解析幾何法巧解三角形的范圍問題

☉廣東省廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 潘神龍

三角形中長(zhǎng)度、面積的最值（范圍）問題除了考查正、余弦定理，還考查基本不等式、二次函數(shù)等知識(shí)，靈活性大、解題方法多、綜合性強(qiáng).本文采用解析幾何的思想方法（數(shù)形結(jié)合的思想、坐標(biāo)法等），為這些題目提供一種新的思路.

一、阿波羅尼斯圓

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（不等于1）的點(diǎn)的軌跡是圓，即阿波羅尼斯圓.若已知三角形兩邊的倍數(shù)關(guān)系，則可嘗試使用阿波羅尼斯圓.

例1（2016年柳州市4月份模擬·理12）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c=2，sinA=則△ABC面積的最大值是（ ）.

解法1：由正弦定理知.由余弦定理知，cosC=所以當(dāng)b=2時(shí)，S取到最大值

解法2：如圖1，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0）.設(shè)C（x，y）（y≠0），據(jù)題意求得點(diǎn)C的軌跡方程為（x+2）2+易知x=-2時(shí)S取到最大值

二、外接圓

若已知三角形的一組對(duì)邊和對(duì)角，則三角形的外接圓可知；與此有關(guān)的最值（范圍）問題可嘗試從外接圓的角度來處理.

例2（2018年深圳市第一次調(diào)研·理16）如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，∠BPC=120°，則AP的最小值為_____.

解法1：設(shè)∠PBC=θ，∠ACP+∠BCP=60°，∠PBC+∠BCP=60°，所以∠ACP=∠PBC=θ.在△PBC中，由正弦定理所以，PC=2sinθ.

在△CPA中，AP2=PC2+AC2-2PC·ACcosθ=14-所以0＜2θ＜120°.因?yàn)锳P2的最小值為所以AP的最小值

解法2：如圖3，以B為原點(diǎn)，直線BC為x軸，直線BA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，易知因?yàn)辄c(diǎn)P在△ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BPC=120°，所以點(diǎn)P在劣弧上運(yùn)動(dòng)，圓心角∠BOC=120°，圓心半徑R=|BO|=當(dāng)且僅當(dāng)A，P，O三點(diǎn)共線時(shí)，AP最小，最小值為

三、橢圓與雙曲線

與三角形兩邊之和、差有關(guān)的問題可以與橢圓、雙曲線的定義相聯(lián)系，把該三角形看成橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形，再利用橢圓、雙曲線的性質(zhì)來處理.

例3（2013年高考新課標(biāo)Ⅰ·理12）設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，….若則（ ）.

A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

解法1：因?yàn)?/p>

解法2：如圖4，以B1C1中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線B1C1為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.同解法1，bn+cn=2a1，在△AnBnCn中，Bn，Cn為定點(diǎn)B1，C1，An（xn，yn）在以B1，C1為焦點(diǎn)，2a1為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上運(yùn)動(dòng)（除去左、右頂點(diǎn)）.由焦半徑公式，bn-cn=（exn+a）-（a-exn）=2exn. 另一方面，bn+1-cn+1=所以是無窮遞減等比數(shù)列.由是無窮遞增等比數(shù)列.

例4（2016年咸陽市二模·理16）如圖5，在△ABC中，O是外接圓的圓心，若則△ABC周長(zhǎng)的最大值為_____.

解法1：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R.由得

解法2：如圖6，同解法△ABC的外接圓是確定的，點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng).以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系；再以B，C為焦點(diǎn)，b+c=2a橢為長(zhǎng)軸長(zhǎng)作橢圓由△ABC的面積當(dāng)點(diǎn)A在y軸上時(shí)，b橢2最大，a橢2最大，即b+c最大.此時(shí)，△ABC是等邊三角形，

例5（2018年深圳市二模·理16）已知A，B，C為某信號(hào)（該信號(hào)的傳播速度為1公里/秒）的三個(gè)接收站，其中A，B相距600公里，且B在A的正東方向；A，C相距公里，且C在A的東偏北30°方向.現(xiàn)欲選址興建該信號(hào)的發(fā)射站T，若在T站發(fā)射信號(hào)時(shí)，A站總比B站要遲200秒才能接收到信號(hào)，則C站比A站最多遲多少秒可接收到該信號(hào)（A，B，C，T站均可視為同一平面上的點(diǎn)）？

解：如圖7，以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸，100公里為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，易知A（-3，0），

據(jù)題意，|TA|-|TB|=2，即T點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng).易知點(diǎn)C在雙曲線內(nèi)，設(shè)線段CB的延長(zhǎng)線交雙曲線的右支于T0點(diǎn)，于是|TC|-|TA|=|TC|-|TB|-2≤|BC|-2=4，當(dāng)且僅當(dāng)T在T0點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以|TC|-|TA|的最大值為4，即400公里.

四、小結(jié)

三角形是幾何圖形的一種，因此解三角形的許多最值（范圍）問題都可以采用解析幾何的思想方法來處理.本文僅展示了幾種類型，相信有更多的類型值得我們?nèi)グl(fā)掘.我們平時(shí)只要多觀察、多思考，就會(huì)有意想不到的收獲.