帶空間協同的多導彈時間協同制導律

呂騰，呂躍勇，李傳江，郭延寧

哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001

隨著反導技術的快速發展，面對敵方目標配備的密集導彈防御系統，單一導彈突防變得愈發困難，而多導彈協同作戰借助通信系統將多枚導彈構成一個作戰網絡，通過信息共享實現配合與協作，共同完成打擊任務，這極大提高了導彈的突防概率[1-3]。作為多導彈協同作戰的關鍵技術之一，多導彈的協同制導技術具有重要的實用價值，特別是在時間協同、空間協同和有限時間內協同這3個方面具有重要的研究意義。

時間協同通常指的是多導彈通過彈間通信，相互協調各自相對目標的距離和速度，以使得各枚導彈到目標的打擊時刻趨于一致。時間協同可以實現多導彈對目標的飽和攻擊，有利于導彈突破敵方密集反導系統，提高導彈作戰效能。目前，時間協同制導律的國內外研究成果較多，但基本未同時考慮空間協同問題。傳統的帶視線角約束的時間協同制導律[4-8]雖然可使多導彈從期望的視線方向同時擊中目標，但它的視線角約束項是針對各枚導彈單獨進行設計的，無法進行空間協同，且還需要在導彈發射前為各枚導彈設定合理的期望視線角。

空間協同通常指的是多導彈通過彈間通信，相互協調各自到目標的視線，從而使得多導彈從期望的視線相對方向對目標進行打擊。現有的大多數協同制導方法是關于時間協同的研究成果，但多導彈的協同攻擊策略絕不僅僅局限于時間上的協同，還可以在空間上實現協同以提高攻擊效率[1]?？臻g協同的研究意義在于：① 使彈群能夠散開飛行，避免多導彈的相互碰撞；② 可使得多導彈從多個方向進行攻擊，從而分散目標近程防御武器系統的火力；③ 可使得多導彈對目標進行協同探測，進而提高探測精度；④ 相比于傳統的帶視線角約束的制導律，帶空間協同的制導律所需的總控制能量更小[9-10]。綜上所述，空間協同可以顯著增強導彈的突防能力，提高導彈的命中概率和作戰效能。目前，國內外針對空間協同的制導律研究成果較少。文獻[9-10]針對平面內的目標基于最優控制設計了一種制導律，雖然可以實現空間協同，但其不是在有限時間內實現的，且未考慮時間協同問題。

導彈的打擊時刻需要在擊中目標前達到一致，相對視線角也需要在擊中目標前收斂到期望值。由于有限時間制導律具有響應速度快和魯棒性強的優點，因而需要設計有限時間內協同的制導律，以保證上述兩個性能指標得以實現。傳統的時間協同制導律往往只能使得多導彈的打擊時刻漸近而非有限時間內達到一致[5-6,11-12]，有限時間內的時間協同制導律國內外研究成果比較有限[7-8,13-14]，而有限時間內的空間協同制導律研究成果則更少。文獻[7]在視線方向基于有限時間理論設計了一種時間協同制導律。文獻[8]在視線方向基于二階多智能體有限時間協同控制理論設計了一種時間協同制導律。文獻[13]基于時變比例導引法提出了一種時間協同制導律。文獻[14]基于一階多智能體協同控制理論提出了一種時間協同制導律。文獻[7-8,13-14]雖能實現打擊時刻有限時間達到一致，但未考慮空間協同問題。

由于同時考慮上述3個方面的協同制導問題具有重要的研究價值，而目前國內外學者的相關研究成果相對較少，受文獻[1-22]啟發，本文對其進行研究。首先，在視線方向設計了分布式時間協同制導律，可在有限時間內使多導彈打擊時刻達到一致，并給出了相應的穩定性證明。然后，在視線法向設計了分布式空間協同制導律，可在有限時間內使多導彈的相對視線角收斂于期望值，并給出了相應的穩定性證明。最后，通過仿真驗證了所設計的協同制導律可使多導彈從期望的視線相對方向同時擊中目標。

現對本文所提方法的主要創新之處進行概述。首先，與文獻[4-14]相比，本文所提方法同時考慮了上述空間協同和有限時間內協同這2個 方面的問題，可以滿足新的作戰需求。其次，與文獻[13,17-18]中的集中式通信方式相比，本文采用的是分布式通信方式，使得每枚導彈只需知道其相鄰導彈的信息，從而降低了對彈間通信距離的要求。最后，與文獻[4,12]相比，本文采用了無領彈拓撲結構，避免了有領彈拓撲所遇到的單點失效問題，即使彈群中部分導彈被擊毀，只要剩余導彈通信拓撲仍然是無向且連通的，則其相對視線角依然可以收斂到期望值，打擊時刻依然可以達到一致，因而有效提高了彈群的作戰效能。

