高中數學教學體系中的方程思想

☉江蘇省海門中學 張 婕

在高中數學學習的過程中，學生學習的目的并不僅僅只是要掌握知識，更要學會使用知識.在數學學習過程中，我們要讓學生逐步體會隱含在知識背后的數學方法和思想，這些內容是數學課堂的精髓與核心，是學生進行學習和研究的關鍵所在.而在眾多數學思想中，方程思想對學生理解數學知識、發展數學思維有著非常重要的作用.

一、高中數學教學中方程思想的作用

所謂“方程思想”，就是將方程作為刻畫世界的一種有效模型，即從相關量的數量關系著手，用等式將有關內容銜接起來，最終在方程研究中完成對問題的分析和解決.在高中數學學習的一系列活動中，方程思想有以下幾個方面的作用.

1.形成解題思路，促成問題的解決

方程思想在高中數學的習題處理過程中有著非常廣泛的應用，一些問題本身就是圍繞方程展開，或是討論方程實數根的存在情形，或是討論方程參數的取值特點，或是直接對方程進行求解.除此之外，方程也是學生分析問題的主要途徑，很多問題只有寫出對應的方程，我們才能實現求解，有些問題也存在其他的處理方法或思路，但是方程的應用可以簡化處理的過程，或是讓整個解決過程更顯靈活.

2.發展學生思維，提升邏輯推理能力

面對很多以生活中的真實場景為素材來設計的問題，學生在處理時往往對相關素材進行分析，從中發現并提煉出有關的數量關系，然后由此來建立數學模型，并以方程的形式展示出來，這樣的處理很難發展學生的思維.面對錯綜復雜的情境，學生首先要對其中的諸多隱含條件進行分析，對很多原生態的問題要進行數學化的分析和處理，這是建立模型和方程最為基礎的要求，同時這也是方程思想的核心，這一過程對學生思維的發展以及邏輯推理能力的提升大有幫助.

3.串聯知識體系，完善學生的認知結構

高中數學的教學是非常松散的，因此在數學教學的過程中，我們要注意引導學生對數學知識進行系統化建構.當我們要對知識體系進行建構時，我們要明白：黏合這些知識的是數學方法和有關思想，方程思想在其中就占據著非常重要的地位，無論是最開始集合概念的學習，還是不等式的研究，抑或解析幾何問題的處理，每一塊內容都隱含著方程的身影，因此我們結合方程來指導學生知識體系的建構，并且能夠促進學生認識的系統化.

4.激活學生興趣，充實他們的解題方法

在解題過程中，我們通過方程來指導學生進行處理，可以讓問題的表征和分析更加簡潔，學生也將從中感受到數學研究的奇妙所在，這也將讓學生感受到數學學習別樣的樂趣.因此將方程思想引入數學教學也是學生興趣激發的需要，學生當然也會由此而充實他們的解題方法，這樣的教學顯然有助于學生思路的拓展，有助于他們綜合素質的提升.

二、高中數學教學中方程思想的優勢體現

在高中數學問題的研究中，方程思想在以下兩個方面有著非常顯著的體現.

其一，在某些等量關系復雜的問題中，往往涉及很多的量.在這種情形下，我們要引導學生去把握相等關系，并結合問題的需要來設計相應的未知數，最終圍繞著未知量和已知量來建構方程，或者是方程組，并且在方程或方程組的分析過程中形成認識，這樣的處理比一般化的數學方法要好上很多.

其二，在一些代數、幾何綜合性的問題中，方程思想也有著其獨特的優越性.我們以方程為橋梁，可以讓學生能夠更快地明晰解題思路，并最終完成問題的解決.

三、方程思想在數學學習中的應用實踐

在高中階段的數學學習過程中，方程思想有著非常廣泛的應用，下面我們就從一些具體的實例著手，在應用中進一步對相關思想和方法進行感悟和體會.

