積分幾何在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

魏 超

（溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部，浙江 溫州 325035）

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，內(nèi)容融會(huì)貫通，高層次的數(shù)學(xué)可看作是對(duì)相應(yīng)低層次的數(shù)學(xué)內(nèi)容的推廣。“積分幾何”作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生階段的課程，屬于高層次的數(shù)學(xué)內(nèi)容，許多概念、公式都是對(duì)高職數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的推廣，二者有內(nèi)在的聯(lián)系，具備滲透教學(xué)的條件和基礎(chǔ)。高層次數(shù)學(xué)課程與低層次數(shù)學(xué)課程的滲透相關(guān)研究，已取得一些研究成果[1-4]。

積分幾何是通過(guò)各種微分、積分變換來(lái)研究圖形性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科，本質(zhì)上屬于整體微分幾何的范疇，是數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究分支。高職數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容就是一元函數(shù)微積分，某些概念、定理或性質(zhì)較抽象，不易理解，大多數(shù)高職學(xué)生只是停留在死記硬背階段。本文以積分幾何中的支持函數(shù)、曲率、凸域包含測(cè)度為主要對(duì)象，結(jié)合高職數(shù)學(xué)中的切線(xiàn)、導(dǎo)數(shù)定義、一元函數(shù)定積分，在高職數(shù)學(xué)中進(jìn)行積分幾何滲透教學(xué)，可大大提升教學(xué)效果。積分幾何的思想方法在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著十分重要的作用。

一、積分幾何的相關(guān)概念

由于高職學(xué)生不具備積分幾何的知識(shí)儲(chǔ)備，而積分幾何一些相關(guān)概念恰恰又是進(jìn)行滲透教學(xué)的基礎(chǔ)，如直線(xiàn)的廣義法式是假設(shè)未知直線(xiàn)方程所取的形式，凸域的支持函數(shù)是微分板塊中兩個(gè)研究對(duì)象之一，廣義支持函數(shù)與限弦函數(shù)是包含測(cè)度公式的重要組成因子。

1.直線(xiàn)的廣義法式

直線(xiàn)的廣義法式如圖1所示。設(shè)xOy為二維直角坐標(biāo)系，OR是自原點(diǎn)引出的射線(xiàn)，由x正半軸到射線(xiàn)OR的角記作φ。G為垂直于OR的任一直線(xiàn)。若G與OR交于點(diǎn)H，規(guī)定p（O到H的距離），若O,H兩點(diǎn)重合，則p=0；若G與OR的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H，則規(guī)定p=在這樣的規(guī)定下，直線(xiàn)G的方程為[5]3：

將（1）式稱(chēng)為直線(xiàn)G的廣義法式，并記為G(p,φ)；從形式上看，它與直線(xiàn)的一般式一樣，但參數(shù)p,φ的意義不同。這是積分幾何中對(duì)直線(xiàn)的表示法，較傳統(tǒng)的直線(xiàn)形式有更好的適應(yīng)性。

圖1 直線(xiàn)的廣義法式

定理1直線(xiàn)的廣義法式可與直線(xiàn)的一般式相互推導(dǎo)。

證明令直線(xiàn)G的廣義法式為xcosφ+ysinφ-p=0，不妨假設(shè)p＞0，OR按上述定義，則OR所在直線(xiàn)斜率KOR=tanφ=，此時(shí)直線(xiàn)G的斜率KG=-cotφ=G

令G的斜截式為y=-·x+b（*），可得，即b=，將其代入（*）中，有xcosφ+ysinφ-p=0，證畢。

2.凸域的支持函數(shù)

設(shè)K為歐氏平面E2上的一子集，如果當(dāng)A∈K,B∈K時(shí)，連結(jié)A,B的線(xiàn)段也在K內(nèi)，則稱(chēng)K為凸集。設(shè)K為一凸域（即有界閉凸集），在平面內(nèi)建立二維直角坐標(biāo)系xOy，自原點(diǎn)O引射線(xiàn)OH，作垂直于OH且與K相交的任一直線(xiàn)G1(p1,φ)（見(jiàn)圖2）。集合{p1}的上確界（最小上界）記為p，即：

其中，G1(p1,φ)∩K≠Φ表示直線(xiàn)G1(p1,φ)與凸域K有交點(diǎn)，p對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)G(p,φ)稱(chēng)為凸域K在φ方向上的支持線(xiàn)。顯然，給定一個(gè)凸域K，p隨著φ的變化而變化，此時(shí)可構(gòu)造函數(shù)p(φ)，將其稱(chēng)為凸域K的支持函數(shù)[5]4。

圖2 凸域的支持函數(shù)

3.廣義支持函數(shù)與限弦函數(shù)

定義1[5]72凸域K被直線(xiàn)G截得的弦長(zhǎng)記作σ，?K表示K的邊界，當(dāng)G僅與?K相交（包括交集為線(xiàn)段情形），規(guī)定σ=0，G取廣義法式，對(duì)任意給定的σ，φ(0≤φ≤2π)，令

