基于GM(1,1)模型的我國人口老齡化預測

李 明

（蘇州工業職業技術學院 建筑工程與藝術設計系，江蘇 蘇州 215104）

0引 言

我國作為人口大國，人口數量和結構的變化直接影響經濟發展進程。改革開放30年，人口紅利為經濟注入了一劑強心劑，使得我國經濟快速增長[1]。但隨著世界經濟環境的變化，我國經濟發展進入了新常態，人口紅利優勢正逐漸減弱，并且很快將由人口紅利轉變為人口負擔?；诖?，本文通過建立GM（1, 1）預測模型，觀察我國人口老齡化趨勢，探究有效緩解人口老齡化危機的方法。

1人口老齡化標準及特點

人口老齡化是指人口生育率降低和人均壽命延長導致的總人口中因年輕人口數量減少、年長人口數量增加而導致的老年人口比例相應增長的動態變化過程。人口老齡化有兩個含義：一是指老年人口相對增多，在總人口中所占比例不斷上升的過程。二是指社會人口結構呈現老年狀態，進入老齡化社會。在國際上通常認為，當一個國家或地區60歲以上老年人口占人口總數的10%，或65歲以上老年人口占人口總數的7%，就意味著這個國家或地區的人口處于老齡化社會[2]。一般人口老齡化狀況會呈現出兩大特征：一是人口老齡化狀況會提前出現高峰。各國為了控制人口增長過快，國家層面會推行計劃生育政策干預人口出生率，人口生育率下降，不可避免地使國家提早出現人口老齡化高峰。二是在經濟不夠發達狀態下進入人口老齡化，會出現“未富先老”的狀況，延緩解決人口老齡化問題的進程。據國家統計局官網數據顯示，2015年我國65歲及以上的老年人口達1.4386億人，相比2014年增長4.1%，老年人口撫養比已達14.3%[3]。預測人口老齡化進程可為我國采取相應對策提供可參考的依據。

2數學模型的選擇

人口問題是由眾多因素諸如生育、死亡、社會、經濟、疾病、災害、環境等共同影響和制約的結果。人口問題的眾多制約因素，無法僅通過幾個指標進行表達和量化，更無法進行精確計算得出一個結果。它所反映的情況具有明顯的灰色性質，即以貧信息、不確定性系統為研究對象，介于白色系統和黑箱系統之間的過渡系統。如果某一系統全部信息都是已知的稱為白色系統；全部信息都是未知的稱為黑箱系統；部分信息已知、部分信息未知的稱為灰色系統。灰色系統適合用灰色模型去發掘和認識其原始時間序列綜合灰色量所包含的內在規律，因而選擇灰色模型對人口老齡化進行預測。

3 GM（1, 1）模型的構建

3.1 基本數學思想

將已知的原始數據序列按照某種規律進行累加，構成動態或非動態新的數據序列，新的數據序列呈現的規律可用一階線性微分方程的解進行逼近。GM（1,1）模型構建不需要許多原始數據，能將無規律的原始數據進行重新處理后得到規律性很強的生成數列，運算簡單，易于檢驗，不用考慮數據分布規律，預測精度較高[4]。

3.2 模型構建的基本原理

常規的GM（1, 1）模型是灰色預測模型的基礎，通常稱為單序列一階線性動態模型。設X(0)為非負的原始時間序列數據，X(1)為X(0)的一次累加生成數據數列，即：

其中X(1)( k )=x(0)(m), k=1, 2, …, n，而其對應的灰導數序列的緊鄰序列可用均值方式表示為：

其對應的分序列為：

而其對應的GM（1, 1）灰微分方程可歸納為：

此為GM（1, 1）模型的基本形式，其中，a, b分別為發展灰數和內生控制灰數，為待辨識的參數。

令k=2, 3, …, n，可將模型進一步表示為：

利用最小二乘法可求得參數結果為= ( BTB)-1BTY。若將x(0)( k )的時刻視為連續，則灰微分方程相應的白化方程為：

將a, b代入可得到其解為時間響應函數為：

則GM（1, 1）模型的時間響應序列為：

則其還原值為：

3.3 模型精度檢驗

模型建立后，需要通過檢驗才能判斷選取模型是否合理，只有通過檢驗的模型才能用于預測。GM（1,1）模型精度檢驗方法有殘差檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗。

