基于動(dòng)態(tài)靈敏度的數(shù)控機(jī)床立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)

方 浩，王彥偉

武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

數(shù)控機(jī)床的工作性能及數(shù)控機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量的好壞與數(shù)控機(jī)床動(dòng)態(tài)性能息息相關(guān)。立柱連接主軸箱和床身，是數(shù)控機(jī)床的核心結(jié)構(gòu)，影響數(shù)控機(jī)床剛度，要確保整個(gè)數(shù)控機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能，必須首先保證立柱具有良好的動(dòng)態(tài)性能［1］。所以提高數(shù)控機(jī)床立柱的動(dòng)靜態(tài)特性，對(duì)于保證加工零件的精度有重要意義。

機(jī)床結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法眾多，以元結(jié)構(gòu)思想優(yōu)化為主的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)在工程中得到廣泛應(yīng)用［2］；王孚懋等［3］在 B-E（Bernoulli-Euler）梁有限元理論指導(dǎo)下，創(chuàng)建機(jī)床彈性軸動(dòng)力學(xué)模型，并在MATLAB中求出彎曲振動(dòng)的固有頻率；劉成穎等［4］為得出對(duì)機(jī)床低階頻率和振型影響最大的構(gòu)件，對(duì)機(jī)床進(jìn)行模態(tài)分析，分析了機(jī)床的各階固有頻率與振型；HUANG等［5］應(yīng)用有限元方法，找到了辨識(shí)整機(jī)靜剛度薄弱環(huán)節(jié)的方法；于長(zhǎng)亮等［6］通過(guò)對(duì)機(jī)床動(dòng)剛度進(jìn)行分析，辨識(shí)出不同模態(tài)下整機(jī)的薄弱環(huán)節(jié)；張興朝等［7］采用有限元法分析了機(jī)床的支腿和橫梁等多種元結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，通過(guò)比較分析，選擇較好的元結(jié)構(gòu)用于立柱的整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，效果顯著。同時(shí)，根據(jù)立柱尺寸變化對(duì)立柱動(dòng)態(tài)特性的影響，對(duì)龍門(mén)式立柱整體外形進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。在以往對(duì)立柱動(dòng)態(tài)性能的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中，大多都忽略了立柱動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)特性的靈敏度分析，使得優(yōu)化設(shè)計(jì)存在非最優(yōu)性和盲目性［8］。

本文以數(shù)控機(jī)床立柱結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性靈敏度分析為基礎(chǔ)，運(yùn)用有限元分析方法，對(duì)立柱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證立柱動(dòng)態(tài)性能的同時(shí)，減少立柱的重量。

1 立柱的靜動(dòng)力學(xué)分析

1.1 立柱有限元模型的建立

有限元分析的第一步是建立有限元模型。但由于工程中涉及到的結(jié)構(gòu)一般比較復(fù)雜，通常需要利用CAD軟件的三維幾何建模功能先創(chuàng)建基于有限元分析的幾何模型，然后基于幾何模型再創(chuàng)建有限元網(wǎng)格模型［9］。因?yàn)閿?shù)控機(jī)床立柱的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，故選擇在SolidWorks里對(duì)立柱進(jìn)行三維建模。建模時(shí)進(jìn)行了適當(dāng)簡(jiǎn)化，避免因微小特征等引起的網(wǎng)格質(zhì)量差，計(jì)算量大等問(wèn)題。

簡(jiǎn)化內(nèi)容如下［10］：

1）簡(jiǎn)化模型中的所有微小特征，包括小孔、倒角、倒圓角、凸臺(tái)等。

2）簡(jiǎn)化對(duì)立柱動(dòng)、靜態(tài)特性影響較小的結(jié)構(gòu)。

根據(jù)上述要求，建立的數(shù)控機(jī)床立柱幾何模型。其簡(jiǎn)化后的三維模型如圖1所示。

圖1 立柱幾何模型Fig.1 Model of column geometry

1.2 立柱動(dòng)靜力學(xué)分析

1.2.1 切削力計(jì)算 加工過(guò)程中受力復(fù)雜，切削力的大小受到工件材料、刀具幾何參數(shù)、加工工藝參數(shù)等因素的影響，要精確計(jì)算出，非常困難。本文在計(jì)算機(jī)床切削力時(shí)，考慮機(jī)床在切削時(shí)會(huì)處于危險(xiǎn)工況下，通過(guò)查閱參考手冊(cè)以及借鑒相關(guān)文獻(xiàn)，通過(guò)已有的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算切削力的大小。此數(shù)控機(jī)床常用的于銑削加工，故切削力計(jì)算公式為：

