基于決策者無差異偏好的變動靶心廣義灰靶決策方法

馬金山

（河南理工大學 能源科學與工程學院，河南 焦作 454000）

0 引言

灰靶決策方法僅僅依靠決策方案間的比較由各指標屬性的最優值確定靶心，并計算各決策方案到靶心的距離，以靶心距越小方案越優[1]。當前多屬性灰靶決策方法的應用比較廣泛，眾多學者基于多屬性灰靶決策方法做了諸多的改進。這些改進有的是權重方面的[2-4]，有的是數據類型方面的[4-9]，有的是群決策方面的[10,11]，有的則是引入了其他的理論和方法[12-14]。文獻[8,15]則提出了不同于傳統灰靶決策的廣義灰靶決策方法，其中文獻[15]以廣義灰靶決策方法為基礎研究了在多屬性灰靶決策中存在著決策者的理想偏好和選擇偏好的情況下，決策方案的結果受變動靶心產生的靶心距的影響情況，并據此得出了一些有意義的結論。而文獻[16]在此基礎上又引入了負靶心的情況，進一步深化了研究的結果。但前述研究在分析決策者的偏好所確定的靶心時，未考慮決策屬性存在適中值的情況。而在實際的多屬性決策時也經常存在著適中值屬性的情況。為此，本文研究廣義灰靶決策方法中存在著適中值屬性時決策者的無差異偏好對決策方案的影響。

1 方案設計

1.1 基本概念

定義1：設有多屬性決策問題，決策方案集為S=(S1，S2，…，Sn)，屬性集為 A=(A1，A2，…，Am)，方案 Si對屬性 Aj的效果測度為 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)，其中設效益型指標屬性的集合為J+，成本型指標屬性的集合為J-,適中值型指標屬性的集合為JM。

定義2：基于灰靶決策的基本思想，但具體的實施過程與傳統方法有所不同的灰靶決策方法稱為廣義灰靶決策方法。廣義灰靶決策方法與傳統灰靶決策方法相比表現在兩個方面：一是不需要首先對效果測度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)進行極性的變換及歸一化處理；二是靶心距的計算方法也有別于傳統的灰靶決策方法[8,15]。

定義3：稱由決策方案各效果測度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)所確定的靶心為Ca=(，…，)，其中(j=1，2，…，m)滿足：

其中Saj為由客觀標準或決策方案的特征所決定的適中值型指標屬性靶心值。

定義4：決策者希望某一適中值屬性A(A ∈JM)指標

jj在其附近變動一定的范圍內為不受影響的偏好，稱為適中值屬性的無差異偏好域，記為，即有：

即適中值偏好由一個確定的實數拓展為在一定范圍內變動的區間，在該區間內均認為所有指標值無差異，其中rj為上下變動的范圍值，和分別為下限值和上限值。

定義5：設由決策方案各效果測度Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)所確定的靶心為 Ca=(C…，，決策者對屬性Ak(k ∈{1 ，2，…，m} ) 的偏好值為(k∈{1，2，…，m})，則融入決策者偏好的靶心（域）為C0=(，…，)，其中(k=1，2，…，m)滿足下式：

1.2 靶心距的計算[15]

設決策方案效果測度 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)融入決策者屬性偏好的灰靶靶心（域）已經確定為，則采取如下步驟求解靶心距：

（1）針對屬性 Aj( j =1，2，…，m )下的各方案指標值Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)分別與單指標靶心（域）(j=1，2，…，m )進行比較，則可以得到比較后的新的指標測度Iij：

（2）分別計算屬性Aj( j =1，2，…，m )下的經過預處理的各方案指標值Iij(i = 1，2，…，n，j=1，2，…，m) 與靶心（域）( j =1，2，…，m) 的單指標靶心距。

（3）由于各個屬性下所求的單指標靶心距rij不具有可比性，因此這里必須在各個屬性Aj下分別對靶心距進行歸一化處理，使之具有可比性。歸一化采用線性的方式，能夠較好地保持各自的特征。

