探究“兔子數列”提升數學能力

倪麗君

[摘 要]在解決問題過程中，教師一般根據問題類型進行模式教學，而建模的過程中，能力的培養則是數學教學的重點。以斐波那契數列的教學為例，通過外在的操作活動，培養學生的數學應用能力，讓學生經歷從形象到抽象的數學思維過程，在化繁為簡、數形結合、圖表分析、概括歸納的建模過程中，滲透數形結合和歸納推理的數學思想。

[關鍵詞]斐波那契數列；解決問題；圖示化；符號化；數字化；模式化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）29-0010-03

斐波那契數列是人教版舊教材二年級下冊“規律的認識”中的內容，而斐波那契的生平和兔子問題的探索則是在課外閱讀資料中呈現。本節拓展課綜合了兩個內容，從數學知識的學習和數列的規律發現上來講，對四年級學生來說不存在難度，但如何依托學習材料，讓學生在掌握知識的同時提升解決問題的素養則是本節課更進一步的追求，尤其是對學生今后的學習和探索能力的培養。因此，讓學生經歷化繁為簡、數形結合、圖表分析、概括歸納的過程，感受解決問題的數學思維方法，提高學生的數學素養就成為本課教學的素養目標。

教學斐波那契數列時主要采用了微課題的形式，具體過程如下。

一、研究有趣問題，探索數列規律

1.復雜問題圖示化

【設計意圖】通過呈現有趣又較復雜的學習材料，激發學生學習興趣，但材料較多，學生理解困難，故首先梳理圖片，從抽象思維回歸形象思維，用圖像表征的方式幫助學生更好地理解題意；通過“猜一猜”活動，培養學生的數感，激發學生探究數學問題的內驅力。

師：今天，我們要研究一個數學問題，它有一個有趣的名字，叫“兔子數列”。很久以前，有一個意大利人發現了一對神奇的兔子，這對是剛出生的小兔，一個月后能長成一對大兔，再過一個月便能生下一對小兔，并且以后每個月都生一對小兔。一年內沒有死亡。那么，由一對剛出生的兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢？

師：你理解題目的主要意思嗎？

生1：①小兔一個月后能長成一對大兔；②大兔過一個月便能生下一對小兔；③以后每個月都生一對小兔；④一年內沒有死亡。

師：讓我們再來梳理一遍。（投影圖片，學生說，教師擺）

第一個月 第二個月 第三個月

師：大家想一想，第四個月會有幾對兔子？幾對大兔和幾對小兔？

生2：三對兔子。兩對大兔和一對小兔。

師：怎么變化來的？

生3：原來的小兔長成了大兔，原來的大兔還在，并且又生了一對小兔。

師擺圖：

第四個月

師： 12個月后一共會有幾對兔子呢？

生4：11對。因為4個月是3對，所以12個月就是11對。

生5：19對。因為4個月有2對大兔，所以以后每個月小兔會2對2對地增加，那么后面還要增加2×8=16（對），所以一共有16+3=19（對）。

生6：96對。

……

2.初步探究符號化

【設計意圖】讓學生感受擺圖片太麻煩，想到用簡潔的圖示表示兔子的變化過程，幫助學生建立符號意識。通過對幾種不同方法的分析，讓學生自己能辨析并提煉最優方案。

師：圖片擺不起了，有什么方法繼續來探究這個問題呢？

生1：可以寫數字。

生2：可以畫符號。

生3：可以寫字記錄。

……

師：請你用自己喜歡的方式記錄上面4個月的兔子數量的變化過程。

第五種：

第六種：

生4：第一、三、四種中，一個圖示符號代表一只小兔，要求幾對，還要再除以2，不夠簡潔；第二種用文字表示也可以，就是麻煩一點；而第五和第六種方法一樣，它們圖示簡潔、容易理解，尤其是第六種，寫清楚了符號代表的意義，更為清楚。因此第六種最佳。

3.感悟探究數字化

【設計意圖】學生找到自認為簡潔的方法去解決問題，在想想畫畫的過程中感受到規律的存在，但在深入畫圖的過程中發現“太麻煩”的心理狀態，能促使學生產生強烈的尋求更加簡潔的方式來解決問題的欲望，這樣一來，圖標數據的收集和分析就變成學生學習的自然需要。