其中m[G(p,φ)∩(intK)]表示G(p,φ)∩(intK)的幾何測(cè)度，即凸域K被直線(xiàn)G截得的弦長(zhǎng)。將二元函數(shù)p(σ,φ)稱(chēng)為凸域K的廣義支持函數(shù)。

定義2[5]72-73用σM(φ)表示垂直于φ方向的直線(xiàn)G與凸域K截得的最大弦長(zhǎng)，即：

對(duì)于任意給定的l(≥0),φ(0≤φ≤2π)，令

稱(chēng)二元函數(shù)r(l,φ)為凸域K的限弦函數(shù)。

設(shè)K為平面上的凸域，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，面積為F，N為長(zhǎng)度l的線(xiàn)段，將含于K內(nèi)的N的包含測(cè)度記為m(l)。

定理2[5]73凸域K及m(l)按上述定義。設(shè)p(σ,φ)，r(l,φ)分別為K的廣義支持函數(shù)，限弦函數(shù)則有

二、高職數(shù)學(xué)教學(xué)中積分幾何的滲透

高職數(shù)學(xué)的內(nèi)容實(shí)際是一元函數(shù)的微積分，可分為微分學(xué)、積分學(xué)兩個(gè)板塊。一方面，積分幾何中凸域的支持線(xiàn)從幾何角度可看成是對(duì)函數(shù)圖像在某點(diǎn)處切線(xiàn)的推廣，積分幾何中的曲率就是函數(shù)圖像上某個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，表明曲線(xiàn)偏離直線(xiàn)的程度，二者屬于微分學(xué)的范疇；另一方面，積分幾何中凸域的包含測(cè)度是解決積分幾何Buffon投針問(wèn)題的關(guān)鍵，是積分幾何學(xué)家研究的重要對(duì)象，由定理2可知，它歸類(lèi)于積分學(xué)。因此，在教學(xué)改革實(shí)踐中，積分幾何的滲透可通過(guò)在微分教學(xué)中滲透某些特殊凸域的支持函數(shù)與曲率，以及在積分教學(xué)中滲透圓域的包含測(cè)度加以實(shí)現(xiàn)。

圖3 圓域的支持函數(shù)

1.積分幾何在微分教學(xué)中的滲透

（1）凸域的支持函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的滲透。在講解導(dǎo)數(shù)這一板塊時(shí)，滲透凸域支持函數(shù)，在課堂中列舉一些特殊的凸域，讓學(xué)生嘗試?yán)脤?dǎo)數(shù)的幾何意義求解它們的支持函數(shù)，既可幫助學(xué)生更好地理解導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，又可拓展學(xué)生的幾何思維，讓學(xué)生體會(huì)更高層次的幾何概念。

函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為：

其中y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值記作fφ(x0) ，它的幾何意義為y=f(x)的函數(shù)曲線(xiàn)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線(xiàn)斜率。

案例1建立二維直角坐標(biāo)系xOy，考慮凸域D：x2+y2≤R2（x≥0且y≥0，R＞0為常數(shù)）。不妨事先假定 0 ＜φ＜，根據(jù)支持函數(shù)定義可知，p(φ)={p1:G(p1,φ)∩D≠?}。

圓域的支持函數(shù)如圖3所示。對(duì)于任一給定的方向φ，當(dāng)G(p,φ)∩D為單點(diǎn)集（即G(p,φ)為D的切線(xiàn)）時(shí)，p=p(φ)。在點(diǎn)(x,y)處切線(xiàn)斜率為，同時(shí)，直線(xiàn)G(p,φ)的斜率為-因而有方程，解之可得 ：x=R·cosφ,y=R·sinφ。G(p,φ)的方程為y=-，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可知，凸域D在φ方向上的支持函數(shù)為：

案例2建立二維直角坐標(biāo)系xOy，考慮凸域：≤1（x≥0且y≥0，a＞b＞0為常數(shù)）。不妨事先假定 0 ＜φ＜，根據(jù)支持函數(shù)的定義可知，p(φ)={p1:G(p1,φ)∩≠?}。

橢圓域的支持函數(shù)如圖4所示。對(duì)于任一給定的方向φ，當(dāng)G(p,φ)∩為單點(diǎn)集（即G(p,φ)為的切線(xiàn)）時(shí)，p=p(φ)。在點(diǎn)(x,y)處切線(xiàn)斜率為，同時(shí)，直線(xiàn)G(p,φ)的斜率為-，因而有方程，解之可得：，。G(p,φ)的方程為y=，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可知，凸域在φ方向上的支持函數(shù)為：

圖4 橢圓域的支持函數(shù)

案例1、案例2揭示凸域的支持函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的密切關(guān)系，滲透凸域的支持函數(shù)有助于學(xué)生在理解導(dǎo)數(shù)幾何意義的同時(shí)了解相關(guān)積分幾何概念。

（2）曲率在導(dǎo)數(shù)中的滲透。在講解導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，滲透曲線(xiàn)曲率，匯集一些簡(jiǎn)單曲線(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生探究式地利用導(dǎo)數(shù)概念及導(dǎo)數(shù)、微分運(yùn)算找尋它們的曲率表達(dá)式，這樣可讓學(xué)生在熟悉導(dǎo)數(shù)概念及其運(yùn)算、微分運(yùn)算的同時(shí)，更深入地理解曲率這一重要幾何量，為學(xué)生今后更深層次的專(zhuān)門(mén)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

