旋轉坐標系下分區計算的LU隱式方法

肖中云，劉剛，牟斌，江雄

中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所，綿陽 621000

當前CFD并行計算大多采用區域分解的并行算法，將計算域按照負載平衡原則分配給不同進程，每個進程分別采用時間推進方法進行迭代求解，并通過進程間消息傳遞交換流場數據。這種方法由于信息交換量小、負載平衡性好而得到廣泛使用。嚴格地說，隱式時間迭代算法由于在分區邊界存在依賴關系并不能直接用于并行，通常這種影響量很小而被忽略。但是這樣的簡化在旋翼計算中卻碰到了收斂性變差的問題，甚至導致一些非物理的計算結果。出現這樣的問題與旋翼流動特點有關，旋翼以旋轉運動為主，在懸停和低速前飛狀態下，旋翼尾跡旋繞槳盤附近，向遠場的發展過程緩慢。由于流動的這種特性，數值計算誤差容易被積累，導致收斂性變差[1-3]。隨著并行計算規模的增長，旋翼CFD計算對算法的可擴展性提出了很高要求，這就需要發展考慮分區邊界影響的隱式時間迭代格式，對忽略邊界影響的處理方法進行重新評估，目的是使大規模并行計算不會因為進程數增加導致收斂性變差或者失效，同時計算結果不受進程數目的影響。

文獻[4-5]對計算流體力學的并行計算技術進行了綜述，指出顯式格式是內在并行的而且并行網格劃分不影響其數值特性，保持串、并行計算過程一致。常見隱式格式中雅克比松弛是內在并行的，高斯-賽德爾松弛與其他線松弛格式由于網格點相互依賴，非內在并行，但通常有更好的收斂性。由于這類方法的并行求解比較困難，實際計算中通常采取“局部隱”的方法，即對計算區域進行分塊，對每塊獨立進行隱式求解，塊邊界值由相鄰塊前一時刻的值來確定。

基于LU分解的對稱高斯-賽德爾(LU-SGS)迭代是一種典型的隱式時間迭代算法[6-7]。Wissink等[8]最早提出了原始LU-SGS時間迭代方法在分區邊界會產生誤差，尤其在并行規模較分區邊界較多時誤差得到放大；提出了基于雅克比迭代的數據并行LU松弛算法(DP-LUR)，同時將LU-SGS與DP-LUR進行結合構造了混合LU-SGS方法(HLU-SGS)，提高了收斂效率。Luo等[9]在對HLU-SGS方法進行研究以后，認為當網格塊數較多時，混合方法具有優勢，當并行規模較小時邊界數據傳遞不會對結果帶來影響，由于LU-SGS具有較高的迭代效率，在計算中直接采用了LU-SGS方法進行并行計算。Otero和Eliasson[10]將LU-SGS直接應用于并行計算，采用多次迭代的方法，在每一次前向掃描和后向掃描完成后分別進行一次消息傳遞接口(MPI)交換信息，更新邊界單元的ΔQ值。文中稱這種方法為混沌更新，利用多次迭代消除未按順序更新帶來的誤差。

目前在旋翼計算中隱式時間迭代方法得到了廣泛應用，但是關于分區邊界影響的研究較少。文獻[11]在非慣性旋轉坐標系下對旋翼懸停狀態進行了模擬，時間離散采用的LU-SGS隱式迭代方法，在兩次掃描過程中，虛擬單元上的值直接賦零。文獻[12-13]在慣性系下對旋翼前飛狀態進行并行計算，時間推進采用隱式LU-SGS格式，但對并行計算的邊界如何處理沒有進行特別說明。針對旋翼并行計算中隱式時間迭代方面的潛在問題，本文在同一框架下發展了LU-SGS、DP-LUR和HLU-SGS計算方法，分析了原始LU-SGS方法在并行計算中產生誤差的行為及原因，通過在旋轉坐標系下靜止場計算驗證了算法的有效性。在此基礎上，采用分區并行計算、多重網格方法等先進算法對旋翼的懸停流場進行模擬，獲得了較高的并行效率和流場計算精度，進一步驗證了本文方法對于大規模分區計算的適用性。相關方法可以進一步推廣到其他流動問題的旋轉坐標系計算。

1 數值計算方法

1.1 LU-SGS時間隱式迭代格式

Navier-Stokes方程經過隱式時間離散后的形式為[6]

(1)

