如何解決向量間的點乘問題

冷小平

摘 要：作為現代數學的重要內容之一，向量是近代數學最基本概念之一，它集數與形于一身，溝通了幾何、代數和三角，是數形結合思想，為解決立體幾何提供了強有力的工具，促進了高中幾何的代數化。在本論文的研究過程中，通過向量的數量積或建立直角坐標系建立坐標兩種方法，把繁雜的代數問題轉化為簡單空間幾何問題，最后轉化為代數問題，通過對這兩種方法的應用，旨在提高學生對于向量間乘積之間的運算的處理。

關鍵詞：向量；點乘；數量積；直角坐標

一、向量的有關知識

向量的概念：向量是既有大小又有方向的量，一般用[a]來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：[AB]，向量的大小即向量的模（長度），記作[a]。

零向量：長度為0的向量，記為[0]，其方向是任意的，且與任意向量平行（注意與0的區別）。

單位向量：模為1個單位長度的向量。

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。

相等向量：長度相等且方向相同的向量，相等向量經過平移后總可以重合，記為[a=b]。

相反向量：與[a]長度相等、方向相反的向量，叫做[a]的相反向量。記作[-a]，特別的零向量的相反向量仍是零向量。

向量加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設[AB]=[a]，[BC]=[b]，[AB+BC=a+b=AC]，按照“三角形法則”與“平行四邊形法則”進行向量加法。同時向量加法滿足交換律與結合律。

說明：用向量法解決立體幾何問題的方式有兩種：一是直接用向量的代數式運算，二是用向量的坐標運算，即利用題目條件，建立直角坐標系。一般來說，向量的坐標運算，思維量更少，運算技巧更低，更容易掌握，因此這也是我們常用的向量方法。若所給圖形不容易建立空間直角坐標系，我們也可以用向量的代數式運算來解決問題，但其技巧性相對較高，對學生邏輯推理能力的要求也提高了。

參考文獻

[1]李建群.談向量方法在有關直線中的應用[J].高中數學教與學，2004（5）：16-17.

[2]李成寬.平面向量在直線問題中應用[J].數學通訊，2009：14-15.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.