（4）若已知各屬性 Aj( j =1，2，…，m )的指標權重為ωj，則綜合靶心距由下式求出。

1.3 決策步驟

（1）確定決策者的屬性偏好；

（2）計算各方案指標為非一致規范化的初始靶心；

（3）結合決策者的屬性偏好，求得融合了決策者屬性偏好的單指標靶心（域）；

（4）結合各單指標靶心（域）對原決策指標值（或效果測度）進行預處理；

（5）計算預處理后的各決策方案指標值與靶心（域）的單指標靶心距；

（6）確定各屬性的指標權重；

（7）綜合各歸一化單指標的靶心距，并依據綜合靶心距由小到大的順序進行決策。

2 基于適中值屬性的規范化對決策方案的影響

2.1 參數設定

圖1是針對決策方案指標屬性存在著適中值，而靶心由決策者的無差異屬性偏好所決定的情況。圖1中為由決策方案或客觀標準所確定的屬性為適中值的單指標靶心指標，而和分別為決策者無差異偏好所決定的靶心指標域的下限和上限。d1、d2、d3分別是不同方案下各指標S1j、S2j、S3j到靶心Cja的靶心距，而 D1、D2、D3分別是不同方案下各指標S1j、S2j、S3j到決策者無差異偏好靶心域界限或的靶心距，rda是與或之間的距離。顯然由于決策者無差異偏好靶心域縮小了各指標與靶心的距離，使得各指標針對決策者無差異偏好的靶心距變小。

圖1 決策者無差異屬性偏好對決策方案的影響

下面來分析說明決策者無差異的屬性偏好所決定的靶心域對決策方案的影響。設在屬性Aj下方案Si的效果測度為 Sij(i=1，2，…，n，j=1，2，…，m)，其中兩個方案的指標值Si0j和S(i0+1)j與由決策方案所確定的單一屬性靶心的靶心距為di0和di0+1，不妨設di0＜di0+1。在屬性Aj下，由決策者屬性偏好所確定的單指標靶心域界限值為或，則 Si0j和 S(i0+1)j到或的靶心距為Di0和Di0+1。決策者無差異偏好靶心域界限或和決策方案樣本值靶心之間的距離為rda。

式（8）和式（9）di中和 Di分別代表一般意義上引入決策者無差異偏好靶心域前后的各方案單指標的靶心距。

2.2 基于適中值屬性的決策者無差異偏好對決策方案的影響

2.2.1 決策方案指標值均在無差異偏好靶心域的范圍之外

設 Si0j和 S(i0+1)j均在的同側（二者在不同側的分析結果是相同的）。則由式（9）可得：

由式（8）和式（9）的對比可知：

當rda=0時，ΔZa=ΔZd，即不存在無差異偏好的區間。

當rda＞0時，ΔZa＜ΔZd，即決策者無差異屬性偏好所決定的靶心域使得方案指標間的差異變大。

2.2.2 決策方案指標值均在無差異屬性偏好靶心域的范圍之內

若Si0j和S(i0+1)j在引入決策者的無差異偏好時均處Di0+1=0。則可得：

由公式（11）和式（12）可知 ΔZd＜ΔZa，即當決策方案指標均落入決策者的無差異偏好區間時，決策方案指標之間的差異變小。

2.2.3 決策方案指標值部分落入決策者的無差異偏好區間

若Si0j和S(i0+1)j在引入決策者的無差異偏好后，一個落入區間[，]之內，另一個落在該區間之外，此處設S(i0+1)j始終落在區間[，]之外，而引入決策者的無差異偏好后，Si0j落入區間[，]之內。