積分幾何中曲線(xiàn)的曲率如圖5所示。建立二維直角坐標(biāo)系xOy，平面內(nèi)任一給定曲線(xiàn)Γ，在Γ上任取兩點(diǎn)M,M'，M處切線(xiàn)到M'處切線(xiàn)的角為Δα，沿著Γ曲線(xiàn)MM'的長(zhǎng)記為Δs，將稱(chēng)為曲線(xiàn)Γ的曲率，記作κ。

圖5 曲線(xiàn)的曲率

案例3考慮圓周曲線(xiàn)x2+y2=R2（R＞0為圓半徑）。圓周的曲率如圖6所示。在此圓周上任取兩點(diǎn)A,B，圓弧AB所對(duì)應(yīng)的圓心角為∠AOB=Δθ，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，可得圓弧AB的長(zhǎng)為(Δθ)·R，即Δs=(Δθ)·R，繼而另外，圓心角θ和與之對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)s的關(guān)系式為s=θ·R，亦即，等式兩邊同時(shí)微分，則有這說(shuō)明圓周是一條常曲率曲線(xiàn)，這一點(diǎn)非常特殊。同時(shí)，κ與R的等量關(guān)系也讓R有了另外一個(gè)“名字”——曲率半徑。

圖6 圓周的曲率

案例3揭示曲率與導(dǎo)數(shù)、微分之間的緊密聯(lián)系，滲透曲線(xiàn)的曲率有助于學(xué)生熟悉導(dǎo)數(shù)的定義及運(yùn)算，又可讓學(xué)生初步體會(huì)曲率作為最重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何量。

2.積分幾何在積分教學(xué)中的滲透

在講解一元函數(shù)定積分時(shí)，滲透包含測(cè)度理論有助于學(xué)生更全面地掌握牛頓—萊布尼茨公式及第一、二換元積分法，同時(shí)讓學(xué)生提前接觸一些簡(jiǎn)單的包含測(cè)度知識(shí)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維有重要作用。

Buffon投針問(wèn)題如圖7所示。經(jīng)典的幾何概率問(wèn)題可描述為：假設(shè)有2個(gè)凸域K0,K1,K1位于K0內(nèi)部。將長(zhǎng)度為l的針N隨機(jī)地投擲在平面內(nèi)，現(xiàn)已知N落在K0內(nèi)部，試求N與K1相遇的概率。這就是所謂的Buffon投針問(wèn)題。在日常生活中，人們會(huì)思考如何將一個(gè)籃球準(zhǔn)確地投入一個(gè)固定容積的框內(nèi)。數(shù)學(xué)家則關(guān)心一域含于另一域內(nèi)的可能性，即一域含于另一域內(nèi)的包含測(cè)度，這就歸屬于積分幾何的研究范疇。

圖7 Buffon投針問(wèn)題

案例4建立二維直角坐標(biāo)系xOy，考慮圓盤(pán)x2+y2≤r2（r ＞ 0 為圓半徑）。要求取一長(zhǎng)度為l（l ＜ 2r）的線(xiàn)段含于此圓盤(pán)內(nèi)的包含測(cè)度m ( l )。

σ(φ)=2r→圓盤(pán)的限弦函數(shù)r ( l, f)=min{l,MsM(f)}=l。依據(jù)定理2得：

上式即是長(zhǎng)度為l（l ＜ 2r）的線(xiàn)段含于圓盤(pán)x2+y2≤r2內(nèi)的包含測(cè)度m ( l )。

案例4說(shuō)明利用一元函數(shù)定積分可得到線(xiàn)段含于圓內(nèi)的包含測(cè)度。從計(jì)算過(guò)程看，求解過(guò)程涉及第一、二換元積分和牛頓—萊布尼茨公式，滲透凸域的包含測(cè)度可讓學(xué)生熟悉一元定積分的運(yùn)算技巧，又可引導(dǎo)學(xué)生感知積分幾何中包含測(cè)度作為最重要的幾何量，培養(yǎng)學(xué)生的幾何素養(yǎng)。

積分幾何的思想方法在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著非常重要的作用。積分幾何在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，有利于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和學(xué)習(xí)興趣，銜接低、高層次數(shù)學(xué)知識(shí)，理解和掌握基本概念和基本思想，提升學(xué)生的解題能力，幫助學(xué)生樹(shù)立現(xiàn)代數(shù)學(xué)特別是幾何思維意識(shí)。實(shí)踐證明，高職數(shù)學(xué)實(shí)施積分幾何滲透教學(xué)，大多數(shù)學(xué)生表現(xiàn)出更強(qiáng)烈的求知欲，在學(xué)習(xí)上變被動(dòng)為主動(dòng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能在一定程度上得以激發(fā)，大大提高了教學(xué)質(zhì)量。學(xué)生在更輕松地掌握高職數(shù)學(xué)基本知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的幾何素養(yǎng)，開(kāi)拓了學(xué)生的視野。