需求依賴庫存水平的隨機庫存模型*

隆 冰 王 晶 朱軍功

(重慶市交通規(guī)劃研究院 重慶 400000)

0 引 言

庫存管理是企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營中一個不可或缺的重要組成部分，有效的庫存管理方法可以調(diào)節(jié)供需平衡，減少貨品余缺，提高庫存效益，對實現(xiàn)價值鏈增值有重要意義.周衛(wèi)琦等[1]在連續(xù)、均勻的需求假設(shè)下，考慮了訂貨批量的折扣現(xiàn)象，采用訂貨費、存貯費和缺貨費描述庫存費用，建立了有批量折扣且允許缺貨的訂貨銷售存貯模型.高海晶等[2]對供應(yīng)商管理庫存(VMI)模式下的單一制造商、單一零售商組成的二級供應(yīng)鏈，以供應(yīng)鏈收益最大為目標函數(shù)，分別在零售商總需求為常數(shù)和函數(shù)兩種情況系建立了庫存控制模型.劉誠等[3]考慮了具有價格彈性的隨機零售商需求，并假設(shè)日需求量服從正態(tài)分布，在VMI模式下采用周期盤點的庫存控制策略，以各零售商處的預(yù)期服務(wù)水平大于目標服務(wù)水平為約束，建立了分銷系統(tǒng)利潤優(yōu)化模型.楊志林等[4]將庫存成本描述為隨存儲時間變化的階梯函數(shù)，考慮了需求率依賴于庫存水平的需求函數(shù)，同時引入變化的訂貨費，建立了離散性庫存費的庫存控制模型.Timothy[5]提出了需求基于庫存水平的庫存模型靈敏度分析轉(zhuǎn)換方法.Biswajit等[6]在需求函數(shù)基于庫存水平的庫存模型中，考慮了隨時間變化的變質(zhì)率，根據(jù)初始庫存水平、當前庫存水平、周期末端庫存水平的關(guān)系建立了三種可能情況下的庫存模型.Li等[7]在需求和需求預(yù)測誤差服從隨機分布的情況下或預(yù)測需求為單點和間斷形式時，采用基于信任規(guī)則的庫存控制方法對需求為非線性和非確定性的庫存控制問題進行研究.歐劍等[8]在需求是隨機的且依賴庫存水平的條件下建立了訂貨模型，采用仿真的進化算法進行求解.賈湖等[9]建立了需求隨機和供貨時間隨機的庫存模型，假設(shè)了產(chǎn)品需求數(shù)量為一隨機過程、補貨時間相互獨立、庫存減少的數(shù)量為馬爾代夫過程，基于此對基本庫存進行了分析.

上述研究主要考慮了庫存模型中需求函數(shù)的隨機性以及需求與庫存水平之間的關(guān)系，而缺乏對庫存供給、需求、實時庫存水平之間的聯(lián)動關(guān)系考慮.本文同時考慮了基于即時庫存水平下的庫存供給方式，采用正態(tài)分布對需求隨機項進行描述，并利用微分方程建立了需求、供給、當前庫存量之間的聯(lián)系；根據(jù)需求和庫存水平的變化，分別描述了庫存平衡、缺貨、庫存殘余三種狀態(tài)，提出了具有補貨周期的隨機庫存模型.以庫存系統(tǒng)效益最大為目標，以庫存容量為約束，建立庫存優(yōu)化模型對庫存周期和補貨周期進行優(yōu)化，最后進行了算例分析.

1 問題描述與模型假設(shè)

考慮庫存需求隨機波動下帶有補貨周期的庫存系統(tǒng)，將庫存成本描述為訂貨費、保管費、庫存殘余損失、缺貨損失，在供貨周期連續(xù)補貨情況下，尋求庫存系統(tǒng)效益最大化的庫存周期和補貨周期.庫存模型假設(shè)如下：

假設(shè)庫存模型存在一定的庫存周期T和補貨周期Tp，同時假設(shè)周期內(nèi)的貨品價值不隨存儲時間變化而在周期末的庫存殘余會瞬間貶值.在缺貨期間假設(shè)庫存為線性需求，缺貨損失與缺貨時長相關(guān).庫存費用由訂貨費D、保管費H、庫存殘余損失費O、缺貨損失費B四部分組成.

