解構與建構：優化數學結構教學

秦緒博

摘 要：在數學結構化教學中，解構與建構是兩大支柱。在實踐中，解構與建構既是相互獨立的，又是相互融合的。解構是為了讓學生更深刻地理解數學知識的節點，建構是為了讓學生更深刻地把握數學知識的連線。把握了數學節點和連線，數學結構化教學就能不斷優化，學生的數學素養就能得到不斷地發展和提升。

關鍵詞：認知結構；解構；建構

數學是一門結構性的學科。優化數學知識結構，建構學生認知結構是數學結構化教學的應然追求。華東師范大學李士锜教授認為，數學知識結構可以看成由節點和連線組成的復雜網絡、系統。在數學結構、數學系統之中，節點就是知識元素、對象，表現在學生心理上就是概念表象；連線就是知識關系、聯系，表現在學生心理上就是概念結構。某種意義上，學生數學學習的過程就是知識節點的解構、知識連線的建構過程。

一、解構：深刻理解數學知識的節點

所謂“解構”，是指學生根據學習任務、學習目標，根據自己的認知狀態、情感體驗和行為方式等對數學知識結構中的節點進行深度學習、深度加工的過程。在數學教學中，教師既可以引領學生按照時間對數學知識點、數學概念等進行解構，如分數，學生要先后學習將一個物體、一個計量單位和由許多物體組成的整體進行平均分；也可以引領學生按照空間對數學知識進行解構，如學生認識分數時，要從空間形態上認識分子、分數線和分母等。在解構中，學生要對知識的特征進行主動識別、比較、分類、概括、判斷、推理等多樣態的信息加工。

1. 解構“迷思概念”

解構是建構的基礎，學生數學學習首先就是解構。在學生解構性學習中，首先是對學生迷思概念的解構。所謂“迷思概念”，是指學生在日常學習生活中自然而然形成的錯誤概念。這些迷思概念有的由于學生的認識模糊而產生，有的是因為生活概念的影響等。解構“迷思概念”，就是要引領學生辨析迷思概念、消解迷思概念、轉變迷思概念。如“垂直”概念，學生由于受生活習慣的影響，往往形成“垂直就是豎直”的迷思概念。教學中，教師可以從線段的上方一點讓學生作垂線，然后將線段旋轉。在這個過程中，學生能夠發現，垂線不再是豎直的了，而是跟著旋轉，但兩條直線之間的夾角卻永遠是90°。由此解構學生頭腦中原有的“垂直是豎直”的迷思概念，讓學生形成對“垂直”概念內涵的本質認識。

2. 解構“認知對象”

數學知識是人類“生命·實踐”智慧的結晶，是壓縮形態的。在數學教學中，教師要引領學生對數學知識進行“解壓縮”，展現數學知識誕生過程，這就是對學生數學“認知對象”的解構。如“用字母表示數”，在成人看來是稀松平常的事，但對于兒童來說卻要經歷一次理智跨越——從“算術思維”轉向“準代數思維”。教學中，教師要對知識進行解構：從文辭代數到縮小代數再到符號代數，從用字母表示“確定的數”到用字母表示“不確定的數”，從用字母表示“變量”到用字母表示“常量”，等等。通過對認知對象的解構，學生才能理解“用字母表示數”的過程并不是簡單地用字母代替數，而是對實際問題的抽象化、符號化、普適化的過程。

3. 解構“學習過程”

某種意義上，學生對數學知識的學習過程就是不斷地解構、建構、重構的過程。解構“學習過程”，就是指教師在教學中要不斷變換教與學方式、變換教與學呈現方式等。通過解構學習過程，不斷打破學生形成的固化思維、膠著狀態、認知慣習等。例如教學《乘法分配律》（蘇教版小學數學教材第8冊），教材安排的例題是（a+b）×c=a×c+b×c，而教師的教學決不能止于此。在學生掌握了加法與乘法的分配后，教師還應該呈現減法與乘法的分配如（a-b）×c=a×c-b×c，還應該呈現三個、四個加數與乘法的分配律如（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d，等等。只有通過“變式”，才能對學生形成的認知固著狀態進行不斷解構，從而讓學生保留對數學知識點的本質認識。

瑞士著名教育心理學家皮亞杰認為，學習就是不斷地同化與順應。學生在數學學習過程中，需要經過從“不平衡”到“平衡”再到“不平衡”的過程。當學生現有圖式不能同化新刺激時，認知結構即被破壞，這就是認知的解構，學生的舊知就需要順應新知。從這個視角看，學生的數學學習過程就是不斷地“解構—建構—再解構”的過程。學生的數學學習能力在這個過程中不斷得到深化，學生的數學“核心素養”在這個過程中能夠得到不斷發展和提升。