（1）殘差檢驗。殘差檢驗是一種逐點檢驗方法，按預測模型計算(1)( k )，進行累減生成(0)( k )，然后求原始序列x(0)( k )與(0)( k )的殘差序列Δ(0)( k ) =X(0)(k)-(0)(k)φ(k) =，相對誤差序列×100%，平均相對誤差φ(k)，精度θ=(1-)×100%。對于相對誤差φ(k)，一般要求φ(k) ＜ 20%，最好φ(k) ＜ 10%；對于精度要求θ＞ 80%，最好θ＞ 90%。

（2）關聯度檢驗。計算X(0)(k)與(0)(k)的關聯系數η(0)(k)，即η(k)=，一般ρ=0.5，再求出關聯度rη(k)。若關聯度r＞ 0.6，則通過檢驗。

表1 擬合精度等級

4我國人口老齡化預測

4.1 數據來源

原始數據來自國家統計局官網1996—2015年人口年齡結構和撫養比統計數據（見表2），利用原始數據對建立的GM（1, 1）模型進行檢測，如果檢測精度較高，那么該模型對未來五年內的我國65歲及以上老年人口數和撫養比做出的預測值才具有更高的可信度。

4.2 針對老年人口建立GM（1, 1）預測模型

根據表2數據建立GM（1, 1）預測模型的灰微分方程為：

表2 1996—2015年我國65歲及以上老年人口數和撫養比

根據最小二乘法求得上式方程的參數值為：a=-0.0316,b=7578.3，其對應的白化方程為：

則對應的時間響應式為：

由表3計算出平均相對殘差=1.23%，精度較高；關聯度r=0.6264＞0.6，模型比較滿意；方差比C=4.1528×10-6＜0.35，小誤差概率P=1≥0.095，預測精度等級為最好。因此，該模型結果可信度高，可用于老齡化預測，從而得到2016—2020年我國65歲及以上老年人口數平均預測值（見表4）。

4.3 針對老年人口撫養比建立GM（1, 1）預測模型

采用4.2類似的方法可對我國65歲及以上老年人口撫養比進行預測，得到老年人口撫養比的白化方程為：

則對應的時間響應式為：

表3 1996—2015年我國65歲及以上老年人口數模擬值

表4 2016—2020年我國65歲及以上老年人口數預測值

表5 1996—2015年我國65歲及以上老年人口撫養比模擬值

5結論與建議

2016—2020年我國65歲及以上老年人口數和撫養比整體都呈上升趨勢，到2020年，我國65歲及以上老年人口數達1.6427億人（見表4），撫養比高達15.0336%（見表6），沒有下降的趨勢，形勢非常嚴峻。為有效緩解人口老齡化危機，應采取有效應對措施。

（1）加強頂層設計，大力發展老齡化產業。主要是對市場進行細分，滿足老年消費者的個性化需求。人口老齡化蘊藏著巨大的商機，需要充分挖掘其潛力，推動老齡化產業的發展，變被動承受為主動積極參與[5]。

（2）積極研制養老金制度和退休制度的改革，構建社區老年人服務體系。讓老年人處于一個心理健康、生活充實而愉快的環境，增加老年人晚年生活的健康和幸福指數，減少依賴，降低國家人力資源的浪費。

（3）辦好老年人的教育與就業。通過辦好老年大學或社區活動，給老年人提供繼續學習的機會，促進老年人保持積極向上的心態，提升老年人的認知、情感和社交能力，從而提高老年人的生活質量。同時可提供老年人發揮余熱的機會，增加老年人的收入，促進國家經濟全面增長。

（4）繼續開放生育政策，吸納外來人口以降低老齡撫養壓力。充分發揮人才優勢，加大技術創新能力，提高生產效率，擴大人口紅利，穩固發展經濟實力，以適應我國老齡化趨勢[6]。

表6 2016—2020年我國65歲及以上老年人口撫養比預測值

我國人口老齡化問題影響著老齡化事業的發展及養老服務和養老產業的發展方向。為有效緩解我國日益嚴峻的人口老齡化危機，不僅要關注老年人的身心健康，還要關注老年人的需求、情感、社交、服務、社會參與程度等方面，制定和推行積極的人口老齡化政策。