超市商品的最優庫存量研究

陳詠鑫 李霞 宋詞

[摘 要] 當代社會超市經營者在提高客戶滿意度的同時又追求利潤最大，因此找到最優商品庫存是非常重要的。運用報童模型的基礎上引入損失厭惡參數，通過對超市商品的缺貨與剩余造成的損失建立損失期望最小的最大庫存函數，給出了缺貨損失厭惡的超市最大庫存量的計算公式和期望損失關系的數學模型和缺貨概率。基于消費者對超市商品的需求研究了需求連續模型。通過對超市單項商品倉儲管理問題的討論，得到了利潤最大化的同時盡量滿足消費者需求水平的超市單項商品的最大庫存量。

[關鍵詞] 倉儲管理；期望損失最小；最大庫存函數；報童模型

[中圖分類號] F253.4 [文獻標識碼] A [文章編號] 1009-6043（2018）08-0127-02

一、引言

合理的庫存是超市門店運營的基本保障，保證了資金合理利用的路徑之一。每期可以銷售的商品量是上期末的剩余商品和本期期初的到庫商品，超市每期單項商品的進貨量和售出量決定著超市的利潤和資金周轉速度。高庫存水平可以滿足所有消費者的需求，但是也會增加單項商品的倉儲費用；低庫存水平可以減少倉存費的損失，但是也會因不能及時的滿足消費者的需求導致超市無法充足獲利，因此對缺貨造成的損失非常敏感。超市出售的商品是生活用品，其中絕大部分是生活必需品，消費者的需求不能及時地被滿足就會貨尋別家，并且降低對此超市的滿意度。超市如何確定每期最優庫存量在確保一定的客戶滿意度的條件下獲得最大利潤是超市經營者急需解決的一個問題。

超市作為消費者購買商品的一個重要購買點，國內的舒亞東，等人缺貨損失厭惡的報童問題進行了研究，旨在解決超市缺貨損失的問題[1]；趙達，李軍，馬丹祥，李妍峰對在隨機需求的情況下庫存的安排情況進行了研究[2]；提出如何確定大型超市最佳進貨量，最優化超市倉儲管理，如李峰[3]；報童問題一直是倉儲方面的重要理論，國內學者持續不斷優化和拓寬其理論，如文平，龐慶華，劉家國，吳沖[4]。

二、模型描述

舒亞東對報童模型的實際應用中，研究了當期期初訂購并到貨的產品并進行當期的銷售，如有剩余則以較低價格回售，由于在該文中只考慮了單期商品銷售和當期商品剩余低價回售的情況，無法模擬出如今超市大部分商品的銷售情況，因此主要研究超市在保質期內可以進行倉儲并銷售的單項商品的最大庫存量，超市提前制定訂貨計劃并訂購貨物，假設提前訂購的貨物在期初到達超市倉庫并進行銷售。

（一）需求連續模型

Shalev（2000）討論了博弈論的納什均衡問題，給出了如下形式的效用函數

其中λ是損失厭惡程度，r是參數點，但是以上的效用函數主要是研究最大的收益期望值，因為超市對損失較敏感，所以主要研究最小損失條件下的最優庫存，即基于期望損失值最小，超市最優庫存對缺貨較敏感的角度來討論的。仿照上面的函數，我們定義超市損失效用函數：

設超市每天售出單項商品的份數r為一個隨機變量，其約束條件是：

消費者在購買超市單項商品時，其決策是受到多種因素的影響，在大型消費群體中個體因素是非常微小的，而且每期單項商品銷售量較大，可以忽略個體因素的影響。因此假設r為一個連續型隨機變量，概率密度函數為f（x）。設超市銷售商品時如果每期存貨較多，有銷售剩余的商品，每剩余一份就損失倉儲費h元；超市單項商品每售出一份獲利k元，如果超市因為缺貨不能及時滿足消費者的需求，就損失k元。若超市每期單項商品的庫存量為N，則根據以上損失函數能得到超市的損失函數為：

由定義，超市如果想增大獲利的機會，就只有在r=N時，但是市場對商品的需求總是隨機的，就無法估計每期單項商品的銷售量，因此只能通過經驗和每期商品的需求分布具體情況去預測。根據r=N制定最大庫存政策：在一開始時若發現庫存點低于最大庫存水平則訂購足夠的貨物使庫存點上升到最大庫存水平，因此在最大庫存水平訂購模型中，每一期的訂購量恰好等于前一期的需求。提前期Y是超市補充訂購的貨物要在一段固定的時間之后才能收到。假設超市在持續銷售單項商品的條件下并遵循最大庫存政策，則超市每期期末庫存Q：Q=N-（Y+1）期的需求。

每期提前訂貨量E滿足下列條件：

由超市的損失函數，可以銷售的商品量是上期末的剩余商品和本期期初的到庫商品，單項商品庫存過多，會使超市的倉庫庫存成本增加甚至虧損，如果庫存太少則不能及時的滿足消費者的需求，導致商家無法賺取這部分利潤導致損失。可得

超市想要使損失最小，則超市選擇的單項商品最大庫存量就是使S（N）取最小值是對應的N，其中f（x）是超市存貨滿足消費者需求的概率，將S（N）對N求導得：

可以驗證，⑤方程的解存在，它的解就是單項商品缺貨損失厭惡情況下的最大庫存水平。當λ=1時，⑤式變為

（二）比較靜態分析

首先分析λ的變化對N的影響，對⑤式兩邊同時對λ求導得：

從上式可看出，當k為0時，庫存量N一定為0。雖然在現實生活中也有做虧本生意的例子，但決策者是利用這部分損失來換取總的獲利，盡量降低損失，即最終達到最貼合實際情況來獲得利潤。

最后，分析h的變化對庫存量的影響。同理對（5）式兩端對h求導可得：

三、結論

建立缺貨損失函數，在缺貨損失厭惡敏感和盡量滿足消費者需求的條件下，得到了超市單項商品最大庫存水平。通過消費者對商品需求的連續性建立連續模型，并進行比較靜態分析得出了太高的損失厭惡雖然會使超市因缺貨造成的損失減小，但商品的倉儲費用增加，導致總損失增加。單項商品的利潤越大，其存貨滿足率越高。單項商品的倉存費越大，則其最大庫存水平就越小。

超市在持續經營的過程中，可以得到具體單項商品的利潤和倉儲費用，帶入缺貨損失最終函數中即可得存貨滿足率，查表可得中間值，同時通過數據整理和分析，可以得到在一定時期消費者對單項商品的需求均值和標準差，即可得到單項商品的最大庫存水平。隨著時間的推移，對消費者需求預測更加貼近真實的消費者需求，從而更容易制定出能獲得最大利潤的庫存水平。

[參考文獻]

[1]舒亞東.缺貨損失厭惡的報童問題[J].中國商貿，2011（23）：253-254.

[2]文平，龐慶華.基于預期的報童問題研究[J].中國管理科學，2018，26（3）：109-116.

[3]李鋒.大型超市應如何確定最佳進貨量[J].商場現代化，2008（31）：85-86.

[4]趙達，李軍，馬丹祥，李妍峰.隨機需求庫存-路徑問題最優策略及其算法[J].管理科學學報，2014，17（5）：14-24.

[5]劉家國，吳沖.基于報童模型的兩級供應鏈回購契約協調研究[J].中國管理科學，2010，18（4）：73-78.

[6]Robert B. Durand； Paul Lloyd； Hong Wee Tee： Myopic loss aversion and the equity premium puzzle reconsidered；Finance Research Letters；2004

[責任編輯：紀晨光]