其中：B為切削寬度（mm）；D為銑刀直徑（mm）；K1為刀具前角對(duì)切削力影響系數(shù)；K2為切削速度對(duì)切削力影響系數(shù)；cp為加工材料的影響系數(shù)；fz為每齒進(jìn)給量；ap為被吃刀量［11］。

取刀具直徑D=125 mm，銑刀齒數(shù)Z=4，銑削力按一般粗加工計(jì)算，B≤52 mm；；ap≤10.4 mm；端面銑刀前角為 +5°；取修正系數(shù)K1=1.1。立柱在低速時(shí)受銑削力大，故取切削速度為50 m/min，其修正系數(shù)K2=1。

將以上數(shù)據(jù)代入式（1），求取切削力Fc=2 500 N。

1.2.2 靜力學(xué)分析 數(shù)控機(jī)床立柱及其相關(guān)部件主要包括立柱、主軸箱、滑枕、樘桿。使用ANSYS Workbench自動(dòng)劃分網(wǎng)格，對(duì)立柱進(jìn)行網(wǎng)格劃分，選擇Mechanical結(jié)構(gòu)分析，設(shè)置整個(gè)模型的單元尺寸為30 mm。一共劃分出172 991個(gè)節(jié)點(diǎn)，91 840個(gè)單元。有限元模型如圖2所示。

圖2 立柱有限元模型Fig.2 Finite element model of column

數(shù)控機(jī)床立柱的受力比較復(fù)雜，為了便于分析，將立柱的受力簡(jiǎn)化。立柱受到自身重力；主軸箱、滑枕、樘桿等部件的重力；數(shù)控機(jī)床工作時(shí)所受到的切削力。立柱底部由螺栓固定于床身上，將其近似于固定約束。立柱受力如圖3所示。其中，A為固定約束，B為切削力，C為重力。靜力學(xué)分析結(jié)果如表1所示。

表1 靜力學(xué)分析結(jié)果Tab.1 Results of static analysis

圖3 立柱受力圖Fig.3 Diagram of column stress

對(duì)數(shù)控機(jī)床立柱進(jìn)行靜力學(xué)求解，得到圖4和圖5。

圖4 立柱總變形云圖Fig.4 Total deformation cloud diagram of column

圖5 立柱總應(yīng)力云圖Fig.5 Total stress cloud diagram of column

由ANSYS Workbench所得的結(jié)果看出，立柱最大等效應(yīng)力為0.637 4 MPa，符合材料許用應(yīng)力范圍；最大等效應(yīng)變是3.234 8×10-6mm。根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)變?cè)茍D，得出立柱在X負(fù)方向和Y正方向發(fā)生彎曲。

通過(guò)云圖圖4和圖5可以看出，數(shù)控機(jī)床立柱總變形為0.003 86 mm，立柱受到切削力的影響，切削力通過(guò)主軸箱傳遞到立柱，將立柱底座的安裝面作為支撐面，立柱同時(shí)也受重力影響。立柱底面變形最大，并沿著Y軸正方向逐漸減小，在Z軸發(fā)生擠壓變形。綜上所述，立柱應(yīng)力在許用范圍內(nèi)，分布均勻，無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象。

1.2.3 模態(tài)分析 模態(tài)分析對(duì)于研究計(jì)算機(jī)械產(chǎn)品的固有頻率和振型有重要作用，機(jī)械產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)特性主要由低階模態(tài)決定［12］。因此只研究數(shù)控機(jī)床立柱前六階的固有頻率和振型。分析結(jié)果如圖6所示。

