帶源項的吸引-排斥趨化模型解的有界性

戴 超， 陶有山

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

趨化性是由化學(xué)信號的濃度梯度引起的細胞偏向運動。趨化吸引是指細胞朝化學(xué)信號濃度增大的地方遷移，而趨化排斥是指細胞朝遠離化學(xué)信號濃度增大的地方運動。著名的趨化數(shù)學(xué)模型是由Keller和Segel在20世紀70年代提出的KS模型[1]，本文在KS模型的基礎(chǔ)上，研究了文獻[2]提出的描述老年癡呆癥疾病中小神經(jīng)膠質(zhì)細胞集聚現(xiàn)象，以及文獻[3]中給出的有關(guān)趨化過程中的群體效應(yīng)的吸引-排斥趨化模型。從數(shù)學(xué)的角度來說，經(jīng)典的KS模型和群體效應(yīng)吸引-排斥趨化模型存在的一個本質(zhì)區(qū)別，即前者可以找到有用的Lyapunov泛函，而后者一般不存在這樣的泛函。

因此，本文考慮帶有Logistic源的吸引-排斥趨化模型，如式(1)所示。

式中：Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界凸區(qū)域；?ν表示邊界?Ω的外法向量的導(dǎo)數(shù)；χ，ζ，α1，α2，β1和β2均為給定的正參數(shù)；u=u(x，t)表示細胞的密度；v=v(x，t)表示吸引信號的濃度；w=w(x，t)表示排斥信號的濃度。f滿足Logistic條件，即

f(s)≤as-bs2，s≥0

(2)

式中：a≥0，b>0。

模型(1)中第一個方程描述細胞密度隨時間的變化情況，等式右邊第一項表示細胞的隨機擴散，第二項表示細胞向化學(xué)信號濃度增加的方向移動，第三項則表示細胞向遠離化學(xué)信號濃度增大的地方遷移，最后一項表明細胞的出生和死亡滿足Logistic定律。模型(1)中第二個和第三個方程表明趨化吸引和趨化排斥的化學(xué)物質(zhì)均有細胞自身分泌，并隨時間經(jīng)歷擴散和衰減。模型(1)中，假設(shè)u，v，w滿足零流邊界條件，即假設(shè)在邊界處細胞和兩種化學(xué)物質(zhì)的凈流量為零。

本文假設(shè)模型(1)初始值u0，v0，w0滿足：

(3)

在一些研究KS數(shù)學(xué)模型的報道[4-5]中，發(fā)現(xiàn)趨化吸引和排斥現(xiàn)象同時存在，從而產(chǎn)生了有趣的生物斑圖[6]。而文獻[7]中帶Logistic源的吸引-排斥趨化模型表明：當(dāng)空間維數(shù)n≤2時，它存在唯一的整體古典解。因此本文的目標是：當(dāng)n≥3時，證明模型(1)的整體古典解的存在性及有界性。更精確地說，本文獲得如下主要結(jié)果。

定理1假設(shè)Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界凸區(qū)域，并設(shè)f滿足式(2)，則對任意的u0，v0，w0滿足式(3)，存在b0>0，使得當(dāng)b>b0時，模型(1)存在唯一的非負古典解(u，v，w)，且u，v，w在Ω×(0， ∞)上一致有界。

本文先建立古典解的局部存在性并推導(dǎo)基本的先驗估計，接下來再進一步推導(dǎo)解的更高正則性估計，完成定理1的證明。

1 局部存在性及基本估計

模型(1)的局部古典解的存在性建立在標準的不動點方法上[8]，這里省去其詳細的證明過程。

引理1假設(shè)Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界的區(qū)域，并設(shè)f滿足式(2)，且u0，v0，w0滿足式(3)，則存在Tmax∈(0， ∞]和唯一的非負函數(shù)組(u，v，w)，且滿足

使得(u，v，w)是模型(1)在Ω×(0，Tmax)上的古典解。進一步，則有

‖v(·，t)‖W1， k(Ω)+‖w(·，t)‖W1， k)=∞

引理2假設(shè)f滿足式(2)，則存在常數(shù)A>0，使模型(1)的解(u，v，w)滿足

(4)

證明：根據(jù)模型(1)中第一個方程，并利用分部積分可得

(5)

(6)

模型(1)中第二個方程兩邊同時乘以-Δv，并借助分部積分和Young不等式得

從而有

(7)

同理有

(8)

由此推得

y′(t)+c1y(t)≤c2,t∈(0，Tmax)，

式得

結(jié)合y的定義，得出式(4)。從而引理2得證。

2 高階正則性估計

引理3假設(shè)f滿足式(2)，則對于所有的p∈N和q∈{0， …，p}，成立

(9)

證明：直接計算得

(10)

由分部積分知

(11)

(12)

且

(13)

