矩陣位移法與有限位移元法的聯系與區別

趙勇 張建棟 陳昌裕

【摘 要】隨著計算機技術進入工程領域，“電算”逐漸受到人們的重視。作為“電算”的工具，矩陣位移法和有限單元法在工程應用中具有重要地位，本文從多方面多角度對矩陣位移法和有限位移元法進行了分析與討論，總結了兩者的聯系與區別，對于建筑工程領域的初學者具有一定的指導作用。

【關鍵詞】矩陣位移法；有限單元法；有限元分析；結構分析

作為有限單元法的雛形，結構力學的結構矩陣分析方法與彈性力學的有限單元法都是隨著計算機的發展而逐漸受到重視的方法。以結點位移作為基本未知量，與結構矩陣分析方法對應的有矩陣位移法，相同地，與有限單元法對應的是有限位移元法。以位移為基本未知量求解問題具有系統性、規律性強的特點，符合“電算”的特點，因此矩陣位移法和有限位移元法在求解實際問題的過程中應用最為廣泛。

下面通過對比，分析矩陣位移法和有限位移元的聯系與區別。

1 矩陣位移法和有限位移元的聯系

1.1基本原理的相似

矩陣位移法和有限位移元法都是通過結構的離散化，將復雜結構的計算轉化為簡單單元的分析和集合問題。

1.2分析過程的相似

矩陣位移法和有限位移元法都是先進行結構離散化，然后進行單元分析，最后進行整體分析。

具體地，兩種方法都是應用矩陣運算，得到平衡方程（1）

（1）

因為所需要解答的不同，在通過平衡方程得到結點位移列陣 后，在結構力學的解答要求通過方程（2）得到結點力

（2）

而在有限位移元的解答要求通過方程（3）得到應力

（3）

其中 為應力轉換矩陣

2 矩陣位移法和有限位移元的區別

2.1研究對象

結構力學的矩陣位移法主要針對平面簡單桿系進行結構分析，如剛架、連續梁、桁架等等，研究對象較為單一，而彈性力學的研究對象可以是具有各種邊界條件的彈性體，不僅可以解決線彈性問題，而且可以有效處理材料、幾何非線性問題和非線性邊界等問題，因而具有極高的靈活性與通用性。

2.2 基本研究單元

矩陣位移法的基本單元是通過結點分解形成的單個桿件，相比之下，有限單元法的基本單元更加靈活，可以是三角形單元、矩形單元或任意四邊形單元，單元的結點也可以靈活設置，可以通過控制基本單元的形式和大小來調控解答的精度。

2.3 勁度矩陣

有限單元法的各結點通過鉸連接，需要注意的是，當有限單元法中采用三結點三角形單元時，對應的勁度矩陣為六階方陣，在矩陣位移法中的勁度矩陣（結構力學中常稱為剛度矩陣）也為六階方陣，但其性質是不同的。在有限單元法中的六階勁度矩陣是因為每個結點有兩個結點線位移，總共有六個結點位移，即

因此勁度矩陣為六階；而在矩陣位移法中，每個桿件單元有兩個結點，每個結點分別有兩個線位移和一個角位移，總共也是六個結點位移，即

反映到勁度矩陣中也為六階。

2.4 解答的精度

矩陣位移法的解答是依據線彈性理論求得的數學解析解，只要結構的約束條件和外力是確定的，其解答便是唯一的精確解。有限位移元法的解答是將原結構離散化、數值化，對非結點求解域進行插值，依據數值計算方法而求得的解，這些解既有原結構離散化、數值化過程中的舍入誤差，也有插值產生的誤差，所以為近似解，但是有限位移元的解答可以通過增加網格密度，改善單元形狀，盡量使用高階插值型單元以及計算時盡量使用雙精度迭代等方法，使之無限逼近精確解的數值解。

2.5 解答范圍

矩陣位移法本質上就是把位移法用矩陣形式表示，屬于結構力學的范疇，結構力學只研究桿件結構的內力，而不涉及應力、應變分析，因此當一個桿件單元兩端的受力情況明確以后，加之直接作用在桿件內側的外力條件，運用靜力平衡即可得到每個截面的內力情況，即得到結構力學范疇的解。相對地，彈性力學要求分析結構內部應力應變情況，且研究對象是各種形狀的彈性體，除桿件外，還有各種平面體、空間體、平板和殼體等，通過有限位移元方法求得每個單元的結點位移后，必須通過某一個位移模式表示出單元中任一點的位移，再借助彈性力學的幾何方程和物理方程求得應變、應力。

3 結語

矩陣位移法是有限位移元法的雛形，其原理和分析過程基本一致，對于初學者，可以將矩陣位移法與有限位移元法一起學習，根據矩陣位移法理解單元剛度矩陣、整體剛度矩陣、邊界條件處理技巧等。

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（作者單位：青島理工大學土木工程學院）