基于通脹的最優投資-消費、閑暇和自愿退休問題

惲 珍, 費為銀, 梁 勇

(安徽工程大學 數理學院, 安徽 蕪湖 241000)

最優投資消費問題是金融學研究的重要方向之一, 早在1969年, 文獻[1]針對連續時間情形下最優投資選擇問題已經進行了研究, 文獻[2]探究了值函數的閉型解, 并提出了最優投資-消費決策。

上述文獻報道均是最優投資消費問題, 但在實際生活中, 人們可通過工作獲得勞動收入, 還可合理地投資從而增加財富, 使得退休后的生活更有保障。 把收入、閑暇和退休引入模型才可使投資-消費組合模型更貼合實際。文獻[3-4]考慮了勞動收入是隨機情形時的消費、投資、閑暇和退休問題, 均采用鞅方法解決最優投資消費問題。 文獻[5]在使用動態規劃法解決投資消費問題時, 推廣了文獻[4]的結果, 并驗證了鞅方法和動態規劃法得到的解的等價性。 文獻[6]運用α-極大極小期望CES(constant elasticity of substitution)效用模型, 研究了代理人的最優消費、閑暇、投資組合和退休選擇的問題, 其中區別了含糊與含糊態度。 文獻[7]考察了一個帶有CES型代理人的最優投資消費、閑暇和退休選擇問題, 代理人可通過消費和閑暇獲得效用, 并在高于一個最低勞動時間后可以靈活地安排勞動和閑暇時間。 文獻[8]研究了帶有生存約束的代理人的最優投資消費、閑暇和自愿退休的問題, 運用動態規劃原理, 給出了最優決策和值函數。 文獻[9]考察了在Knight不確定下3種借款約束情形及保險和退休的最優消費投資決策。

通貨膨脹(簡稱通脹)是一種無法避免的宏觀經濟風險。 面對通脹帶來的壓力, 許多管理人重新調整了投資組合, 許多學者也在原來的最優投資-消費組合的基礎上, 考慮了通脹對投資-消費的影響。文獻[10]證明了通脹對代理人的經濟活動有重要的影響。 通脹會帶來物價的上漲, 導致代理人可以購買的消費品減少, 消費效用降低。 因此, 代理人需通過減少消費、增加投資來應對通脹。 文獻[11]研究了消費籃子價格完全可觀察和部分可觀察兩種情況的通脹環境下的最優消費和最優投資決策。 文獻[12]考察了通脹環境下, 一個可投資于現金、名義債券和股票的冪效用投資者的最優資產配置。 文獻[13]分析了在跳擴散環境下, 通脹因素和跳對投資者資產配置的影響。 文獻[14]研究了投資者在通脹環境下帶遞歸效用的最優消費和投資問題。 文獻[15]基于連續時間均值-方差框架, 探究了通脹影響下投資終止時間不確定的最優投資組合選擇問題．文獻[16]運用了隨機分析、動態規劃原理和魯棒控制方法，研究了在通脹和模型不確定下投資者的最優消費和投資組合問題。

為考察代理人在通脹環境下的最優投資-消費、閑暇和自愿退休問題, 本文在文獻[17]的基礎上引入了通脹因素, 運用動態規劃原理, 通過求解優化問題值函數所滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程, 獲得值函數的解析解和關于投資-消費、閑暇和自愿退休的最優決策。

1 模型建立

在完備的金融市場中, 設(Ω,F,{Ft}t≥0,P)為一個帶有Wiener過程W(t)的帶流概率空間, 代理人可以將財富投資于兩種資產：一種是名義利率為R的無風險資產, 如債券；另一種是預期收益率為μs和波動率為σs>0的風險資產, 如股票。無風險資產名義價格BN(t)與風險資產名義價格SN(t)分別滿足式(1)和(2)。

(1)

(2)

居民消費價格指數(CPI)是度量通脹的重要指標,其是衡量所選定的一籃子消費品購買價格的指數。 文獻[10]中投資者的消費籃子指代幾種消費品及其權重。 本文為了簡化, 忽略了多維的情況, 直接考慮消費籃子中物品價格的加權和, 即消費籃子價格。 消費籃子價格的動力學表達式如式(3)所示。

(3)