1) 訂貨費 訂貨費由固定費用和附加費用兩部分組成，周期內(nèi)，假設(shè)固定費用與訂貨次數(shù)成正比，運輸、裝卸等附加費用與訂貨量成正比.

D=n·D0+k1·c

(1)

式中：D0為單次訂貨費用；n為訂貨次數(shù)；k1為訂貨附加費率；c為訂貨量.

2) 保管費 保管費與庫存周期內(nèi)的實時庫存量成正比.

(2)

式中：k2為保管費率；ct為t時刻的實時庫存量.

3) 庫存殘余損失費 庫存殘余損失費由殘余貨品的訂貨費、保管費、貨品貶值損失組成.

O=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs

(3)

式中：Cs為殘余庫存量；k3為單位貨品貶值損失費用.

4) 缺貨損失費 缺貨損失費與庫存周期內(nèi)的實時缺貨數(shù)量成正比.

(4)

式中：Tz為庫存周期內(nèi)的缺貨時長；kt為單位貨品的缺貨損失費用；zt為t時刻的實時缺貨量.

2 帶有補貨周期的隨機庫存模型

傳統(tǒng)庫存模型假設(shè)需求函數(shù)為線性，即在整個庫存周期內(nèi)，貨品的需求保持恒定水平.線性需求假設(shè)忽略了需求的波動以及需求對庫存的依賴.模型假設(shè)需求為帶有隨機項的關(guān)于實時庫存水平ct的函數(shù).

q(t)=f(ct)+ε

(5)

庫存供給一般有一次補齊和連續(xù)補貨兩種方式，一次補齊方式是在每個庫存周期內(nèi)將貨品一次性補充到同一庫存量；連續(xù)補貨方式則是在補貨周期內(nèi)結(jié)合庫存水平連續(xù)補貨，模型假設(shè)供給為關(guān)于庫存水平的函數(shù).

p(t)=φ(ct)

(6)

需求和供給函數(shù)的疊加又直接決定了庫存水平的變化.

(7)

1) 一次補齊庫存概率模型 對于一次性補齊庫存模型，由于需求函數(shù)中隨即項ε的作用，會出現(xiàn)缺貨和庫存殘余，見圖1，在每個庫存周期將貨品一次性補充到同一庫存量C，考慮周期內(nèi)的需求的隨機波動，利用平衡balance、缺貨shortage、殘余residue三種情況下的庫存成本期望值對庫存成本進行描述.

圖1 一次補齊庫存概率模型

周期內(nèi)的訂貨費：Db=D0+k1·C；Ds=D0+k1·(C+r.Tz)；Dr=D0+k1·(C-Cs).

周期內(nèi)的庫存殘余損失費：Ob=0；Os=0；Or=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs.

按照balance、shortage、residue出現(xiàn)的概率分別為ρb，ρs，ρr，則庫存成本可以用其期望值加以描述.

·ρi

(8)

2) 整周期連續(xù)補貨庫存模型 整周期連續(xù)補貨庫存模型可以按照當前庫存量進行補貨，可以將庫存量維持在一個相對穩(wěn)定的水平，但連續(xù)進貨同時也造成了較大的訂貨成本.

整周期連續(xù)補貨可以忽略庫存殘余損失和缺貨損失，則整周期連續(xù)補貨庫存模型總成本為

Cost2=D+H

(9)

3) 帶補貨周期的隨機庫存模型 連續(xù)補貨則可以根據(jù)當前庫存調(diào)節(jié)補貨量，將庫存保持在一個低而穩(wěn)定的范圍，考慮到整周期連續(xù)補貨訂貨成本太高，只在整個庫存周期中的部分時段補貨，從而形成補貨周期Tp，隨著補貨周期的延長，缺貨和殘余的概率將逐漸降低.綜合一次補齊模型和整周期連續(xù)補貨模型，得到圖2的帶補貨周期連續(xù)庫存模型.

圖2 帶補貨周期的隨機庫存模型

周期內(nèi)庫存殘余損失費：Ob=0；Os=0；Or=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs.

