對“矩形的性質”教學的思考

梅山堂

[摘 要] 從生長數學的角度來看，“矩形的性質”一課生長路徑明顯，筆者通過類比平行四邊形研究的基本套路，引導學生進行矩形的相關研究，在研究矩形的過程中，進一步體會和鞏固了研究幾何圖形的“基本套路”.

[關鍵詞] 矩形性質；生長數學；基本套路；教學思考

2017年底，筆者有幸在蚌埠新城實驗學校舉辦的“聯動教研 分享智慧”教研活動中，與實驗中學的孟婧文老師共同就滬科版數學八年級下冊“19.3.1 矩形的性質”一課進行同課異構展示. 從生長數學的角度來看，矩形一課生長路徑明顯，學生在此之前已經具備了研究平行四邊形的經驗，而本節課的學習將是后面繼續學習菱形、正方形性質的重要前提. 所以，筆者通過類比平行四邊形研究的基本套路，進行矩形圖形研究. 讓學生在研究矩形的過程中，進一步體會和鞏固研究幾何圖形的“基本套路”. 本文擬對本節課探究過程中的部分片段進行回放，并給出解讀與思考，與各位同行研討. 不當之處，歡迎斧正！

片段回放

片段1：情境創設

師：（展示如圖1所示的知識生長樹）回憶三角形和平行四邊形的學習過程，我們是通過怎樣的順序來研究的？學生回答后，師生共同梳理平行四邊形的研究過程. （定義-性質-判定-應用）

師：如果今天這節課，我們繼續針對平行四邊形深入研究下去，會研究它的什么內容呢？

生1：平行四邊形中的特例.

師：如何增加一個條件，使一個一般的平行四邊形成為特殊的平行四邊形呢？

生2：可以增加其中4個角為直角.

師：一定要4個角都是直角嗎？這個限制條件能不能再精簡呢？

生2：可以讓鄰角相等.

師：能再少嗎？

生3：我認為有一個角是直角就夠了.

師：為什么？能簡單說說你的思考嗎？

生3：平行四邊形對角相等，鄰角互補，有一個角是直角，其他三個角都是直角.

師：說得非常好！那還可以用其他方式增加條件，使一個一般的平行四邊形成為特殊的平行四邊形嗎？

生4：可以讓四條邊相等.

師：一定要四邊相等嗎？能再精簡嗎？

生5：我認為鄰邊相等就可以了.

師：為什么呢？請說說你的理由.

生5：因為平行四邊形對邊相等，只要鄰邊相等，那么四邊就是相等的.

師：同學們思考問題都非常全面！剛才我們從角的角度增加了“有一個角是直角”這一條件，呈現了特殊的平行四邊形；然后，我們又從邊的角度增加了“鄰邊相等”這一條件呈現了特殊的平行四邊形. 今天這節課，我們先來研究增加“一個角是直角”這種特殊情況.

師：（實物模型演示）請同學們看我手中的平行四邊形模型，我們觀察左下角這個內角，在拉動它的過程中，平行四邊形中的哪些量發生了變化？哪些量沒有變？

生6：邊長沒變，周長沒變.

師：還有嗎？

生7：內角和沒變，外角和也沒變.

師：哪些改變了呢？

生6：4個內角都變了.

生8：面積也變了.

生9：兩條對角線的長度改變了.

生10：鄰邊的位置關系改變了.

……

師：同學們的觀察能力很強，總結得也很全面！

片段2：矩形的定義和性質探究過程

師：你認為我們會對“矩形”按著什么順序展開研究呢？

生眾：定義-性質-判定-應用.

師：矩形可能在哪些方面具有特殊性質呢？

生11：邊、角、對角線.

師：你為什么這樣認為？

生11：因為平行四邊形邊、角、對角線有特殊性，矩形應該也是.

師：嗯！有道理！那么你打算如何研究矩形的性質呢？

生11：可以類比平行四邊形.

師：請你說得再具體一點.

生11：就像學習平行四邊形那樣，我們可以先畫圖，然后觀察圖形，猜測邊、角、對角線可能存在的關系，先用測量工具初步測量，最后用幾何證明驗證.

師：剛才這位同學說得非常好！我們研究幾何圖形的性質一般都是按照“觀察-猜想-驗證”這個順序展開的. 現在請同學們就按著這個思路探究矩形的性質.

片段3：小結環節

師：同學們，這節課我們是通過怎樣的方式進行學習的？

生12：我們是通過類比三角形、平行四邊形學習經驗來進行本節課教學的.

師：具體說一說，我們是如何類比的？

生12：我們根據三角形和平行四邊形的學習經驗知道平行四邊形分別從“角”和“邊”增加條件形成了兩種特殊的平行四邊形，確定了本節課的研究對象；然后我們又類比了平行四邊形的性質內容，大致猜測了矩形的性質；類比了平行四邊形的性質探究過程，確定了矩形性質探究的方法.