1.函數問題處理過程中的方程思想

函數歷來與方程有著非常緊密的關聯性，有方程的求解、根的存在情形、參數的取值范圍等，這些都可以采用函數的方法來處理，甚至有時還要畫出圖像，如此即可讓問題的處理更加快捷而高效.反之，有的時候函數問題也需要用到方程，方程思想的引入拓展了問題分析和解決的思路，可以讓學生破解困局，得到新的問題解決靈感.

例1已知R并且x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值.

思路分析：如果按照一般化的思路，本題可以從三角函數求值的角度著手分析，即“角的拼湊”或是對兩角和余弦公式進行變形處理，但是這樣的分析過程將遇到相當大的困難，為此我們轉換思路，以方程思想進行嘗試與探索.

解析：由已知條件可得x與-2y是關于m的方程m3+sinm-2a=0的實數解.設（fm）=m3+sinm-2a，使用導數的有關理論可得該函數在上是單調遞增的函數，因此當方程（fm）=0在上至多存在單一的實數解，因此可以知道x，-2y∈所以只能是x=-2y，于是有co（sx+2y）=1.

反思：本題對條件進行了抽象處理，得出了同一個方程的兩個根，并結合函數的單調性可以推導出兩個根相等，且整體上可以得到x+2y=0，進而順利完成問題求解.這樣的處理巧妙避開三角函數煩瑣的變形，是方程思想提升問題解決效率的一個典型案例.

2.三角函數問題處理中的方程思想

提及三角函數，很多高中生都大皺眉頭，原因無他，公式太過煩瑣多變，而且很多公式大同小異，以致于學生很容易發生混淆.因此，在處理三角函數問題時，我們不能讓學生將思維定格在公式應用上，我們應該鼓勵學生將方程思想運用于其中，指導學生靈活運用相關的思想和方法來完成問題的分析和處理.

例2求sin18°的值.

解析：設18°=α，則2α=90°-3α，所以sin2α=cos3α，因此有2sinαcosα=cos（2α+α）=4cos3α-3cosα.因為cosα≠0，所以2sinα=4cos2α-3，即4sin2α+2sinα-1=0.解之可得sinα=結合上述范圍最后可得到

反思：本題所涉及的角度并不是一個特殊角，所以如果希望通過兩角和與兩角差的公式進行求解，這是很難得到最后結果的.但是我們如果利用這個角度與90°之間的數量關系，并且構造出有關18°正弦值的一元二次方程，這樣既可讓學生在方程求解的過程中獲得最后的結論，也可以收獲化難為易的學習效果.

3.立體幾何問題處理中的方程思想

方程是一種重要的數學工具，在很多問題處理過程中，我們通過方程可以溝通已知量與未知量之間的關系.這一點在立體幾何的問題處理過程中也多有體現，但是有很多學生卻出現著這樣一些理解層面的偏差，他們認為，方程是代數，立體幾何屬于幾何，這是兩個涇渭分明的范疇，不能混為一談，這種想法是片面而膚淺的，舉例說明如下.

例3如圖1所示的三棱錐P-ABC中，AB=1，AC=2，角平分線AD=1，各側面積與底面所構成的二面角都等于60°，求解這個三棱錐的側面積.

解析：假如BD=x，由內角平分線定理可得得CD=2x.因為∠BDA+∠CDA=180°，所以cos∠BDA+cos∠CDA=0.由余弦定理得，解出可得因此可以得到從而使得可得結論S=側

反思：本題立足于角平分線這個條件，將變量BD引入問題分析，并兩次使用余弦定理建立關于BD的方程，由此將立體幾何的問題轉變為平面幾何的問題，這樣的處理有助于學生避免煩瑣的符號表示以及一系列的推理.

綜上所述，在高中數學的教學過程中，教師要關注問題的分析和思考，要讓每一個學生都能在學習過程中有所收獲，這樣的教學有助于學生更加全面地發現并認識問題，同時也有助于他們領會數學知識的真諦.