半正弦脈沖荷載作用下瀝青路面動態響應分析

張紅亮

（湖南大學設計研究院有限公司， 湖南 長沙 410017）

關鍵字：半正弦荷載；加載周期；振幅；車轍；低溫疲勞

0 前言

瀝青路面以其優良的行車性能而獲得青睞，成為各國公路建設路面結構形式的首選。隨著道路交通近年表現出的交通量大、汽車載重增加、車速加快的特點，對路面結構的可靠性與耐久性提出了更高的要求。然而，公路運輸高速重載化需求的日益加劇與路面使用壽命嚴重不足兩者間的矛盾，成為制約高速公路發展的難題[1]。其中的一個重要原因在于我國目前采用的靜力學路面設計體系，難以準確評價路面的實際受力狀態，自然無法合理解釋并有效抑制路面的早期破壞。因此，研究瀝青路面的動力響應規律，對探究路面損壞機理和提高路面使用壽命具有重要意義。

研究交通荷載作用下路面結構的動力學行為，揭示路面結構的破壞機理，推動路面結構設計從靜態向動態轉化已成為目前道路界研究的熱點問題之一。

關于交通荷載的描述，很多文獻將其視為作用位置不變大小變化的荷載，而半正弦荷載可以較好的模擬實際交通荷載，很多學者在瀝青路面動力響應的有限元計算中，經常使用脈沖荷載來代替實際交通荷載對模型進行加載。但目前還還很少有學者用解析的方法研究半正弦荷載作用下瀝青路面的動力響應。

有鑒于此，本文擬在分析現有國內外研究成果的基礎上，根據半剛性基層瀝青路面的特性，以粘彈性層狀體系理論和土的本構方程為基礎，建立路面動力響應控制方程，將半正弦荷載轉換成Fourier計算表達式后帶入各個控制方程中將具有偏微分方程形式的控制方程轉化為常微分方程，基于相關假設和位移、應力連續性的邊界條件求解控制方程并得到半正弦荷載作用下瀝青路面應力、應變和位移的解析解。并通過與數值模擬分析軟件的計算結果進行對比，驗證本文理論推導的準確性。

1 瀝青路面在不同加載條件下的動態響應求解

1.1 動力荷載加載形式

目前采用的路面動力響應分析的荷載加載方式主要有半正弦脈沖。通過控制半正弦脈沖脈沖荷載的振幅和周期，能模擬不同的實際加載形式。半正弦脈沖荷載函數的表達式如下：

1.2 動力控制方程建立

本文路基路面系統為二維八層體系，包括上面層、中面層、下面層、上基層、中基層、下基層、上路基和下路基。面層、基層和路基被視為干燥的彈性介質，忽略水和瀝青混合料固相顆粒的壓縮性，路基在某一深處固定于剛性路床上或著在某一深度的位移可被視為零。所有路面系統的結構層橫向寬度假設為無限大，建立路面動力響應控制方程[2]。

本文研究的對象是瀝青混凝土路面，在一般的情況下，都將其作為連續介質來進行研究的。研究對象的材料性質有所區別，譬如說瀝青混凝土的孔隙率及材料的整體強度都大于土體，所以本文在分析問題時，根據實際情況建立適合分析瀝青混凝土路面車轍的模型。為了建立數學模型，還需做如下假設：

(1)路面各結構層為均質的各向同性的彈性介質材料；

(2)瀝青混凝土的變形是微小的；

(3)瀝青混凝土是不可壓縮的，即只有變形，而無體積變化；

(4)各個結構層層間位移和應力連續。

對于路面、基層和路基，其動態控制方程為(i=1～8分別對應上面層、中面層、下面層、上基層、中基層、下基層、上路基和下路基)：

車輛的實際行駛時對路面施加的荷載不但有大小變化而且作用位置也在不斷的變化。路面結構所承受的動荷載包含兩層含義：一是力作用的位置改變；二是力的大小的改變。通常將路面結構所承受的動荷載分為以下三種：移動荷載、沖擊荷載和隨機荷載。隨機荷載是路面承受荷載的最真實情況，但其模擬預測較為困難；沖擊荷載與移動荷載都可以反映荷載的移動移動性質，移動荷載大小不發生改變，沖擊荷載的量值隨時間的改變而改變。當路面比較平整時，車輛震動較小，可以用移動荷載來描述車輛對路面的作用。關于交通荷載的描述，很多文獻將其視為作用位置不變大小變化的荷載，其變化規律一般表示為半正弦函數。其在二維情況下，可以將作用的荷載采用Fourier級數展開。某一點的動力響應在荷載通過該點之后會逐漸衰減直到下一次的荷載作用。假設一次荷載作用的時間為t0(t0=2l/c)，從第一次荷載作用到下一次荷載作用的時間為t1(t1=2L/c)，荷載的幅值為F，荷載寬度為2l，移動速度為c，2L是兩個交通荷載之間的距離。