通過(guò)對(duì)圖6的分析，發(fā)現(xiàn)立柱1、2階為擺動(dòng)，3～6階出現(xiàn)凸振及扭動(dòng)，具體說(shuō)明見(jiàn)表2。這說(shuō)明立柱的壁厚對(duì)立柱動(dòng)剛度影響較大，為提高立柱的動(dòng)態(tài)特性，選擇立柱壁厚作為設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

表2 立柱振型及固有頻率Tab.2 Natural frequency and vibration mode of column Hz

2 立柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化

靈敏度分析是指結(jié)構(gòu)目標(biāo)性能函數(shù)的變化對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)變化的敏感程度［13］。首先以基于靈敏度分析選擇對(duì)立柱動(dòng)剛度影響最大的參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，而后基于響應(yīng)面法對(duì)立柱進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化目標(biāo)是立柱的一階頻率。

2.1 立柱一階模態(tài)靈敏度分析

圖6 立柱前六階模態(tài)頻率：（a）一階，（b）二階，（c）三階，（d）四階，（e）五階，（f）六階Fig.6 The first six modal frequencies of column：（a）first-order，（b）second-order，（c）third-order，（d）fourth-order，（e）fifth-order，（f）sixth-order

首先通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)變量在當(dāng)前值附近進(jìn)行擾動(dòng)，考慮到擾動(dòng)量相對(duì)設(shè)計(jì)變量當(dāng)前值均較小，因而對(duì)每個(gè)設(shè)計(jì)變量引起目標(biāo)值的變化采用最小二乘法進(jìn)行線性擬合，而后基于幾何結(jié)果計(jì)算設(shè)計(jì)變量的靈敏度。

設(shè)計(jì)變量相對(duì)擾動(dòng)值N與一階頻率f的關(guān)系如圖7所示，其中·表示擾動(dòng)后一階頻率取值。

立柱一階模態(tài)頻率與壁厚的變化關(guān)系：

式（2）中，u 為未知量，X1，X2，…，X10為設(shè)計(jì)變量。計(jì)算得出立柱尺寸厚度對(duì)一階模態(tài)頻率的靈敏度，如表3所示。

由表3數(shù)據(jù)可以看出，尺寸變化對(duì)于立柱一階模態(tài)頻率靈敏度最大的為內(nèi)側(cè)壁厚 X10，最小的為第三層肋板厚度 X3。立柱各個(gè)尺寸靈敏度大小排列如下：

圖7 設(shè)計(jì)變量相對(duì)擾動(dòng)值與一階頻率的關(guān)系Fig.7 Relative perturbation values of design variables and first-order frequency

2.2 立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)

由于立柱的一階頻率相對(duì)設(shè)計(jì)變量無(wú)明確解析表達(dá)，因而采用處理黑箱模型常用的響應(yīng)面法對(duì)立柱進(jìn)行優(yōu)化。響應(yīng)面法作為一個(gè)漸進(jìn)近似的優(yōu)化方法，可以很好的解決非光滑非線性的優(yōu)化問(wèn)題［14］。其思想是：通過(guò)構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式（具有明確的表達(dá)方式）來(lái)表達(dá)隱式函數(shù)，其本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法，可對(duì)目標(biāo)函數(shù)受多個(gè)變量影響的問(wèn)題進(jìn)行近似的建模與計(jì)算，得到目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化響應(yīng)值［15］。

具體優(yōu)化過(guò)程如圖8所示。

表3 設(shè)計(jì)變量變化對(duì)一階模態(tài)頻率的靈敏度Tab.3 Sensitivity changes of design variables to first-order modal frequencies Hz/mm

圖8 基于有限元分析的優(yōu)化過(guò)程Fig.8 Optimization process based on finite element analysis

據(jù)表3數(shù)據(jù)，對(duì)立柱一階模態(tài)頻率靈敏度最高的尺寸為內(nèi)側(cè)側(cè)壁厚X10第六層肋板厚度X6。故選擇靈敏度最高的內(nèi)側(cè)壁厚和第六層肋板厚度作為設(shè)計(jì)變量。由表1靜力學(xué)分析得，立柱的最大位移為0.003 86 mm，最大應(yīng)力為0.634 7 MPa。