式中：Q為守恒型流場變量；R為Navier-Stokes方程右端項；V為單元控制體體積；Δt為時間步長；下標i為單元編號；上標n為當前時間步。為了得到左端的雅克比矩陣，通量函數采用最大特征值分裂，即

λij(Qj-Qi))sij

式中：F為通矢量；j為單元i的相鄰單元；sij為交界面面積；nij為單位法向矢量；λij為通量雅可比矩陣的譜半徑，λij=|vij·nij|+cij。

將左端雅克比矩陣分解為上三角矩陣U、下三角矩陣L和對角陣D這3個部分，得到

(2)

式中：

其中：N(i)為單元i的相鄰單元；L(i)為左相鄰單元；U(i)為右相鄰側單元；由于控制體封閉[14]，單元i滿足：

得到

同時用到

LU-SGS算法首先對式(2)進行近似分解，然后采用高斯-賽德爾迭代求解線性代數方程，即

(D+L)D-1(D+U)ΔQ=R

1) L掃描

(D+L)ΔQ*=R

2) U掃描

(D+U)ΔQ=DΔQ*

式中：ΔQ*為L掃描后得到的流場變量值；ΔQn+1為U掃描后得到的流場變量值。MPI并行計算采用域分解的算法，高斯-賽德爾迭代在域邊界位置會碰到相鄰點流場值無法及時更新的問題。圖1 給出的是二維網格LU-SGS迭代的L掃描示意圖。當掃描到邊界單元時，位于其左側或下側相鄰單元的當前時刻值(ΔQ*)不可用，通常只能進行簡化處理，如假設ΔQ*=0，這種簡化帶來的誤差在特定情況下可能放大，引起計算不穩定或者發散。在并行計算分區數很大時，對邊界的處理方式要謹慎對待。

圖1 LU-SGS格式L掃描示意圖Fig.1 Diagram of lower sweep in LU-SGS scheme

1.2 基于LU分解的時間迭代并行計算方法

由1.1節可見，高斯-賽德爾迭代方法在并行分區邊界會碰到問題，無法做到與串行計算結果一致。而在本質上，DP-LUR方法將離散方程式(2) 的非對角項移到方程的右邊，用Jacobian迭代代替對稱Gauss-Seidel迭代。這樣DP-LUR方法對當前時間層的流場值沒有依賴，保證了計算域內部單元和邊界單元采用完全相同的計算格式推進。DP-LUR算法的收斂效率低于LU-SGS算法，通常將迭代次數取為5步甚至更多。

ΔQ0=D-1R

Dok=1,2,…,ksweep

ΔQk=D-1[R-(U+L)ΔQk-1]

End Do

ΔQn+1=ΔQksweep

為了同時利用LU-SGS迭代的高效率和DP-LUR在邊界處理上的優點，文獻[8]發展了兩者相混合的方法(HLU-SGS)，即在塊邊界單元采用Jacobian迭代格式，計算邊界單元的ΔQ，隨后對所有采用LU-SGS方法進行計算，對于塊內部單元來說，算法等同于LU-SGS方法；對于塊邊界單元來說，相鄰單元的ΔQ為已知的當前時刻的值。在極限情況下，當所有單元都是邊界單元的情況時，該計算格式退化為點隱式的Jacobian迭代方法。HLU-SGS的算法為

ΔQ0=D-1R

Dok=1,2,…,ksweep

邊界信息交換ΔQ*(k)=ΔQ(k-1)

采用Gauss-Seidel方法計算ΔQ(k)

End Do

ΔQn+1=ΔQ(ksweep)

圖2給出的是多塊結構網格的計算流程圖，其中MGCycle表示多重網格循環，BLK表示網格塊號，P1、P2、PM表示進程編號。可以看到每進行一次時間步迭代，各進程間只進行一次通信，交換網格邊界的的流場信息。在每個計算進程內，各網格塊之間相對獨立，為了節省內存開銷，大部分工作變量都定義在當前網格塊上，包括流場變量、網格度量系數、右端項殘差等，在完成當前塊計算以后，這些數據被下一網格塊取代。

并行隱式時間迭代算法的流程圖如圖3所示，從圖中可以看到，各網格塊之間的計算相互耦合，比如在每次進行時間迭代時，需要對所有網格塊進行掃描，并進行進程間通信，交換網格邊界流場解ΔQ信息。顯然，在上述需求下，原來的基于單塊的數組存取方式不再適合。本文的改進方式如下：取消基于單塊網格的數組變量，用一維數組存放當前進程下所有網格的流場變量；開辟全局數組存放網格的幾何度量系數信息，這些信息在右端項計算和時間迭代計算中將要用到；開辟全局數組存放右端項殘差，該信息在DP-LUR迭代和LU-SGS 迭代中將分別用到。在經過上述改進以后，在同一計算框架下，既可以完成原有的LU-SGS迭代計算，也可以進行多次內迭代的DP-LUR計算，還可以進行DP-LUR和LU-SGS的混合計算。