二、建構：深刻理解數學知識的連線

學生對數學知識的建構主要體現在兩個層面，一是對數學知識點的建構、修補，二是對數學知識結構的建構、完善。數學知識結構的建構，有助于學生深刻理解數學知識間的關聯。往深處說，知識結構是基于學生科學知識點的形成基礎上形成的，同樣，知識點也只有放置于結構之中才能更好地被理解。知識點和知識結構是相輔相成、相得益彰的。

1. 建構“知識體”

數學知識節點總是處于知識連線之中。數學知識節點能否納入數學知識結構之中主要依賴于學生頭腦原有知識點的“可利用性”“可辨別性”和“穩定性”。所謂“可利用性”，是指學生舊知中擁有同化新知的固定點；所謂“可辨別性”，是指學生對新舊知識點的異同點能被辨別；所謂“穩定性”，是指學生認知結構中的原有觀念是穩定的。教學中，教師要充分運用知識點，進行橫向整合與縱向拓展，讓知識點串聯成知識串，并聯成知識面，建構成知識網、知識體。如五年級學習了“因數與倍數”“公因數與公倍數”“最大公因數和最小公倍數”“約分與通分”，六年級學習了“分數加減法與分數乘除法”等知識后，教師要引領學生對這些知識點進行統合。在統合過程中，學生才能對知識點的源頭、根據、指向、流向、作用、關聯等形成深刻洞察，才能厘清知識的發展脈絡。只有建構成“知識體”，單個知識點才能凸顯意義和價值。

2. 建構“認知體”

學生在數學學習過程中，不僅能夠獲得數學知識，而且能夠習得數學思想方法，積淀數學活動經驗。這些思想方法、活動經驗有時具有較強的遷移性、指示性，能夠形成學生良好的“認知結構”。知識結構是客觀的知識存在，認知結構則是學生的心理存在。良好的數學認知結構能夠迅速地吸收新知，能夠靈活地運用知識，能夠產生、創造新知。例如，當學生建構了“平行四邊形的面積推導方法”后，就能積淀剪切、平移的操作活動經驗，就能初步感受轉化的思想方法，就能有意識地將轉化前后的圖形進行比較，等等。這些認知體（包括經驗、思想、意識等）能夠促進學生的數學學習。如學生在推導“三角形的面積”“梯形的面積”“圓的面積”時，教師就可以放手讓學生嘗試、探究。建構“認知體”，需要教會學生記憶基礎知識，指導學生組織學習材料，運用編碼策略進行數學理解等。

3. 建構“學習體”

學生的數學學習不僅依賴于數學知識結構、學生的認知結構，而且與學生的學習結構密切相關。如果說，知識結構是學生數學學習的“原料”、認知結構是學生數學學習的“粘合劑”，那么，學習結構是學生數學學習的“建筑用具”。在學生數學學習中，常見的有邏輯型學習結構、層次型學習結構等。例如，學習《三角形內角和》（蘇教版小學數學四年級下冊），學生就依托邏輯型學習結構展開了這樣的探索：將“三角形的內角和”分類成“直角三角形的內角和”“銳角三角形的內角和”和“鈍角三角形的內角和”分別進行探究；當學生用數學實驗的方法探究出“三角形的內角和”后，有學生就猜想能夠用嚴格證明的方法（演繹法）探究“三角形內角和”；當學生探究出“三角形的內角和”后，就猜想“四邊形的內角和”“五邊形的內角和”“多邊形的內角和”，等等。這些都是學生層次性學習結構的具體體現。良好的學習結構能夠讓學生生發出多元思維的觸角，引發學生的創造性思維。

數學知識結構的整合與學生認知結構的優化都依賴于學生的學習結構。同時，數學知識結構的整合尤其是學生認知結構的形成能夠助推學生學習結構的優化。一個學習結構優良的學生通常能夠舉一反三，學習的嚴謹性較強，學習的抽象度較高。因此，建構學生的數學知識連線是結構化教學的核心。

知識節點和知識連線是相互滲透、相互聯系、相互影響、相互制約的。在數學教學中，教師不僅要關照學生的迷思概念、認知對象以及學習過程解構，更要關注數學知識結構、學生認知結構以及學生學習結構的建構。只有當教師不僅關照了知識節點的優化，更關注了節點與節點之間連線的優化，從而形成最佳結構時，才能發揮數學課堂教學的整體效益。抓住數學課堂的整體結構優化，也就抓住了數學教學的“牛鼻子”。結構化教學能夠實現教與學的統一、想與做的合一，從而引領學生走向優質高效的數學學習。