因而，優(yōu)化模型確定為：

設(shè)計(jì)變量：立柱內(nèi)側(cè)壁厚 X10，立柱第六層肋板X(qián)6。

質(zhì)量減少或者增加量不大（不超過(guò)2%）。

優(yōu)化目標(biāo)：使立柱動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)（暨一階模態(tài)頻率盡可能高）。

上述優(yōu)化模型可以使立柱在最大位移Δmax不超過(guò)0.003 86 mm，最大應(yīng)力σmax不超過(guò)0.637 4 MPa，質(zhì)量減少或者增加量不大（不超過(guò)2%）的約束下，通過(guò)優(yōu)化立柱內(nèi)側(cè)壁厚X10、立柱第六層肋板X(qián)6，使立柱的一階模態(tài)頻率盡可能高。

采用ANSYS中響應(yīng)面優(yōu)化方法進(jìn)行計(jì)算。得到結(jié)果如圖9所示。其中，x軸為立柱內(nèi)側(cè)肋板厚度（mm），y軸為立柱第六層肋板厚度（mm），圖9（a）的z軸為立柱一階模態(tài)頻率（Hz），圖9（b）的z軸為立柱最大位移（10-3mm），圖9（c）的z軸為立柱最大應(yīng)力（MPa）。

圖9 響應(yīng)曲面：（a）設(shè)計(jì)變量與一階模態(tài)頻率，（b）設(shè)計(jì)變量與最大位移，（c）設(shè)計(jì)變量與最大應(yīng)力Fig.9 Response surface：（a）design variables and first-order modal frequencies，（b）design variables and maximum displacement，（c）design variables and maximum stress

由圖9看出，隨著立柱內(nèi)側(cè)壁厚和第六層肋板厚度的增加，立柱一階模態(tài)頻率先增加后減少，最大位移減少，最大應(yīng)力先減少后增加。

在Design Exploration模塊下對(duì)立柱進(jìn)行響應(yīng)面優(yōu)化，系統(tǒng)尋找到符合優(yōu)化目標(biāo)的三個(gè)推薦點(diǎn)，如表4所示。

由表4得，第1點(diǎn)的一階頻率提高了1.657 Hz，最大應(yīng)力和最大位移均符合優(yōu)化約束，質(zhì)量?jī)H增加1.6%。優(yōu)化后的數(shù)控機(jī)床立柱，一階頻率提高，動(dòng)態(tài)性能得到加強(qiáng)，并且最大位移與最大應(yīng)力均滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

表4 優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Optimized results

3 結(jié) 語(yǔ)

以數(shù)控機(jī)床立柱為研究對(duì)象，以結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)控機(jī)床立柱結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行分析，并以質(zhì)量為目標(biāo)對(duì)立柱進(jìn)行尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)。在保證立柱質(zhì)量不增加過(guò)多的前提下，有效提高了立柱的一階頻率，優(yōu)化了立柱的動(dòng)態(tài)性能。

運(yùn)用靈敏度分析方法，對(duì)立柱尺寸進(jìn)行分析，得到尺寸變化對(duì)于立柱一階模態(tài)頻率靈敏度值，選取立柱內(nèi)側(cè)壁厚及第六層肋板厚度為設(shè)計(jì)變量，運(yùn)用響應(yīng)面法，在ANSYS Workbench中，通過(guò)Design Exploration實(shí)現(xiàn)立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)。

得到的設(shè)計(jì)結(jié)果，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，立柱一階頻率提高了1.657 Hz，最大應(yīng)力和最大位移均符合優(yōu)化約束，質(zhì)量?jī)H增加1.6%。優(yōu)化后的數(shù)控機(jī)床立柱，一階頻率提高，動(dòng)態(tài)性能得到加強(qiáng)，并且最大位移與最大應(yīng)力均滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

在今后的工作中，首先進(jìn)行立柱拓?fù)鋬?yōu)化，找到更加合理的初始方案，然后對(duì)立柱進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，使得在立柱一階頻率提高的同時(shí)，質(zhì)量減輕，得到更加合理的設(shè)計(jì)方案。