圖2 網格分區并行計算的原有流程Fig.2 Original flow chart of grid partitioned parallel computation

圖3 網格分區并行計算的改進流程Fig.3 Improved flow chart of grid partitioned parallel computation

1.3 并行程序設計

并行網格分配采用貪婪優化算法，其核心思想是：將當前最重的任務，分配給當前負載最小的進程[15]。當原始網格分布不滿足分配要求時，需要對網格塊進行剖分，根據貪婪算法的設計思想，在找到當前最需要網格的進程和當前最大網格塊之后，如果網格塊單元數小于或剛好等于要求的網格單元數時，則直接將該網格塊放到該進程。但更多時候是，當前網格塊單元數大于所需的網格單元數，就需要對當前網格塊進行拆分。采取的拆分策略是：當網格塊的剖分位置位于維數25%～75%之間時，對網格進行按需剖分并分配；當剖分位置不在25%～75%范圍內時，對網格塊進行中位剖分，剖分后不分配，繼續查找當前最大網格塊進行下一步操作。負載平衡與邊界單元數最少是結構網格剖分的一對矛盾，為了使網格塊不被分得過于零碎，同時也減少分區邊界數，要犧牲一些負載平衡要求，一般將負載不平衡度控制在5%～7%以內可以取得較好的剖分結果。并行網格分配的另一項重要任務是建立分區邊界的映射關系，確定出發送/接收次數，以及每次發送/接收的對方進程號、字段長度、相對應的網格單元編號等信息。

圖4 MPI并行的編程模型Fig.4 Model for MPI parallel programming

并行程序設計采用對等模式，如圖4所示，每個進程地位相同，代碼和功能基本一致，只不過是處理的數據對象不同。由于邊界點新值的計算需要相鄰邊界其他塊的數據，因此在每一個數據塊的兩側各增加1列數據空間，用于存放從相鄰數據塊通信得到的數據，進程之間通過MPI發送與接收函數進行消息傳遞。

為了適應多重網格計算，網格單元按照原始網格、第2重網格、第3重網格等的順序進行排序，并存儲在一維數組當中，每一重網格計算分別是對數組中的某一段進行操作。假設當前進程的原始網格單元為N，那么多重網格的次密層單元數為N/8，第3重為N/64，以此類推。對任意網格點來說，由多重網格層數、網格塊號、3個方向的指標號(i,j,k)可以確定出唯一指標號，即在一維數組中的存放位置。假設任意流場變量A，在進行多重網格計算時，每一重網格上的數據分別為

第1重網格：A(1:N)

第2重網格：A(N+1:N+N/8)

……

上述數據存儲結構中只考慮了計算單元，沒有考慮虛擬邊界單元。當計算每一個具體的網格塊時，另開辟專門的邊界數組進行存儲虛擬單元的流場變量值。如圖5所示，“i”方向的邊界數組可以表示為“Boundi(1:2,jdim,kdim)”，其中“1，2”分別代表左邊界的兩排虛擬單元，“3,4”代表右邊界的兩排虛擬單元，jdim和kdim表示邊界面j和k方向上的網格維數。

圖5 網格塊與虛擬邊界單元Fig.5 Grid block and virtual boundary cell

2 計算結果與分析

2.1 旋轉網格算例測試

根據動網格計算對“均勻流保持特性”的要求[16]，設計了如下算例，即取靜止流場中的一塊網格，采用動網格方法對流場進行模擬，無論網格做何種運動，最終得到的結果都應該是保持靜止初場不變。如圖6所示，取計算域為周向角等于36°的一塊扇形網格，假設參考長度(旋翼展長)為R，網格的周向遠場邊界為4R。采用靜止流場作為初場，經過任意長時間的計算后，流場應保持初場不變，即流場狀態變量與環境變量相等，用密度或其他變量表示的流場殘值應該保持為機器零值。