其中，t∈(0，Tmax)。接下來用Young不等式處理I4得

(14)

(15)

推論4假設(shè)f滿足式(2)，則對于所有的p∈N和q∈{0， …，p}，成立

(16)

證明：根據(jù)引理3的證明方法， 類似推得

(17)

結(jié)合式(9)，即可推出式(16)，從而推論4得證。

項的估計。

引理5假設(shè)f滿足式(2)，則對所有的p∈N，p≥2，存在c0>0和C0>0，使模型(1)的解具有下述性質(zhì)

(18)

證明：式(16)中取q=0，利用分部積分和Young不等式得

(19)

同理

(20)

引理6若p∈N，p≥3且引理1的假設(shè)成立，則存在常數(shù)C1使得模型(1)的解滿足

(21)

證明：令式(16)中q=1得

：=I1+I2+I3+I4+I5，t∈(0，Tmax)

(22)

利用Young不等式估計得

(23)

(24)

(25)

(26)

其中，t∈(0，Tmax)。再次使用Young不等式估計式(26)的最后一項得

綜合式(22)～(26)推出

(27)

同理可得

(28)

令

結(jié)合式(27)和(28)，即推出式(21)，從而引理6得證。

為了處理式(21)中的右端項，需要在式(16)中考察q≥2的情形且要對式(16)右端項作進一步的處理，更精確地說，有如下引理7。

引理7假設(shè)f滿足式(2)，則對所有的p∈N，p≥3和每個q∈{2， …，p-1}，存在cq≥0和Cq≥0，使模型(1)的解滿足

(29)

證明：利用Young不等式估計式(9)左邊的第一項和最后一項得

(30)

(31)

再一次根據(jù)Young不等式得

(32)

其中，常數(shù)c′>0。同理有

(33)

(34)

(35)

(36)

其中，t∈(0，Tmax)。進一步由Young不等式得

(37)

(38)

(39)

(40)

綜合式(9)和(30)～(40)得

(41)

同理

(42)

因此，由式(41)和(42)得式(29)，從而引理7得證。

引理8假設(shè)f滿足式(2)，則對所有的p∈N，p≥2， 存在cp和Cp使模型(1)的解滿足

(43)

證明：式(16)中取p=q得

(44)

進一步根據(jù)Young不等式得

(45)

同理

(46)

再利用Young不等式得

(47)

綜合式(45)～(47)得

(48)

由式(48)很容易得出式(43)，從而引理8得證。

為了能用引理5～8所得到的估計中“左端的好項”來控制“相應(yīng)的右端的積分項”，將這些估計式進行合適的線性組合，得到如下引理9。

引理9假設(shè)p∈N，p≥3且引理1中假設(shè)成立，則存在b0=b0(a，b，χ，ζ，β1，β2，p，n)，對任意的b>b0(>0)，存在正數(shù)c，C及d0， …，dp，使模型(1)的解滿足

(49)

證明：取c0， …，cp和C0， …，Cp是引理5～8中給出的常數(shù)， 同時取M?1，使得

Mcq>2，q∈{2， …，p}

(50)

進一步， 選取0<ε?1滿足

(51)

且

(52)

固定b0>0，并使其充分大，滿足

(53)

(54)

定義

d0：=1，dq：=εMq，q∈(1， …，p)

(55)

根據(jù)引理5～8， 在式(49)左邊的求和項中，分別取q=0，q=1，q={2， …，p-1}及q=p，并經(jīng)過重新排序得

(56)

聯(lián)合式(51)～(55)得

(57)

再由式(52)和(53)得

(58)

進一步，根據(jù)式(54)及假設(shè)b>b0得

(59)

由于dqcq-dq-1=εMq-1(Mcq-1)>εMq-1>εM，q∈(2， …，p)且式(50)中M>1， 故有

(60)

類似推得

(61)

和

(62)

引理10假設(shè)p∈N，p≥3且引理9中的假設(shè)成立，則存在L>0，滿足

(63)

證明： 對每個q∈{1， …，p-1}， 利用Young不等式得

(64)

(65)

(66)

(67)

同理

(68)

其中，t∈(0，Tmax)。綜合式(64)～(68)得

(69)

其中，L2>0和Lp>0。進一步，利用Young不等式得

(70)

據(jù)此便得到式(63)，從而引理10得證。

3 主要結(jié)果的證明

利用引理10中得到的高階正則性先驗估計，現(xiàn)在可完成定理1的證明。

定理1的證明：根據(jù)引理10及標準的Moser迭代可以得到：存在常數(shù)C>0，滿足

‖u(·，t)‖L∞(Ω)≤C，t∈(0，Tmax)。

據(jù)此并結(jié)合引理10，由引理1得到Tmax=+∞，從而模型(1)的整體古典解存在有界性，即定理1證畢。