1 協同制導模型

為了便于研究，本文采用運動學分析方法并基于以下假設[19]：

假設1導彈和目標均視為二維平面內質點。

假設2導彈的導引頭和自動駕駛儀動力學與制導回路相比響應足夠快。

針對多導彈在平面內從期望的彈目視線相對方向同時打擊固定目標問題，給出導彈與目標相對運動幾何關系如圖1所示，其中Mi和Target分別代表第i枚導彈和目標，ri為Mi與Target之間的相對距離，qi為Mi到Target的視線角，vmi、θmi、amyi和amxi分別為Mi的速度、彈道角、法向加速度和切向加速度，i=1,2,…,n，n為導彈總枚數。

由圖1得到Mi與Target的相對運動方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

將式(1)和式(2)分別對時間進行求導，并與式(3)和式(4)相結合可得

(5)

圖1 多導彈與目標攔截幾何示意圖Fig.1 Geometry of multiple missile-target engagement

(6)

式中：uri和uqi分別為Mi加速度在視線方向和視線法向上的分量。

導彈Mi的打擊時刻tfi可表示為

tfi=tgoi+t

(7)

式中：tgoi為Mi的剩余飛行時間。

由式(7)可得

tfi-tfj=tgoi-tgoj

(8)

由式(8)可知，如果能控制多導彈的tgoi達到一致，就可使其tfi達到一致，從而實現同時擊中目標。tgoi由式(9)估計可得

(9)

(10)

來使得在有限時間內所有導彈的tgoi達到一致，ri逐漸減小，最終實現對目標的飽和攻擊。

選擇視線角最小的導彈作為M1，定義Mi與M1的彈目視線間的夾角(即相對視線角)為γi，則有

γi=qi-q1

(11)

γi與其期望值γid間的誤差為

γie=γi-γid

(12)

式中：γ1d=0，γ2d，γ3d,…,γnd∈(0,π]。為防止導彈間相互碰撞，γid均不能相等。

(13)

來使導彈能以期望的相對視線角擊中目標。

將式(11)代入式(12)可得

γie=qi-γid-q1

(14)

由式(13)和式(14)可知，若能控制

(15)

則式(13)即可成立。因此，可令

(16)

由于γ1d=0，由式(16)可得x31=q1，則由式(10)、式(15)和式(16)可知，本文視線方向和視線法向的制導律uri和uqi的設計目標可分別轉化為

(17)

(18)

因此，由式(5)～式(6)和式(16)～式(18)可得，帶空間協同的多導彈時間協同制導模型為

(19)

多導彈相互間的通信拓撲關系可由無向圖G(A)=(v,ξ,A)來描述，其中v為描述節點組成的集合，ξ代表節點之間的連線，矩陣A=[aij]∈Rn×n為權系數矩陣，若導彈i和導彈j之間能夠進行信息交換，則aij=1，否則aij=0，特別的aii=0，i∈{1,2,…,n}。由于G(A)是無向圖，因而有aij=aji。如果G(A)中任意兩個節點間都存在至少一條通路，則整個圖是連通的。定義多導彈間無向圖G(A)對應的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈Rn×n，矩陣的元素為

(20)

定義1[20]對n維系統

(21)

fi(εδ1x1,εδ2x2,…,εδnxn)=εκ+δifi(x)

i=1,2,…,n

(22)

如果f(x)是齊次的，則系統(21)稱作齊次系統。

引理1[21]設系統(21)是齊次系統且齊次度為κ，函數f(x)是連續的，如果系統(21)是漸近穩定的且κ<0，則系統(21)是有限時間穩定的。

2 協同制導律設計

2.1 視線方向制導律設計

本節針對視線方向制導律uri進行設計。

由式(19)可得Mi視線方向協同制導模型為

(23)

針對式(17)所示制導律設計目標和式(23)所示的制導模型，下面以定理1方式給出視線方向協同制導律及其穩定性證明。

定理1針對系統(23)，如果通信拓撲圖G(A)無向且連通，則設計如式(24)所示的視線方向分布式協同制導律，可在有限時間內使得系統狀態x1i達到一致且逐漸減小到0，并使得x2i達到一致。

(24)

式中：k1r>0，k2r>0，0<αr<1。

證明將式(24)代入式(23)可得

(25)

選取Lyapunov函數如下:

(26)

將式(26)對時間求導可得

(27)

(28)

由于G(A)始終是無向圖，因而aij=aji，故由式(25)可知對任意t≥0，都有

(29)

(30)

由式(30)可得

(31)

由式(31)進而可得

(32)

(33)

因此，可定義

(34)

由式(33)～式(34)可得

(35)

由式(34)可知，系統(25)可轉化成如下形式

(36)

(37)

(38)

由式(37)和式(38)可得

(39)

可令δi=2，則由式(39)可解得系統齊次度κr=αr-1，因此系統為一個齊次系統，由于0<αr<1，故κr<0。因此由引理1和式(35)可得

(40)

將式(34)代入式(40)可得

(41)

由式(41)可知

(42)

(43)

由式(43)可知，t≥Tr時有

(44)

因而將式(43)代入式(44)可得

(45)

(46)