計算在旋轉坐標系下進行，旋翼槳尖馬赫數Matip=0.352。由于計算域為沒有旋翼的空流場，遠場為靜止大氣，邊界條件采用無反射黎曼邊界條件，采用靜止流場作為初場，空間離散采用Roe通量差分格式，庫朗數(CFL數)取為20。首先對單塊網格的串行計算進行了測試，結果表明，在當前參數設置下計算可以順利進行，密度殘差一直保持在機器零值(實數用雙精度表示，機器零值約為10-16)。

并行計算采用8個分區，網格劃分方式分為兩種，一種是沿展向劃分，一種是沿周向劃分(見圖6)。為了考察分區邊界對數值計算的影響，分別對3種時間離散方法進行了對比，一種是LU-SGS 方法，每個時間步分別進行一次L掃描和U掃描；一種是DP-LUR方法，該方法由于迭代效率較低，在每個時間步的內迭代步數為8步；一種是HLU-SGS方法，該方法結合了LU-SGS和DP-LUR方法，每個時間步進行2次DP-LUR迭代和1次LU-SGS迭代。需要進一步指出的是，由于DP-LUR方法采用雅克比內迭代，文獻[8]認為5次內迭代可以獲得與高斯-賽德爾迭代類似的收斂速度，本文測試結果表明，DP-LUR方法采用8次內迭代，HLU-SGS方法采用2次DP-LUR迭代和1次LU-SGS迭代可以獲得很高穩定性，使周向邊界取20倍旋翼半徑、CFL=10 000情況下保持計算穩定。綜合上述因素，建議DP-LUR方法內迭代次數選取為5～8次，HLU-SGS方法的DP-LUR內迭代次數為1～2次。

圖6 展向和周向網格剖分示意圖Fig.6 Schematics of spanwise and circumferential grid partitions

圖7給出的是2種剖分網格、3種隱式時間迭代方法得到的殘差變化曲線，其中殘差用密度的L2模表示，Span8表示展向分為8個分區，Circum8表示周向分為8個分區。從圖中可以看到，對于DP-LUR格式而言，無論網格是周向剖分還是展向剖分，密度殘差一直保持為機器零值，即網格運動沒有引起流場發生變化，流場保持為靜止初場。對于LU-SGS格式來說，展向剖分網格對應的流場隨迭代步數不變，但是對于周向剖分網格，隨迭代步數密度殘差增大，流場不再是理論上的靜止流場。為什么是周向劃分網格導致計算發散呢？對于當前旋轉運動網格來說，周向剖分網格的邊界方向與旋轉方向相同，邊界面上的逆變速度(流體相對于網格坐標的速度)大，也就意味著面上的流通量大。當LU-SGS格式用于上述網格的并行計算時，由于其在邊界上的簡化處理，方程中起主導作用的物理量被丟掉，導致了誤差放大和計算發散。相對而言，HLU-SGS和DP-LUR格式在時間迭代中增加了邊界上的信息交換，對兩種剖分網格的計算都得到了收斂結果。

圖7 3種格式、2種網格下的殘差歷程(CFL=20)Fig.7 Residual histories of three operators applied to two grids (CFL=20)

針對圖7中的發散算例(對應周向剖分網格)，圖8為采用不同CFL數計算得到的殘差曲線。從圖中可以看到，在迭代2 000步前提下，LU-SGS格式CFL=20對應的密度殘差發散最快，CFL=10對應的曲線次之，CFL=5對應的曲線在計算時間內仍一直保持收斂狀態，后續計算會不會發散未知。由此可見，這種由計算格式帶入的誤差十分危險，可能是以一種不易察覺的方式使計算結果受到污染。對于HLU-SGS格式來說，每個時間步采用2次DP-LUR迭代和1次LU-SGS迭代的組合方式使計算格式非常魯棒，在CFL=10 000情況下計算仍保持收斂。

從前面分析可以看到，造成計算不穩定的原因來自于網格分區邊界的運動速度，在旋轉坐標系下該最大速度取決于轉速和遠場邊界的大小。下面測試保持旋轉速度不變，將遠場邊界與旋轉中心距離b從4R分別增大到10R和20R，對應周向網格運動速度為1.41、3.52和7.04倍聲速。圖9給出的是不同計算域大小對收斂性的影響，其中時間推進為HLU-SGS格式，CFL=10 000。從圖中可以看到，在遠場邊界不斷增大的情況下，HLU-SGS計算格式都達到了收斂狀態，顯示了良好的計算穩定性；另外隨著遠場邊界的增加，殘差量級增大，在遠場邊界為20R時殘差只能收斂到10-14量級，說明旋轉坐標系計算遠場邊界不宜取過大。