生1：越畫越多，數起來太麻煩了！

生2：畫符號還是很麻煩的。能不能再簡潔一點？

……

師：是的，現在用符號表示也不是很方便，有沒有更好的途徑？

生3：用數字來記錄不是更好嗎？

師：生3用數字來記錄，能又快又清楚地知道大兔和小兔的只數。下面我們就試試填表格，用數字來記錄小兔的數量變化過程。

4.數形結合表格化

【設計意圖】讓學生通過簡潔的填寫表格的方式收集和統計數據，并能夠在合作交流過程中發現規律。

師：四人小組合作，填表后交流，說說你們發現了什么。完成后集體議一議。

第一種：未完成，且有錯誤。

生1（自評）：第5個月開始發生錯誤。因為前一個月2對大兔可生2對小兔。關鍵在于理解題目有誤，以為每個月只有當初那對大兔在生小兔。

第二種：正確，且已發現了規律。

生2：斜著看是一樣的。前一個月的大兔對數就是后一個月的小兔對數。

師：為什么？（用筆標注，見上圖）

生3：因為一個月一對大兔就能生一對小兔。

生4：我發現斜著看還有規律：前一個月大兔和小兔的總對數就是后一個月的大兔對數。

師：那是為什么？

生5：因為前一個月有幾對小兔，到后一個月都長成大兔了。

生6：我橫著看，發現前兩個月的兔子總對數就是后一個月的兔子總對數。

歸納得出：上個月大兔對數 = 下個月小兔對數

上個月兔子總對數= 下個月大兔對數

前兩個月兔子總對數 = 后一個月兔子總對數

師：由此我們可以得出，12個月后有144對兔子。144對大大小小的兔子，一個龐大的兔子王國就是由那對小兔發展來的，怎么樣，是不是很有趣？這就是歷史上有名的“兔子數列”。

5.小結提升模式化

師：現在請回想一下，解決這樣一個復雜問題，我們經歷了怎樣的學習過程？（板書：復雜問題——簡潔圖示——列表觀察——找到規律）以后大家也可以用這樣的方法去解決生活中的難題。

二、了解數學文化，解析自然現象

1.簡介斐波那契數列

【設計意圖】學習數學，不僅僅是數學知識，要讓學生更加喜歡數學，就有必要讓他們了解數學文化，了解數學知識的背景。“兔子數列”只是通俗的說法，而以數學家的姓名命名這個發現，更會讓學生感受到數學來自于生活，學會用數學的眼光去看待生活。

師：這個“兔子數列”是意大利數學家斐波那契在1202年從兔子的繁殖過程中發現的。為了紀念他，人們把這個數列稱為斐波那契數列。這個數列有什么特征呢？讓我們來讀一讀。“一個數列，如果前兩項為1，從第三項起，每一項都是前兩項之和，那么我們就把這樣的數列稱為斐波那契數列。”這也正是我們剛才的發現。看來我們的發現和數學家的發現思路幾乎是一樣的。在這個數列中，有很多很多的數， 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……它的第一項是什么？最后一項是什么？對，沒有最后一項，因為自然數是無限的，所以斐波那契數列自然也沒有最后一項。

師：看似簡單的斐波那契數列包含了太多的奧秘，承載了無數的神奇。老師在研究的過程中發現了許多和斐波那契數列相關的有趣現象，現在和大家一起分享。

2.感受數學與自然現象的有趣存在

【設計意圖】看圖片欣賞大自然中的松果、向日葵等，通過數一數、分一分、畫一畫，感受花瓣數、枝條數、螺旋線數量等，豐富學生的認識，引導學生感受大自然的神奇，激發學生學習的興趣。

師：馬蹄蓮—1瓣；虎刺梅—2瓣；錢蘭—3瓣；桃花—5瓣；格桑花—8瓣；其他雛菊有13瓣、21瓣、34瓣等。這些數都和斐波那契數列中出現的數一模一樣。當我收集到這種數時，不禁嘖嘖稱奇：是誰讓它們有著如此驚人的規律？是呀，大自然太神奇了！

師：松果與斐波那契數又有什么關系呢？數學家發現松果的兩種螺旋線條數正好是斐波那契數列中的數，還有向日葵也是，在自然界中，據說選擇這樣的模式生長的向日葵，花盤上的種子分布最有效，花盤也最堅實，產生后代的概率也最高。在自然界中像這樣神奇的現象還有很多，有待我們去探索和發現。

三、反思學習經歷，分享學習收獲

師：今天的課，你有什么新的收獲？先和同桌分享，然后我們共享你的收獲。

【課后反思】

學會從數學的角度去觀察事物、思考問題，從而解決問題是培養學生數學素養的目標之一。本節課中，數學材料的呈現從復雜到逐步清晰，用圖像表征的方式幫助學生更好地理解題意，在滲透數形結合思想的同時激發學生進一步探索的欲望。學生的學習應是一個主動建構知識的過程，教師應為學生自主探究提供充分的時間和空間。在材料呈現、圖示理解、符號表征、列表求解的過程中，都是學生先找到了解決問題的支點，如獨立嘗試，用自己喜歡的方式表示兔子數量的變化，通過比較選擇最優的表達方式；在繼續畫下去的過程中，發現圖示還是不夠簡潔，于是找到利用表格解決問題這個簡潔有效的辦法，從而發現規律的存在。在經歷問題解決的整個過程中，學生思維得以充分地暴露，解決問題的策略也在逐步改進，學生的數學素養也在不斷地提升。教學過程注重數學思想的滲透、關注解決問題素養的提升，大膽開放探索空間，實現了學生數學學習的“再創造”，課堂教學也達成了預設的目標。

（責編 童 夏）