基于改進粒子群算法的機械結構可靠性設計

栗鵬飛

(鄭州鐵路職業技術學院,河南 鄭州 451460)

0 引言

對機械結構的可靠性設計可以從選材、強度、機理和性能幾方面進行，目前國內外學者采用遺傳算法、梯度法、粒子群算法、神經網絡算法等對機械機構進行可靠性分析和設計[1]，但是以上算法均存在早熟現象，其優化結果往往達不到理想情況，因此需要尋找更適合結構可靠性優化的新方法。粒子群算法(PSO)由Eberhart于1995年提出，其模擬飛鳥在覓食時候鳥群之間的協作機制，該算法簡單便捷，易于實現，常用來處理非線性問題和組合優化問題，但是其最大的缺陷是易陷入局部最優，產生“早熟”現象[2]。針對上述問題，本文將懲罰函數法與粒子群算法相結合對多約束條件的機械機構優化問題進行求解，通過對懲罰因子進行選擇和調整，取得了較好的尋優效果。

1 懲罰函數法

懲罰函數法是一種將有約束的優化問題轉化為無約束優化問題進而求解的方法。對于機械機構設計問題，可將其描述為：

(1)

其中：f(x)為目標函數；g(x)為不等式約束；h(x)為等式約束；p和q分別表示函數g(x)和h(x)的約束域。

引入目標函數φ(x,r(k))作為懲罰函數:

(2)

其中：r(k)為懲罰因子；G[gu(x)]為與不等式約束有關的懲罰項；H[hv(x)]為與等式有關的懲罰項。

懲罰因子r(k)可將算式(1)轉換為算式(2)無約束優化問題。隨著懲罰因子序列{r(k)}不斷變化，懲罰項在整個罰函數中逐漸減小，最終趨于0，從而使對應于r(k)的罰函數φ(x,r(k))的解收斂到算式(1)的最優解。

2 粒子群算法

粒子群算法是模擬飛鳥群在覓食時候的行為，在飛鳥覓食過程中，鳥與鳥之間通過集體協作朝著食物飛去[3]。該算法中，優化問題被抽象為理想化的粒子(無質量，無體積)，并在多維空間延伸，在PSO系統中每個備選解成為一個“粒子”，多個粒子共存，合作尋求最優解，每個粒子會根據自身經驗和整個粒子群的社會經驗在多維空間中朝著更好位置飛行，搜索最優解。假如n維空間，有s個粒子組成一個群落，第i個粒子當前位置和速度分別為[4]：

(3)

n維空間第i個粒子的歷史最優位置Pi和整個粒子群迄今為止搜索到的最好位置Pg分別為:

(4)

因此，第i個粒子按照如下公式進行迭代，以此來更新速度和位置：

(5)

其中:m為迭代次數；γ為在[0,1]間隨機取值的函數；β為慣性權重；c1、c2為兩個加速因子，表示粒子飛向局部和全局最好位置的速度權重，其取值范圍為0.2～0.5。

3 粒子群算法和懲罰函數法結合求解多約束優化問題

利用粒子群算法求解多約束優化問題時，懲罰因子的選取至關重要。一般而言，懲罰因子可以選擇定量，也可以選擇變量[5]，定量數值一般在0～1之間選取，但是對于復雜問題，效率比較低；變量的數值選取既可以根據違背約束程度選擇，也可以根據進化程度進行選擇。本文采用變量取值，即根據違背程度和進化程度來求解約束優化問題[6]。在結構系統可靠度約束下，合理選擇截面積使得結構總質量最小，這是可靠性設計的核心問題。因此對于一個機械結構的可靠度設計可以按照以下過程進行求解：

(1) 構造懲罰函數，將算式(1)轉化為無約束優化問題。

(3) 更新種群位置，設置每個粒子當前最優位置Pi。

(4) 計算每個粒子的適應度函數值，找出初始群體中最佳位置Pj。

(5) 將搜索全局極值與歷史最優值進行比較，如果全局極值優于歷史最優值Pg，則用該全局極值替換歷史最優值。

(6) 判斷迭代次數是否超過m，如果超過，則停止計算，即獲得粒子最優位置，否則，返回步驟(5)，重復m次，返回步驟(4)。

4 仿真實例

內燃機的氣門支撐彈簧是慣性振動篩重要元件，其性能好壞直接影響氣門的壽命。在設計該機構時往往要考慮很多因素，如結構材料、尺寸大小、吸振限幅性能等，而傳統的結構設計往往憑借經驗選擇，這樣會造成彈簧的振動軌跡不符合要求，甚至在振動過程中出現打缸現象[7]。為了解決這一難題，本文以內燃機氣門彈簧結構尺寸為設計目標尋求氣門彈簧的優化設計方法。假如各個參數服從正態分布，彈簧的材料為鋼，且錳的含量為5%，彈簧的抗剪彈性模量(剪切彈性模量G，等效彈模系數δ)=(45 000,2 000)MPa，承受交變載荷作用，當循環次數超過20 000次時，測量彈簧振動時位于位置c和位置b的彈模系數δc和δb，并驗證兩者方差是否符合正態分布。

算法各項參數設置如下：運行環境為在Thinkpad計算機上的MATLAB2015a軟件平臺，種群規模s=30,最大迭代次數m=2 000,粒子的速度限制在[-3,3]，循環15次。選擇可靠性指數的倒數最小值作為目標函數。

為了便于計算用x1和x2分別代表氣門振動最大幅度d的偏差量和彈簧最大形變量y的偏差，代入相關公式經整理得:

取r(k)=0.01根據公式(2)將有約束條件轉化為無約束方程：

.

同時為了說明本算法的有效性，對比了遺傳算法和未進行改進的粒子群算法[8]在進行多目標函數尋優過程中的收斂特性曲線，如圖1所示。

圖1 各種算法在可靠度值上的對比

從圖1可以看出，對收斂速度而言，加入懲罰函數之后的粒子群算法收斂速度最快，而由于遺傳算法中交叉、變異等復雜操作的存在對算法的收斂速度有一定的影響，而未改進的粒子群算法在迭代過程中出現早熟，收斂速度相對較慢，收斂速度位于三者中間；對收斂精度而言，由于加入了懲罰函數新算法的精度大大提高，并收斂于5.71，而遺傳算法和粒子群算法分別收斂于3.32和粒子群算法的4.12，新算法的收斂精度分別提高了19.52%和13.3%。因此根據該仿真結果可以得出結論：基于懲罰函數的粒子群算法無論是收斂速度還是收斂精度都優于傳統的遺傳算法，在滿足可靠性指標的要求下，同時又優化了橫截面積，節約了材料，提高產品的性價比。

5 結語

針對基本粒子群算法產生的“早熟”問題，本文將懲罰函數引入粒子群算法當中，利用基本粒子群的搜索能力，動態收縮搜索區域，防止粒子在迭代過程中停止而陷入“早熟”陷阱；針對機械結構可靠度約束最小化的結構質量優化問題，建立系統優化模型，將多約束條件轉化為無約束條件，使得算法更加簡單易于實現。與傳統算法相比本文算法最大優點在于迭代算法中涉及到的高等運算比較少，其采用的精英集思想便于化解算法陷入局部最優的難題。因此，將改進粒子群算法應用與改善機械機構可靠性方面具有運算速度快、所求解質量高等諸多優勢，勢必會產生較高的工程價值。