圖8 CFL數對殘差曲線的影響Fig.8 Effects of CFL number on residual histories

圖9 計算域對殘差曲線的影響(HLU-SGS)Fig.9 Effects of computational domain on residual histories (HLU-SGS)

2.2 Caradonna-Tung標模旋翼計算

為了測試當前的計算方法，選擇標準模型Caradonna-Tung旋翼[17]進行了懸停狀態計算。該旋翼包括兩片等弦長無扭轉的槳葉，翼剖面形狀為NACA-0012翼型，槳盤半徑為1.143 m，槳葉展弦比為6。模擬狀態槳尖馬赫數Matip=0.44，總距θc=8°。網格采用重疊網格方法，包括槳葉網格和背景網格，背景網格又分別生成了稀/密程度不同的兩套網格，其中稀網格3個方向的維數為109×119×165(對應徑向、周向和法向)，槳尖區域的最小網格間距為0.05倍弦長，網格單元數約200萬；密網格3個方向的網格維數為305×177×969(對應徑向、周向和法向)，如圖10所示，將槳葉展向0.65R～1.1R范圍并且槳葉下方區域作為槳尖渦模擬區對網格進行均勻加密，網格間距為0.02倍弦長，網格單元數超過5千萬。計算采用256個分區的并行計算，為了達到負載平衡要求，網格經過了多次剖分，剖分后的稀網格為452塊，密網格為448塊，圖10顯示了背景網格在經過網格剖分后產生的分區邊界。

圖10 稀/密網格的并行分區Fig.10 Grid partitions of coarse and fine grids

計算參考系為原點位于旋翼中心的旋轉坐標系，只需模擬單片槳葉，周向采用周期性邊界條件，遠場邊界采用懸停源/匯邊界條件[18-19]。流動假設為全湍流，湍流模型為兩方程k-ω剪切應力輸運(SST)模型，空間離散采用Roe通量差分格式。時間迭代分別采用了原始LU-SGS方法、數據并行的DP-LUR方法與混合方法HLU-SGS，其中DP-LUR方法每個時間步進行6次內迭代，HLU-SGS方法每個時間步進行1次DP-LUR迭代和1次LU-SGS迭代。前面提到原始LU-SGS方法有計算不穩定的情況發生，為了對比3種計算方法，這里選擇采用較小計算域和低CFL數方法，使3種隱式格式都能夠正常計算，具體為背景網格的周向邊界距離旋翼軸3倍旋翼半徑，CFL=20。此外，為了加速收斂，計算還采用了V循環的多重網格方法和低速預處理方法，計算目標是使流場達到充分收斂。

流場收斂性研究與格式比較在稀網格上進行，為了充分讓流場收斂，總迭代步數達到10萬步。圖11給出的是拉力系數CT/σ隨迭代步數的變化，其中CT表示用槳盤面積無量綱化的拉力系數，σ表示旋翼實度，可以看到3種隱式算法中DP-LUR收斂最快，其他兩種方法相當，HLU-SGS略快于LU-SGS方法。由于DP-LUR方法在一個時間步內進行了6次迭代，其收斂快是可以預料的，HLU-SGS方法在一個時間步數內進行了1次DP-LUR迭代和1次LU-SGS迭代，收斂略快于原有的LU-SGS方法。

由于3種方法每個時間步的計算時間不同，為了比較各自的收斂速度，圖12給出了拉力系數CT/σ隨時間的變化曲線，可以看到原始的LU-SGS方法收斂速度最快，DP-LUR方法收斂速度最慢，盡管HLU-SGS方法相對原始LU-SGS方法計算量有增加，這是邊界隱式計算所付出的代價，但是相對DP-LUR方法計算效率有了明顯提高。

圖11 拉力系數隨迭代步數的變化Fig.11 Variations of thrust coefficient with iterations

圖12 拉力系數隨時間的變化Fig.12 Variations of thrust coefficient with time

圖13給出的是并行計算的加速比和并行效率統計，在高性能計算機系統上完成計算，每個計算節點采用Intel Xeon處理器(64核，256 G共享內存)，結點之間采用無限帶寬技術(Infiniband)高速互連。測試算例為密網格算例(網格單元數約5千萬)，在同樣計算條件下分別采用了1～512核進行了計算，由于所測得的數據有一定的散布，圖中除了給出每個算例的測試結果外，還用曲線進行了擬合。從圖中可以看到，在測試范圍內，隨并行規模的擴大，加速比單調增大，但并行效率呈下降趨勢。以128核并行計算為例，加速比約為94.5倍，并行效率約為74%。由于本文采用了并行隱式時間迭代方法，相對原始LU-SGS方法，在每個時間步增加了一次信息交換(傳遞ΔQ值)，通信需求的增加使并行效率有一定下降。