由式(42)和式(46)可知，定理1中的協同制導律可在有限時間內，使得系統狀態x1i達到一致且逐漸減小到0，并使得x2i達到一致，定理1證畢。

注2定理1中uri的第1項為系統非線性補償項，第2項為剩余飛行時間協同項。第1項可以使得補償后的系統為一個2階多智能體系統，進而可采用2階多智能體協同控制理論對第2項進行設計，第2項用于在有限時間內使得系統狀態x1i達到一致且逐漸減小到0，并使得x2i達到一致。

2.2 視線法向制導律設計

協同制導律由其在視線法向分量uqi和視線方向分量uri組成，本節針對視線法向uqi進行設計。

由式(19)可得Mi視線法向制導模型為

(47)

針對式(18)所示制導律設計目標和式(47)所示的制導模型，接下來以定理2的方式給出視線法向制導律及其穩定性證明。

定理2針對系統(47)，如果通信拓撲圖G(A)無向且連通，則設計如式(48)所示的視線法向分布式協同制導律，可在有限時間內使系統狀態x3i達到一致且x4i收斂到0。

(48)

式中：k1q>0，k2q>0，0<αq<1。

證明將式(48)代入式(47)可得

(49)

選取Lyapunov函數如下：

(50)

將式(50)對時間求導可得

(51)

(52)

由式(52)可得

(53)

進而由式(53)可知

(54)

(55)

因此，可定義

(56)

由式(55)和式(56)可得

(57)

由式(57)可知，系統(49)可轉化成如下形式

(58)

注3定理2中uqi的第1項用于補償系統非線性項，第2項為空間協同項。第1項可以使得補償后的系統為一個2階多智能體系統，進而可采用2階多智能體協同控制理論對第2項進行設計，第2項用于在有限時間內使導彈的x3i達到一致且x4i收斂到0。

3 仿真分析

為驗證本文所提出的協同制導律的有效性，下面以4枚巡航導彈在地平面內同時攻擊一個固定目標的情形為例，分2種工況進行仿真。工況1采用本文所提方法，工況2采用文獻[8]中的方法，然后將2種工況仿真結果進行對比，以體現本文方法的優勢。各導彈與目標間的初始距離均在13 km以內，均在導彈彈載雷達的最大探測范圍之內。仿真步長取為定步長5 ms，固定目標的位置為(8 200,0) m，導彈初始條件如表1所 示。

工況14枚導彈均采用本文所提的協同制導方法進行導引。

表1 4枚導彈初始條件Table 1 Initial conditions of four missiles

視線方向制導律參數取為k1r=5，k2r=5，αr=0.5，視線法向制導律參數取為k1q=2，k2q=3，αq=0.95，i=1,2,3,4。

圖2 4枚導彈間的通信拓撲結構Fig.2 Communication topology of four missiles

快速減小并收斂到0，uqi的幅值為30g，由于一般導彈可用過載可達到幾十個g以內[12-13]，因而其在工程中具有一定的可實現性。

4枚導彈的脫靶量、打擊時刻和相對視線角誤差由表2給出?？梢?，它們的脫靶量均在1.420 m以內，打擊時刻均達到一致，相對視線角誤差均保持在6×10-6(°)范圍之內，滿足對脫靶量小于2 m，打擊時刻最大偏差小于0.1 s，相對視線角誤差小于0.1°的要求。

由圖3和表2的仿真結果可知，本文方法可以使得多導彈從期望的相對視線方向同時擊中目標，且過載在可用過載之內，因而具有一定的有效性。

工況24枚導彈均采用文獻[8]中的方法進行導引。

由以上仿真結果可知，本文方法中相關量的收斂時間更短，所需過載更小。另外，由于本文方法飛行時間更長，因而如果按照收斂時間所占總飛行時間的比值進行對比的話，本文算法收斂時間短的優勢將更加明顯。

表2 協同制導仿真結果(工況1)

圖3 協同制導仿真曲線(工況1)Fig.3 Simulation curves of cooperative guidance (Case 1)

圖4 協同制導仿真曲線(工況2)Fig.4 Simulation curves of cooperative guidance (Case 2)

4枚導彈的脫靶量、打擊時刻和相對視線角誤差由表3給出。對比表3和表2的仿真結果可以看出，雖然表3打擊時刻也能達到一致，但此時其最大脫靶量為2.22 m，而在表2中為1.416 m，表2比表3小了0.804 m；表3最大相對視線角誤差為6×10-5(°)，而在表2中為6×10-6(°)，表2是表3中的1/10。

表3 協同制導仿真結果(工況2)

綜上所述，相較于文獻[8]，本文所提方法不僅可使得所有導彈都能擊中目標，而且脫靶量更?。徊粌H可使其打擊時刻更快達到一致，且所需視線方向過載更??；不僅可使其相對視線角誤差更快收斂到0，且所需視線法向過載更小。因此，本文方法具有一定的優勢和有效性。

4 結 論

1) 針對多導彈以期望的相對視線角協同打擊固定目標問題，設計了一種帶空間協同的時間協同制導律。

2) 該制導律可在有限時間內使所有導彈的打擊時刻達到一致且相對視線角收斂到期望值。

未來將結合期望相對視線角可行域分析和視線角測量存在噪聲等問題設計協同制導律。