淺析導數含參題型的一些常見題型及其解法

林洪錦

摘 要：導數題型在高考中是一個重點也是難點，考查題型靈活多樣，解題方法也比較多.求參數的值或取值范圍是考試中出現頻率相當高的一種題型，由于含參函數問題本身具有復雜性，涉及到不等式、導數、函數等多個知識點，大多數學生在解決這類問題時感到很棘手，是學生失分較多且不易掌握的知識點.本文通過解析幾個例題對此類問題加以分類解析，希望能對學生掌握這個部分知識有所幫助.

關鍵詞：導數 參數 構造函數 取值范圍 最大值 最小值

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）10-0-02

導數題型在高考中是一個重點也是難點，考查題型靈活多樣，解題方法也比較多.求參數的值或取值范圍是考試中出現頻率相當高的一種題型，由于含參函數問題本身具有復雜性，涉及到不等式、導數、函數等多個知識點，大多數學生在解決這類問題時感到很棘手，是學生失分較多且不易掌握的知識點.本文通過解析幾個例題對此類問題加以分類解析，希望能對學生掌握這個部分知識有所幫助.

一、參變分離題型

參變分離就是把要求解的參數放在一邊，把函數放在另一邊，然后通過求解函數來確定參數的值或取值范圍的題型.

例1.已知函數有零點，求的取值范圍.

分析：問題可以轉化為方程有解，即有解.

令，則

易求得當時，函數為增函數；當時，函數為減函數

所以當時函數取得極大值，也是最大值，即，從而

例2.已知命題：是真命題，求實數的取值范圍.

分析：不等式可轉化為.

令，那么問題就可以理解為即可.

又，因為，所以恒成立，所以函數在上為增函數，所以，從而

二、參變結合題型

參變結合就是仍然把參數和變量結合在一起，把參數看成是函數的系數，然后通過求解含參函數來求解出參數的值或取值范圍.

例3.設函數，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.

解析：不等式可化為，即在上恒成立.

令，

令，即，解得

？當，即時，則有在上恒成立，所以函數在上為增函數，所以，即，即

？當，即時，則有時，；時，.所以函數在上為減函數，在上為增函數.所以，而（不合，舍去）

？當，即時，則有在上恒成立，所以函數在上為減函數，所以，即，即，而（不合，舍去）

綜上所述，

三、與量詞結合題型

在數學題型中，有時候一個字的不同，數學上的解題方向就完全不一樣，這在對于含有量詞“”，“”的題型上很好的體現出來.對于含有“”，“”這樣的關鍵詞語的題型，關鍵分析是要找最大值間的關系，還是找最小值間的關系.

例4.⑴已知命題“，使”為真命題，求的取值范圍.

⑵已知命題“，使”為真命題，求的取值范圍.

解析：⑴題的量詞為“”，也就是說，對內任意的，都得滿足條件，即對恒成立

令，，則

原不等式可轉化為求的最大值

又，所以，所以

⑵題的量詞為“”，也就是說，只要在內能找到一個，

滿足條件就可以了，而沒必要對內所有的，都得滿足條件，即只要有一個滿足即可

令，，則

原不等式可轉化為求的最小值

又，所以，所以

四、轉移參數法

有些題型在題目中給出變量的范圍時不是給x的范圍，而是給出參數的范圍，那么我們反而要把參數看作變量把x當作參數.可以簡單這么理解，題目給出的是那個量的范圍，就把這個量當作變量，把要求解的量當作參數.

例5.設函數，若不等式對任意都成立，求實數x的取值范圍.

分析：題目給出的是a的范圍，求的是x的范圍，那么題目就要轉化為以a為變量，以x為參數，求參數x的取值范圍.

解：由題得，所以不等式可化為，即

令，

因為，所以函數在上為增函數

所以，

所以，解得

例6.已知函數在區間上是增函數

⑴求實數a的值組成的集合A

⑵設關于x的方程的兩個非零實根為.試問：是否存在實數m，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由.

分析：題目第⑵題給出的是a及t的范圍，求的是m的范圍，那么題目就要轉化為以a及t為變量，以m為參數，求參數m的取值范圍.

解析：⑴，因為函數在區間上是增函數，所以，即在上恒成立

令，則有，

即，解得，所以

⑵方程可化為，即

又，所以為方程的兩個非零實根，

所以，所以

又，所以

所以不等式對任意及恒成立可轉化為對任意的恒成立，即在上恒成立

令，

？若，則函數在上為增函數，又

所以解得

？若，則函數（不合，舍去）

？若，則函數在上為減函數，又

所以解得

綜上所述

導數含參問題形式多樣，解法靈活多變，解題技巧性較強.在解題的過程中，要根據題目的具體條件，認真觀察題目中的式子結果特征，從不同的角度和方向加以分析探討，從而選擇適當的方法快速而準確地解出問題.當然，除了以上的方法外，還有許多其它的方法，特別要注意的是，各種方法之間并不是彼此孤立的，而是幾種方法的融合.因此，系統地掌握含參問題的解題方法，無疑會對學生今后學習及培養學生分析問題和解決問題等方面有很大的幫助.

參考文獻

[1]李金花.導數解含參問題高考常見題型研究[J].數理化學習（高三）.2014（2）：5

[2]何琴.利用導數相關知識解決函數含參問題的常見題型[J].吉林畫報（教育百家B）.2014（5）：199，253

[3]徐英.導數中含參問題解法淺探[J].考試周刊2015（60）：48-49