1.3 動態控制方程通解

1.3.1 控制方程線性化

線性系統中的任何函數ψ(z,t)都可以表示為一組線性的諧函數的級數和，其表示形式如下：

式中Φm(z)=Φm僅為獨立變量z的函數，為m次諧函數，指數函數部分僅為t的函數。

1.3.2 邊界條件

如果要求解控制方程，必須得到積分常數Aijm(i=1～8,j=1～4)。

由于輪胎與路面之間的摩擦為滾動摩擦，摩擦力大小的量級相對于交通荷載來講是可以忽略的。因此，為了便于求解控制方程，輪胎與面層接觸面的剪切應力可以設為零。因此，得到如下的邊界條件作為求解條件：

在上面層頂面(z=0)：τ1xz= kF，(k為滾動摩擦系數)，σ1z=F；

在上面層底部(z=H1)的位移邊界條件：ζ1x=δ1和ξ1z=δ2；

中面層、下面層、上基層、中基層、下基層、上路基的邊界條件為(i=2～7)：

在下路基模型中，列出如下邊界條件：

下路基和上路基的界面(z=H7)的位移邊界條件：ξx=δ71，ξz=δ72；

下路基和上路基的界面(z=H7)的應力邊界條件：τxz=χH7，σz(H4)=σH7；

下路基底部(z=H8)的位移邊界條件：ζx=0，ζz=0。

根據以上邊界條件方程組，通過數值方法可以得到位移(δix和δiy)、正應力(σHi)和剪切應力(χHi)。然后代入到路面系統在動載作用下的動力相應的控制方程的通解表達式中，則正弦荷載作用下路面系統的豎向正應力和豎向正應變的表達式為：

2 瀝青路面車轍與疲勞壽命計算

移動荷載更能準確地表示實際的交通荷載作用方式，半正弦脈沖荷載只是對移動交通荷載作用方式的簡化。為了建立半正弦脈沖荷載與移動交通荷載之間的等效和轉換關系，本文將以路面車轍和疲勞壽命作為等效計算的控制指標，以確定正弦脈沖不同加載條件下的作用周期（時間）和振幅（荷載峰值）。

2.1 瀝青路面的車轍計算

瀝青混合料是一種溫度敏感性材料，它的路用性能與其溫度敏感性密切相關。車轍通常都容易在高溫下產生，并隨著溫度而變化。瀝青混合料作為一種復合材料，是典型的彈、粘、塑性綜合體，在低溫小變形范圍內接近線彈性體，在高溫大變形活動范圍內表現為粘塑性體，而在通常溫度的過渡范圍內則為一般粘彈性體。在行車荷載作用下，瀝青混合料的特性十分復雜，實際工作范圍內主要表現為非彈性體，變形在卸載后具有不可恢復性。參考AASHTO中路面設計指南，可以得到

RD—瀝青混凝土面層的車轍深度，

N—瀝青面層數，

(εp)i—瀝青面層第i層中部的豎直塑性應變，

□hi—瀝青面層第i層的厚度。

2.2 瀝青路面疲勞壽命

高強拉應變通常是由重載或者面層結構的強度不夠引起的，利用AASHTO路面設計指南來定義疲勞壽命，可以得到

Nf—軸載作用次數，

E—彈性模量，

εt—瀝青路面表面的拉應變，

C—與瀝青混合料體積有關的系數，

k—與瀝青混合料厚度有關的系數。

3 模型驗證

3.1 模型驗證

本文通過理論計算實例與數值模擬結果進行比較，以驗證本文理論推導的正確性。通過對比半正弦脈沖荷載和移動交通荷載作用下的車轍，得到半正弦脈沖荷載的周期和振幅。在新的振幅和周期作用下，建立相互轉換關系，使半正弦脈沖荷載能較好地模擬移動交通荷載作用下瀝青路面的動力響應。用于分析的瀝青路面結構是六層體系，從上之下分別為 4cm改性瀝青 SMA-13、6cm改性瀝青Sup-20、8cm重交瀝青Sup-25、40cm水泥穩定碎石、20cm石灰土和土基。

