如何解決向量間的點乘問題

冷小平

摘 要：作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，向量是近代數(shù)學(xué)最基本概念之一，它集數(shù)與形于一身，溝通了幾何、代數(shù)和三角，是數(shù)形結(jié)合思想，為解決立體幾何提供了強有力的工具，促進了高中幾何的代數(shù)化。在本論文的研究過程中，通過向量的數(shù)量積或建立直角坐標(biāo)系建立坐標(biāo)兩種方法，把繁雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡單空間幾何問題，最后轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過對這兩種方法的應(yīng)用，旨在提高學(xué)生對于向量間乘積之間的運算的處理。

關(guān)鍵詞：向量；點乘；數(shù)量積；直角坐標(biāo)

一、向量的有關(guān)知識

向量的概念：向量是既有大小又有方向的量，一般用[a]來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：[AB]，向量的大小即向量的模（長度），記作[a]。

零向量：長度為0的向量，記為[0]，其方向是任意的，且與任意向量平行（注意與0的區(qū)別）。

單位向量：模為1個單位長度的向量。

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。

相等向量：長度相等且方向相同的向量，相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為[a=b]。

相反向量：與[a]長度相等、方向相反的向量，叫做[a]的相反向量。記作[-a]，特別的零向量的相反向量仍是零向量。

向量加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設(shè)[AB]=[a]，[BC]=[b]，[AB+BC=a+b=AC]，按照“三角形法則”與“平行四邊形法則”進行向量加法。同時向量加法滿足交換律與結(jié)合律。

說明：用向量法解決立體幾何問題的方式有兩種：一是直接用向量的代數(shù)式運算，二是用向量的坐標(biāo)運算，即利用題目條件，建立直角坐標(biāo)系。一般來說，向量的坐標(biāo)運算，思維量更少，運算技巧更低，更容易掌握，因此這也是我們常用的向量方法。若所給圖形不容易建立空間直角坐標(biāo)系，我們也可以用向量的代數(shù)式運算來解決問題，但其技巧性相對較高，對學(xué)生邏輯推理能力的要求也提高了。

參考文獻

[1]李建群.談向量方法在有關(guān)直線中的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2004（5）：16-17.

[2]李成寬.平面向量在直線問題中應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2009：14-15.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.