淺談函數思想在高中數學中的應用

安春霖

【摘 要】函數的思想是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題.

【關鍵詞】函數思想；一元二次函數；數學模型

就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的. 函數思想主要有：（1）引入變量，確定函數關系；（2）選定主元，揭示函數關系；（3）選取變元，構造函數關系；（4）實際問題，建立函數關系；（5）特殊函數，轉化函數關系。下面我們結合幾個具體的例子來看看函數思想在高中數學中的具體應用。

例1.已知 ，（ 、 、 ），則有（ ）

A. B. C. D.

【點 撥】解法一通過化簡，敏銳地抓住了數與式的特點： 看作是方程 的一個實根，再利用一元二次方程有根的充要條件 求得；解法二轉化為 是 、 的函數，運用重要不等式解題.

【解答過程】解法一：依題設有

∴ 是實系數一元二次方程 的一個實根；∴

∴ 故選B.

解法二：去分母，移項，兩邊平方得：

∴ 故選B.

【易錯點】不能合理地轉化為 是 、 的函數或構造 來解題。

例2.已知 ，若關于 的方程 有實根，則 的取值范圍 .

【點撥】求參數 的范圍，可以先將 分離出來，表示為 的函數，求出函數的值域，進而得到參數 的范圍。

【解答過程】方程即 ，

即

當 時， 變為 ，故 無解

當 時， 變為 ，故

當 時， 變為 ，故 無解

總之， 的取值范圍是

例3.已知函數 .

（1）求函數 的單調區間和極值；

（2）已知函數 的圖象與函數 的圖象關于直線 對稱，證明當 時， ；

（3）如果 ，且 ，證明 .

【點撥】（1）利用導數，列出表格，求函數的單調性與極值；（2）首先根據對稱性求出 的解析式，再構造函數 ，轉化為只需利用單調性證明 ；（3）首先判斷 的范圍，再利用前兩問的結論單調性，要證 ，只需證

【解答過程】（1）解： ，令 ，解得

當 變化時， ， 的變化情況如下表：

1

+ 0 -

極大值

所以 在 內是增函數，在 內是減函數。

函數 在 處取得極大值 。

（2）證明：由題意可知 ，得

令 ，即 于是

當 時， ，從而 ，由 ， ，從而函數 在 是增函數。

又 ，所以 時，有 ，即 .

（3）證明：1）若 ，由（1）及 ，則 與 矛盾。

2）若 由（1）及 ，則 與 矛盾。

根據1），2）得 ，不妨設

由（Ⅱ）可知， ，則 ，所以 ，從而 .因為 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函數 在區間 內是增函數，所以 ，即 。

【易錯點】（1）在運用導數的四則運算法則求導數時容易出錯；（2）在構造函數 上存在問題；（3）在做第3問時，不知道合理利用前2問的結論。

例4.已知雙曲線以兩條坐標軸為對稱軸，焦點在y軸上。它的實軸長為2sinq（ ≤q≤ ），又這雙曲線上任意一點P（x，y）到定點M（1，0）的最短距離為 ，求該雙曲線離心率的取值范圍。

【點 撥】雙曲線方程可設為 =1，解題的首要環節是以點P的坐標為變量建立|PM|的函數表達式，并用b，sinq表示其最小值，爾后由題設可建立b和sinq之間的關系式，把離心率e表示成b或sinq的函數，研究它的取值范圍。

【解題過程】設雙曲線方程為 =1。

|PM|2=（x-1）2+y2=（x-1）2+sin2q（1+ ）=（1+ ）x2-2x+1+sin2q

∵ x∈R，∴ |PM|2的最小值為1+sin2q- ，因此1+sin2q- = ，即b2= . 由b2>0，及 ≤q≤ ，得

函數思想作為中學數學的主線，其思想的高瞻性、應用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創造性確定了它在高考數學試卷中函數的比重仍然很大，不僅會出現有關函數性質巧妙組合的小題，而且會出現融入各方面知識的函數的壓軸題，考查學生推理、論證的能力，以適合高校選拔人才的需要。

函數思想是對問題建立函數模型，并利用函數概念和性質解決問題的重要方法。函數思想是高中數學中的一種重要思想方法，有意識地滲透函數思想，有助于提高學生的思維品質，有助于培養學生的數學建模能力，為進入大學進一步學習高等數學打好基礎。通過以上幾個例題說明了函數思想在高中數學解題中的廣泛應用，表明了在高中數學學習中滲透函數思想的重要性。

（作者單位：沁陽市第一中學高三（5）班）