師：同學們總結得非常好！如果繼續研究下去，你覺得接下來我們將研究什么？

生13：矩形的判定和應用.

師：那么，你猜測矩形的判定可以如何展開研究呢？

生13：類比平行四邊形，寫出矩形性質的逆命題，驗證命題，形成定理.

生14：我覺得也可以從定義考慮，先證平行四邊形再證有一個角是直角.

……

師：大家說的都有一定的道理，欲知后事，我們下節課見分曉！

矩形一課在本章中的教育教學價值

本節課的教學內容為矩形第一課時，研究的是矩形的概念和相關性質. 根據新課標的要求，矩形的性質不能只停留在知識教學上，而是要通過經歷探索圖形基本性質的過程，把發展學生的基本推理技能放在首要位置. 本節課教學前，學生已經學習了三角形、四邊形、平行四邊形，積累了一定的幾何圖形學習的經驗，特別是在學習平行四邊形時已經體會過一般到特殊的數學方法，也具有類比學習的經驗. 本節課的內容既是前面所學平行四邊形性質的運用，也是后面繼續學習菱形、正方形性質的重要前提，為學習其他特殊平行四邊形提供了相應的研究方法和學習策略，因此，在教材中起著承上啟下的重要作用. 學生通過對已學平行四邊形的特殊變化，類比一般的平行四邊形自主抽象、探索得出矩形的定義和性質，矩形這節課的教學，不僅沿用了這個“基本套路”，還固化了“基本套路”. 如果說，在類比三角形研究過程展開四邊形、平行四邊形學習時，研究幾何圖形的“基本套路”生成了，那么在矩形這一課中這個“基本套路”更是生長了. 我們可以預測，在接下來菱形、正方形的學習中，這個“基本套路”的內涵會更加深刻與豐富.

對“矩形”教學相關問題的思考

1. 傳承知識生長方式，注重“基本套路”教學

在本章教學時，筆者有意滲透類比思想，進行“基本套路”教學. 比如，在四邊形的概念、要素、性質教學時，從類比三角形展開，從一般四邊形到特殊四邊形（平行四邊形）的過渡，類比了一般三角形到特殊三角形（等腰三角形、直角三角形），教學四邊形時，反復回憶三角形研究過程，形成幾何圖形研究的“基本套路”. 知識、方法自然生長，學生對于幾何圖形的研究方向已經很明確：定義-性質-判定-應用，如果繼續研究下去，就是“一般到特殊”的深入研究，也就是探討圖形的特例. 在有了三角形和平行四邊形的學習經驗后，本節課矩形內容的教學環節自然流暢，水到渠成. 像這樣，以類比思想作為知識生長的原動力，課前展示的那棵生長樹，自然生長，枝繁葉茂，知識體系生機勃勃.

2. 類比矩形學菱形，自主探究辨異同

文章前面已經提到，矩形一課的教學為后面繼續學習菱形、正方形性質埋下了伏筆，為學習其他特殊平行四邊形提供了相應的研究方法和學習策略. 以菱形的性質教學為例，學生在片段1中已經初步感受到矩形性質的特殊之處是由于強化了平行四邊形中一個內角條件，進而產生了牽一發而動全身的連帶效應，引發了該平行四邊形的鄰邊位置變化、對角線長短變化、形狀變化等. 類比矩形，菱形性質的特殊之處也應該是強化了鄰邊條件產生，因此菱形必然會有相應的特殊性質，兩者研究套路相同，但兩個特殊的平行四邊形，同中有異. 所以在學習菱形性質的過程中，既要類比矩形，也要對比矩形. 類比矩形，自然生長：研究路徑相同，學生在菱形性質學習時會感覺輕車熟路；對比矩形，深化認識：體會到矩形和菱形作為平行四邊形兩個特例的特殊之處. 這樣對比著學習有利于學生辨析兩個特例圖形各自的性質特征.

3. 動態展示一般到特殊，發展學生辯證思維

平行四邊形到矩形的變化過程是一般到特殊的過程. 在動態展示這一變化的過程中，讓學生感受并探究圖形性質，既加深了學生對平行四邊形性質的理解，體會何為形變質不變；又啟發了學生對矩形性質的探究，形變質也變. 所以在教學矩形內容時，筆者注重引導學生觀察動態變化的過程中，哪些性質保持不變，哪些性質發生了變化，這些發生改變的性質又是以怎樣的規律在變化. 在此變化過程中，感受量變引起質變的哲學思想，豐富和完善學生的世界觀，注重發揮數學學科育人的作用，培養和發展學生的核心素養.