j=1，…t）叫做的一個字塊，這類矩陣叫作分塊矩陣。

（二）分塊矩陣的性質

性質 1 令方陣由下述分塊矩陣構成

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩形，又M任一s級方陣

對于矩陣，則|B|=|M||A|

性質 2 令方陣由下面形式的分塊矩陣構成

A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩形，又M任一s級方陣

，則|D|=|A|

二、分塊矩陣的應用

（一）分塊矩陣與矩陣的秩

定理3.1.1秩（AB）≤秩（A），秩（AB）≤秩（B），則秩（AB）≤min{秩（A），秩（B）}。

定理3.1.2 A、B都是n階矩陣，若AB=0，則秩（A）+秩（B）≤n。

例：矩陣A、B是n階矩陣，證：（AB+A+B）≤秩（A）+秩（B）。

證明：

即

其中都是可逆矩陣，所以

況且

得證：（AB+A+B）≤秩（A）+秩（B）

（二）分塊矩陣與矩陣求逆

定理3.3.1 令矩陣是一個四分塊的方陣，其中矩陣A為r階方陣，矩陣D為k方陣，當A與（D-CA-1B）都是可逆矩陣時，則矩陣Q是可逆矩陣，

且

（1）矩陣B=O，矩陣C=O，矩陣A與D都可逆時，

Q-1=；

（2）矩陣B≠O，矩陣C=O，矩陣A與D都可逆時，

Q-1=；

（3）矩陣C≠O，矩陣B=O，矩陣A與D都可逆時，

Q-1=。

例：

解：令

由矩陣求逆可得

即可知

由定理3.3.1得出

作者簡介：

廖雷（1994年—），男，漢族，四川成都人，碩士，成都理工大學管理科學學院，研究方向：地震資料降噪處理。