打破常規(guī)教“因數(shù)與倍數(shù)”

陸耀成

[摘 要]因數(shù)與倍數(shù)是一對相互依存的概念，兩者既有相關性，又有區(qū)別，所以教學“因數(shù)與倍數(shù)”時，必須同步推進。在借助乘法算式詮釋兩者關系時，由于“因數(shù)”一詞具有多義性，容易與乘法算式里的“乘數(shù)”相混淆，因此教師要深入研讀教材，打破“因數(shù)與倍數(shù)”的常規(guī)教學模式，幫助學生厘清兩者的關系。

[關鍵詞]因數(shù)；倍數(shù)；打破常規(guī)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）29-0033-01

對于“因數(shù)與倍數(shù)”的教學，教師常存在兩點疑問：第一，如何導入因數(shù)與倍數(shù)的概念？第二，如何很好地區(qū)別“乘數(shù)”與“因數(shù)”、最小因數(shù)和最大因數(shù)？為了解決疑問，筆者進行了如下教學操作。

一、研究：對比各版教材

大綱版、實驗版和課標版三個版本的教材將因數(shù)和倍數(shù)內容都安排在五年級下冊，但引入方式有別。大綱版依托于“整除”概念，在呈現(xiàn)整除和非整除算式后，提出因數(shù)和倍數(shù)概念：a 除以b（b≠0）的商為整數(shù)，就說a能被b 整除。此時，a就稱為b的倍數(shù)，b就稱為a的因數(shù)。這樣的表述佶屈聱牙，弄得學生暈頭轉向，就連教師也要再三思量。于是，實驗版教材刪去了“整除”的概念，在開門見山地出示算式“2×6=12” 和“[3×4=12]”后，直截了當?shù)靥岢隽恕?、3、4、6都是12的因數(shù)，12 是它們的倍數(shù)”。這樣表述簡潔明了，但利用乘法算式揭示，非常容易與“因數(shù)×因數(shù)=積”中的“因數(shù)”概念混淆，盡管事后申明“這里的因數(shù)必須是整數(shù)，不包括0”，但仍會引起誤解，“所有乘法算式中的被乘數(shù)和乘數(shù)都叫作因數(shù)（約數(shù)）”，于是像“2.5×2=5”“3.2×4 =12.8”這樣的算式也歸入因數(shù)和倍數(shù)之列。

課標版教材對此做的改動是，由除法引入，從各類情境中提煉出多種除法算式，分成“整除”和“非整除”兩類；只要求學生學會分辨兩個數(shù)的因倍數(shù)關系；重申因倍數(shù)間的依存對應關系；刪去“整除”一詞，用“商必須是整數(shù)”取代。

二、設計：兩段簡約教學

基于以上對比，設計如下教學預設和教學過程。

【預設一】按商是否為整數(shù)分類。帶余除法：15÷7=2……1；10÷3=3……1。無余數(shù)除法：8÷2=4；30÷15=2；8÷5=1.6；21÷21=1；26÷8=3.25。

【爭論】商如果為小數(shù)，算入哪一類？

【預設二】按得數(shù)是否全部為整數(shù)分類。

結果是整數(shù)的：14÷2=7；31÷7=4……3；30÷15=2；10÷3=3……1。結果并非整數(shù)的：12÷5=2.4；10÷8=1.25。

【爭論】“商4余3”和“商3余 1”該歸入哪一類？

1.開門見山，新角度切入。首先開門見山地導入，直奔主題：“自然數(shù)之間存在著分解與合并的有趣關系，許多自然數(shù)都能分解成兩數(shù)相乘的形式，有的還有多種分法。那么18可以分成哪兩個數(shù)相乘的形式呢？”學生輕易就列出算式：18=3×6，18=2×9，18=1×18。接著，推出因倍數(shù)的定義，并點明它們之間的對應關系及討論范圍。

在這一環(huán)節(jié)中，“18=（ ）×（ ）” 的引入形式明顯優(yōu)于單純的算式引入，也照應了后來的分解質因數(shù)。而由于一開始就強調取值范圍，就排除了出現(xiàn)小數(shù)的情況。

2.充分練習，得心應手。待學生找齊12的因數(shù)后，繼續(xù)引導學生檢索其他數(shù)字的因數(shù)，如從13 到 50（若時間充裕，可將檢索范圍擴大至100以內的所有數(shù)）。然后，讓學生談方法和體會。比如：并不是數(shù)字越大因數(shù)越多；有的整數(shù)沒有常規(guī)因數(shù)；因數(shù)不會比原數(shù)大；任何數(shù)都有因數(shù)1和它本身；等等。待學生暢所欲言后，教師再查漏補缺。

新課標要求“能找100以內任意一個自然數(shù)的所有因數(shù)”。 如何才能滿足這一要求？讓學生接受大數(shù)據(jù)的“磨煉“是必要的，但題目的形式要富有趣味，比如：在100以內，擁有最多因數(shù)的是哪個數(shù)字？這樣可激發(fā)學生的思考熱情（因數(shù)至多可以達到12個，這樣的自然數(shù)有60、72、84、90 和 96），讓學生學會熟練地找出任意數(shù)的所有因數(shù)，為后續(xù)的乘除法口算、質合數(shù)判別、分解質因數(shù)夯實了基礎。對于倍數(shù)的練習也同樣如此，數(shù)據(jù)主要集中在乘法口訣表之外的一位數(shù)乘法和十位為1的兩位數(shù)乘法（積在100以內）。

三、感悟：打破常規(guī)教數(shù)學

綜上可知，教師對教材的理解不能止于淺表，更不能被教材捆住手腳。教師應活用教材，打破常規(guī)教數(shù)學。

新課標提到，理解和鉆研教材，應嚴格遵照新課標要求，把握好教材主旨和教學內容的教育價值，如果要對教材進行二度創(chuàng)造，需要做到：能根據(jù)學生的實際情況，選擇切實的素材和可操作性強的流程，精準體現(xiàn)基本理念和課程內容。除此之外，教師還需有扎實的專業(yè)知識和獨到的個人見解。總之，只有不肯墨守成規(guī)、因循守舊的教師才有機會沖破藩籬、標新立異。

（責編 童 夏）