未引入決策者無差異的偏好之前的決策方案指標的靶心距之差見公式（8）所示。而引入決策者無差異偏好的靶心域后，可得公式（13）。

由于引入決策者的無差異偏好靶心域后，Si0j落入區間[，]之內，所以可得Di0=0。因此，由公式（13）可以得到：

此時應討論di0與rda之間的關系。

（1）當 di0=rda時，由公式（8）與公式（14）可得 ΔZa＜ΔZd，即Si0j剛好位于決策值偏好的無差異偏好區間的邊界，此時使得方案指標間的差異變大。

（2）當 di0＜rda時，則由式（8）與式（14）很難準確地判斷ΔZa與ΔZd之間的關系。其不定性表現為：

2.2.4 決策者無差異偏好所決定的靶心域對決策方案的影響

（1）適中值屬性引入決策者的無差異偏好靶心域后，如決策方案指標均落入無差異偏好的區間后，則方案指標間的差異變小。

（2）適中值屬性引入決策者的無差異偏好靶心域后，若決策指標均未落入區間內，或僅某一指標值恰好處于無差異偏好區間的邊界處時，方案指標間的差異變大。

（3）適中值屬性引入決策者的無差異偏好靶心域后，若某一指標落入無差異區間內，而另一指標則落入無差異區間外時，如無更詳細的信息，則無法判斷其指標之間的影響。

3 算例分析

3.1 數據來源

某業主從滿足其基本需求的承建商中選擇最合適的方案，分別從主要設備費（萬元）、工期（天）、單層建筑面積（m2）以及層高（m）等方面進行綜合評比，以A1～A4表示。其中主要設備費及層高為適中值指標，工期為成本型指標，而單層建筑面積為效益型指標。共有5個方案可供選擇，用S1～S5表示。若業主認為比較合適的主要設備費為180萬元，費用范圍變動10%以內為無差異；而比較合適的建筑的層高為3.0m，變動范圍在5%以內為無差異；若業主偏好的最短工期為250天，則對這些承建商做出選擇評比（見表1）。

表1 承建商建筑方案表

3.2 計算過程及結果

（1）首先計算由決策方案所確定的靶心

根據已有的廣義灰靶決策方法的靶心確定方法，可以得到由決策方案自身或客觀標準所確定的靶心為（180，260，1200,3.0）。

（2）確定融入決策者偏好的靶心（域）

結合決策者屬性偏好依據相應的方法，可以得到融入決策者偏好的靶心（域）為（[162,198]，250，1200,[2.85,3.15]）。

（3）基于決策者偏好所確定的靶心（域）對原始指標數據進行處理。

原始方案的指標數據結合決策者的偏好處理后，見表2所示。

表2 處理后的指標值

（4）計算所有指標的靶心距

根據最終確定的融入決策者偏好的靶心（域），可以計算出所有指標與融入決策者偏好的各單指標靶心距見表3所示。

表3 各單指標的靶心距

（5）各單指標靶心距的無量綱化處理

若給定的各決策方案指標屬性的權重為（0.2,0.3,0.4,0.1)，則各方案的歸一化綜合靶心距為（0.1871，0.2445，0.1660，0.1798，0.2226）。所以各方案的排序為：S3? S4? S1? S5? S2。見表4和表5。

表4 線性規范化后的靶心距

表5 線性規范化后的靶心距

3.3 對比分析

為了說明決策者的偏好對決策方案的影響，采用無決策者的偏好時的靶心所求得的綜合靶心距來進行對比。此處各方案指標屬性的權重仍為（0.2,0.3,0.4,0.1)。決策方案自身所確定的靶心為（180，260，1200,3.0）。則各綜合集成的歸一化靶心距為（0.1489，0.2693，0.1629，0.1770，0.2419）。則可以得到各方案的排序為：S1?S3?S4?S5?S2。表5是決策方案是否考慮決策者偏好的靶心時的綜合靶心距及其方案排序的對比情況。

由表5的對比情況可知，有無決策者的偏好所決定的靶心對決策方案的排序有著明顯的影響。

4 結論

通過對決策方案存在著決策者無差異屬性偏好的變動靶心廣義灰靶決策方法的研究，可以得到如下結論：

（1）在廣義灰靶決策中，決策者的無差異屬性偏好所決定的適中值屬性靶心域依據指標值的不同對決策方案產生不同的影響。

（2）本文考慮的適中值屬性的決策者的無差異偏好的靶心域為對稱性的，而實際的決策過程中也可能存在著非對稱性的無差異偏好區間，其影響的程度更為復雜。

（3）由于研究中所涉及的決策者的無差異偏好僅為部分指標屬性，且綜合靶心距的集成受多種因素影響，所以綜合后對總體的各方案的影響變化存在著不確定性。