圖13 并行計算的加速比與效率Fig.13 Speedup ratio and efficiency of parallel computations

圖17給出了稀/密兩套網格的截面流線和下洗速度云圖比較，可以看到兩套網格得到的下洗場分布比較一致，最大下洗速度約為15 m/s。不同之處是密網格刻畫了更多的流動細節，包括旋翼尾跡中槳尖渦的分布，以及由于槳尖渦的存在使局部流線發生卷曲等。另外，值得注意的是，密網格計算得到的第一個槳尖渦的強度大于稀網格，旋渦引起的局部上洗速度大于15 m/s，由于旋渦位置靠近槳葉，將對槳葉氣動性能的預測產生影響。

圖14 拉力與扭矩系數的收斂曲線Fig.14 Convergence histories of thrust and torque coefficients

圖15 Q值等值面Fig.15 Iso-surface of Q value

圖16 稀/密網格的渦量云圖比較Fig.16 Comparison of vorticity contour of coarse and fine grids

圖17 截面流線和下洗速度云圖Fig.17 Surface streamlines and down wash velocity contour

圖18給出的是槳尖渦運動軌跡的計算值與試驗值比較。從圖中可以看到，密網格模擬的槳尖渦下降軌跡與試驗值吻合一致，稀網格則過高估計了槳尖渦下降速度；從槳尖渦向內收縮來看，計算與Caradonna和Tung的試驗值[17]存在較大差異。原因分析如下，本文計算只模擬了旋翼槳葉，不包括槳轂和旋翼軸；試驗數據取自1981年Caradonna和Tung的試驗，試驗裝置不僅有旋翼軸，還有測壓管線沿旋翼軸引出，使旋翼軸體偏大，目測半徑有5%～10%倍旋翼半徑，中心軸體部分會影響槳尖渦向內收縮的偏移量，定性地說中心軸體增大，槳尖渦向內收縮量減小。圖18同時參考了Kocurek的尾跡模型數據[17]，與本文計算結果比較一致，一定程度上驗證了本文計算。總的來說，當前密網格計算獲得了旋翼懸停流場的主要流動特征，在旋翼氣動性能預測上更有優勢，通過采用適用于分區計算的LU隱式方法改進以后，稀網格和密網格都獲得了充分收斂流場，進一步驗證了本文的并行分區算法。

圖18 槳尖渦的運動軌跡Fig.18 Trajectories of blade tip vortex motion

3 結 論

本文采用3種基于LU分解的隱式時間迭代算法，基于網格分區和基于MPI的并行方法，在旋轉坐標系下對單獨旋轉網格、旋翼的懸停狀態進行了數值模擬，研究了不同時間迭代格式對旋翼計算收斂性的影響。

1) LU-SGS隱式時間迭代方法由于在分區邊界缺少相鄰單元的流場信息，理論上如果直接應用于并行計算會在邊界上帶來誤差，一般認為這種誤差量很小、對結果沒有顯著影響。本文通過旋轉網格算例證明，將LU-SGS方法應用于旋轉網格并行計算時，當分區邊界與旋轉方向同向時，時間離散產生的誤差會起主導作用并不斷積累放大，使計算結果受到污染，并導致計算發散。

2) DP-LUR方法用雅克比迭代代替高斯-賽德爾迭代算法，避免了分區邊界的迭代誤差問題，能消除并行剖分對計算的影響，不足之處是每步時間推進需要進行多次迭代，計算效率低于LU-SGS方法。HLU-SGS方法是DP-LUR與LU-SGS兩種方法的結合，能有效消除分區邊界的影響，同時獲得較高的計算效率，是一種適用于并行的隱式時間推進方法。算例表明該方法能很好適用于旋轉坐標系下的旋翼計算，能夠獲得氣動力與尾跡流場都充分收斂的計算結果。

3) 本文討論的隱式時間迭代方法適用于所用旋轉坐標系計算，解決了結構網格多塊分區和并行計算分區的問題，適合于計算域較大和網格整體旋轉的情況。除旋翼懸停計算以外，該方法還可以推廣到飛機的繞速度矢滾轉、螺旋槳、風力機等其他旋轉類流場的數值計算。