式中:μp為預期通脹率;σp>0為波動率。

設XN(t)為代理人在時刻t的名義財富量,πN(t)為代理人在時刻t投資于風險資產的名義資金額, 則XN(t)-πN(t)為代理人投資于無風險資產的名義資金額，cN(t)為代理人在時刻t的名義消費率, 且cN(t)>0，wN(t)為名義工資率。

(4)

且名義財富過程滿足

(5)

設Xt表示代理人在時刻t的真實財富量, 則

根據伊藤公式可得

(6)

考慮到模型簡化和代理人心理, 假設真實工資率為常數w； 不受通脹的影響, 則名義工資率滿足wN(t)=w·P(t)。

真實財富過程滿足

(7)

式中:X0為零時刻財富水平；x為零時刻財富水平的具體數值。

設BN(t)為代理人在時刻t的名義無風險資產價格,B(t)為代理人在時刻t的真實無風險資產價格, 則

(8)

(9)

2 優化問題

為使消費和閑暇都能得到滿足, 根據文獻[3-4, 17]中定義的效用函數, 本文引入Cobb-Douglas效用函數，如式(10)所示。

(10)

式中:γ為相對風險厭惡系數;α為一個常數參數, 用來度量代理人的消費在就業階段中的份額。若定義γ1: =1-α(1-γ), 則Cobb-Douglas效用函數可寫為

(11)

期望折現效用的最大化為模型中代理人的目標, 則

(12)

假設1

(13)

由于式(12)中退休后的值函數U(·)和經典Merton問題類似, 參照文獻[17], 定義退休后的值函數為

定義二次方程為

(14)

該方程有兩個根k+>0和k-<-1。

在假設1下, 值函數有如下表達式

命題1

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

證明: 退休前將控制變量l分為兩部分: 閑暇率lt為一個控制變量, 閑暇率lt為常數L。

當0≤t<τ, 0≤l

(24)

由一階條件, 可得

(25)

將式(25)代入HJB方程(24), 可得

(26)

假設財富函數c=C(x),X(c)=C-1(x), 則

(27)

把式(27)代入式(26), 得

(28)

兩邊關于c求導, 得

(29)

式(29)的解如式(30)所示。

(30)

式中:k-<-1為方程(14)的一個根。

將式(30)代入式(28), 得

(31)

式中:ξ為式(22)的解．

當0≤t<τ，l=L時, 優化問題的HJB方程可寫為

(32)

由一階條件, 可得

(33)

同理, 可得式(32)的解和值函數如式(34)和(35)所示。

(34)

(35)

式中:ζ為式(23)的解．

將式(30)和(34)求導, 代入上式, 得

(36)

(37)

即

(38)

由式(36)～(38)可知, 若可知B2, 則可求得式(18)中的B1和式(20)中的A2。

簡化得

(39)

由式(34)定義

(40)

將式(39)代入式(40), 可得

(41)

(42)

將式(39)代入式(42), 可得

(43)

由式(41)和(43)可得B2。

命題2

式中:ξ和ζ為式(44)和(45)的解。

(44)

(45)

證明: 根據一階條件(25)和(33), 可得定理中的最優消費、閑暇、投資決策。 根據命題1中的式(23), 可得代理人在時刻t的財富Xt, 證畢。

3 數值模擬與經濟學分析

為更好地分析財富水平和通脹因素對消費與投資的影響, 本文結合文獻[7-11]中的數據, 利用Matlab進行了數值模擬。

3.1 財富水平對消費和投資的影響

由圖1可知:相對風險厭惡系數越大, 越厭惡風險的投資者消費相對更低, 可適當控制消費; 消費的整體趨勢均是單調增加的, 這是由于隨著財富的積累, 消費水平隨之提高; 在財富水平達到[-40, -20]之間時, 出現了一個向上的跳, 這是由于第2階段時, 代理人閑暇達到了退休前的最大且固定, 工作時間也相對固定, 收入穩定可增加消費。在第2階段和第3階段之間出現了一個向下的跳, 這是由于代理人已經退休, 沒有了收入來源, 此階段投資者更愿意將所持有的資產用于風險資產的投資, 以期獲得更多的財富, 減少了消費。