瀝青混合料的參數如下表(1、2、3)[3]所示。

表1 瀝青混合料彈性參數

50 500 0.40 60 390 0.45

表2 材料的彈性參數

表3 瀝青混合料蠕變參數

車速c=20m/s，輪壓F=700000Pa，滾動摩擦系數k=0.02，溫度為40℃，分別用本文的理論解析解方法和有限元軟件ABAQUS對瀝青路面結構的應變和車轍進行計算，計算結果如圖1所示。

圖1 不同荷載作用下瀝青路面車轍深度的對比

圖2 移動交通荷載作用下瀝青路面的車轍和半正弦脈沖荷載作用下瀝青路面的車轍的關系

從圖1可以看出，荷載作用下的瀝青路面車轍的理論計算值與有限元計算結果較為吻合，這證明了正弦荷載形式作用下瀝青路面動力響應的解析解理論推導的正確性。從圖1和圖2可以看出，移動交通荷載作用下的瀝青路面車轍計算值是半正弦荷載作用下瀝青路面車轍計算值的1.06倍。

3.2 瀝青路面疲勞壽命控制指標

瀝青路面的疲勞壽命Nf和拉應變εt的關系是指數函數關系，即瀝青路面結構一定時，瀝青路面的疲勞壽命只與拉應變εt（即施加在瀝青路面的荷載）有關，即

a為常數。

溫度t=20℃，荷載F=0.7MPa，v=20m/s，分別利用半正弦荷載和移動荷載計算瀝青路面的拉應變，移動交通荷載下的拉應變為8.28e-5，半正弦荷載下的拉應變為7.53e-5。

正弦脈沖荷載作用下的瀝青路面表面的拉應變的值是一樣的，這說明瀝青路面的拉應變只與荷載的大小有關，而與荷載的形式無關。對比發現移動荷載作用下瀝青路面表面的拉應變是半正弦脈沖荷載作用下的瀝青路面表面的拉應變的1.1倍。

3.3 考慮車轍和疲勞壽命的荷載等效關系

從前述分析可知，以車轍大小作為控制指標且保持兩種荷載加載時間不變，移動交通荷載大小為正弦荷載大小的1.06倍；保持四種荷載加載大小不變，移動交通荷載加載時間為正弦荷載、階躍荷載和三角形荷載大小的1.07倍。以疲勞壽命作為控制指標，兩種荷載與加載時間無關，僅與荷載大小有關。相同峰值的荷載作用下，半正弦荷載和移動交通荷載作用下路面層底拉應力相等，但移動交通荷載作用下的瀝青路面層底拉應力為該半正弦脈沖荷載作用下的 1.1倍。因此，為了同時保證兩種荷載作用下的車轍和疲勞壽命相等，在進行加載時，對荷載的峰值和加載時間進行對比可以得到如表4所示的關系。

表4 荷載的周期與振幅的關系

4 結論

本文推導了半正弦脈沖荷載作用下瀝青路面動力響應的顯式解析解，并通過與有限元軟件ABAQUS計算結果進行對比，證明了本文推導的顯式解析解的合理性，從理論上為瀝青路面車轍的處理提供技術支持，并得到如下結論：

(1)保持正弦脈沖荷載的周期不變，通過改變半正弦脈沖荷載的振幅(半正弦荷載振幅增大1.06倍)，能很好的模擬移動交通荷載，消除半正弦脈沖荷載模擬移動交通荷載的誤差。

(2)保持正弦脈沖荷載的振幅不變，通過改變半正弦脈沖荷載的周期(半正弦荷載周期增大1.07倍)，能很好的模擬移動交通荷載，消除半正弦脈沖荷載模擬移動交通荷載的誤差。

(3)不論是改變荷載的振幅，還是改變荷載的周期，都能很好的模擬移動交通荷載，這很好的證明了“時間荷載等效”原則。