圖1 財富水平Xt對最優消費Ct的影響Fig.1 Effect of wealth level Xton optimal consumption Ct

圖2 財富水平Xt對最優投資π的影響Fig.2 Effect of wealth level Xton optimal investment π

由圖2可知:對風險更加厭惡的投資者, 會將更少的財富投資于風險資產上; 投資的整體趨勢均是單調增加的, 這是由于隨著財富的積累, 投資隨之增加。在第1階段和第2階段之間出現了一個向上的跳, 這是由于在第2階段代理人具有穩定的收入, 財富的逐漸積累使其可以增加投資。 在第2階段和第3階段之間出現了一個向下的跳, 這是由于代理人已經退休, 沒有了收入來源, 增加投資會不利于未來的消費, 因此投資會出現一個大幅度的下降．

3.2 通脹波動率對消費和投資的影響

(a)第1階段

(b)第2階段

(c)第3階段圖3 3個階段通脹波動率σp對最優投資π的影響Fig.3 Effect of inflation volatility σpon optimal investment π of three stages

(a)第1階段

(b)第2階段

(c)第3階段圖4 3個階段通脹波動率σp 對最優消費Ct 的影響Fig.4 Effect of inflation volatility σp on optimal consumption Ct of three stages

由圖3(a)可知, 隨著通脹波動率的增加, 投資先增加后減少。 投資先增加的原因：一方面是通脹剛剛出現, 代理人心理上認為市場的預期走勢好, 增加投資可以增值保值; 另一方面是此階段代理人的收入不是固定的, 如果某個時刻的投資出現虧損, 可通過減少閑暇、增加工作來增加收入，彌補虧損。 之后投資下降是由于通脹波動率的增加, 使得市場的不確定性增強, 代理人心理上更加擔憂, 因此降低了投資。

由圖3(b)可知, 隨著通脹波動率的增加, 投資一直減少。 一方面是此階段的收入沒有前一階段的高, 可用于投資的財富減少。 隨著通脹波動率的增加, 市場越來越不穩定, 代理人更加擔心投資虧損。另一方面是此階段收入是個定值, 如果某個時刻的投資出現虧損, 代理人不能通過調節收入彌補虧損。因此第2階段投資呈現下降的趨勢。

由圖3(c)可知, 此階段隨著通脹波動率的增加, 投資一直增加。這是由于退休之后, 財富有一定的積累, 但不會再有收入來源, 需要增加投資從而獲得收益．

由圖3可知, 相比于對風險厭惡更高的代理人，對風險厭惡更低的代理人而言, 無論在哪個階段, 其投資都會更高。這是由于其會認為市場預期走勢好, 將財富更多地投資在風險資產上可獲得更高的收益．

由圖4(a)可知, 隨著通脹波動率的增加, 消費先減小后增加。消費先減小的原因：一方面是此時投資增加的原因另一方面是從消費者的心理來看, 通脹剛剛出現, 消費欲望降低, 導致財富購買力的下降。 之后消費增加的原因：一方面是市場波動越來越大, 代理人不愿進行更多的投資, 用于消費的資金將會更多; 另一方面是當通脹出現時, 相同的貨幣量消費越晚買到的東西越少。 代理人可能提前消費, 提前消費使等量貨幣價值最大化, 因此消費會增加。

由圖4(b)可知, 消費水平隨著通脹波動率的增加而增加。 這是由于在這個階段投資隨著通脹波動率增加而減小, 而代理人在此階段收入是個定值, 可以適當地增加消費。

由圖4(c)可知, 這個階段消費隨通脹波動率增加而持續增加, 這是由于退休之后, 代理人已經積累了一定的財富, 可以承擔更高的消費

由圖4可知,相比于對風險厭惡更高的代理人，對風險厭惡更低的代理人而言, 無論在哪個階段, 其消費都會更低。這是由于此時的代理人已經將更多的財富投資在風險資產, 進而消費水平降低。

4 結 語

本文在通脹環境下建立模型, 推導了通脹折現后的財富過程。將代理人的生命周期依據閑暇率分為3個階段, 在每個階段建立相應的HJB方程, 求解方程后得出關于投資-消費、閑暇和自愿退休時間的最優決策。數值模擬分析表明, 消費和投資均隨著財富水平增加而增加, 在面對變化的通脹波動率時, 代理人為了減小風險、增加收益, 在不同的階段會選擇不同的最優投資消費策略。總體而言, 適當的通脹會刺激投資和消費。