結(jié)合歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計，對隨機項ε的期望值μ取正、負值的概率進行估計，分別取值為ρ1，ρ2，ρ1+ρ2=1，對于μ取正值時，可分別計算正偏離下的平衡balance、缺貨shortage、殘余residue狀態(tài)下的概率ρ1b，ρ1s，ρ1r；μ取負值時，可分別計算負偏離下的平衡balance、缺貨shortage、殘余residue狀態(tài)下的概率ρ2b，ρ2s，ρ2r；利用各種狀態(tài)下的庫存成本的期望值對周期內(nèi)的庫存成本為

(10)

假設(shè)庫存消耗產(chǎn)生的收益與庫存消耗量成正比，單位庫存消耗量產(chǎn)生效益為ω.則利用期望描述周期內(nèi)的庫存效益為

(11)

p(t)=φ(c(t))

(12)

期望值對隨機需求為

q(t)=

供給累計和需求消耗對庫存水平為

c(t)=

(14)

式中：ρ1b+ρ1s+ρ1r=1，ρ2b+ρ2s+ρ2r=1，ρ1+ρ2=1.

將隨機項ε的期望值μ描述為與供貨周期和庫存周期相關(guān)的函數(shù)為

(15)

得到庫存效益模型為

(16)

(17)

式中：目標函數(shù)為τ時間段內(nèi)庫存效益最大；T，Tp為決策變量；Cmax為最大庫存容量；Cmin為安全庫存容量，

通過模型求解，得到庫存系統(tǒng)效益最優(yōu)的庫存周期To和補貨周期Tpo，由此可以得到周期內(nèi)的訂貨量Co，最高庫存水平Cmax.

(18)

(19)

3 模型求解

(20)

按照式(14)的簡化，通過如下迭代步驟逐步逼近式(10)的最優(yōu)解：

步驟1初始化count=0，設(shè)初始可行解為(T0,Tp0)，定義T=(T，TP).

步驟2count=count+1.

步驟5收斂判斷，定義gap=|W(Tcount)-W(Tcount-1)|.若Tcount滿足收斂準則，停止迭代，返回Tcount；否則返回步驟2.

4 算例分析

(21)

(22)

(23)

(24)

將Cost,E,Cs,Tz帶入式(16)、(17)求解得到：Tp=11 d，T=42 d.訂貨總量為421件，最大庫存量為286件.從上述結(jié)果可以看出，帶有補貨周期的庫存模型相對于一次補齊模型，最大庫存量減少了135件，節(jié)約了32%的庫存容量.

同時考慮到現(xiàn)實訂貨商為了保障生產(chǎn)和銷售的連續(xù)性，往往對庫存消耗預(yù)期偏高，降低殘余庫存損失具有現(xiàn)實意義，連續(xù)補貨利于訂貨商捕捉周期內(nèi)的需求規(guī)律，減少缺貨和庫存殘余，對提高庫存系統(tǒng)總效益有積極意義.

5 結(jié) 束 語

針對庫存需求和供給依賴于庫存水平的庫存系統(tǒng)，在需求函數(shù)隨機項波動服從正態(tài)分布的假設(shè)下，描述了庫存系統(tǒng)供需平衡、庫存殘余、缺貨三種狀態(tài)；并利用庫存成本期望建立了帶有補貨周期的隨機庫存模型；以庫存系統(tǒng)總效益最大為目標函數(shù)建立優(yōu)化模型對補貨周期和庫存周期進行優(yōu)化，計算了庫存系統(tǒng)周期內(nèi)的訂貨量和最高庫存水平.模型反映了即時庫存水平對庫存供給和需求的調(diào)節(jié)作用，更符合實際；考慮補貨周期在庫存周期內(nèi)對需求隨機波動范圍的影響，體現(xiàn)了供給、需求、即時庫存水平之間的平衡反饋機制；模型求解了系統(tǒng)最優(yōu)下的補貨周期和庫存周期，為指導(dǎo)連續(xù)生產(chǎn)提供了理論基礎(chǔ)，模型求解的最優(yōu)訂貨批量和最大庫存量對優(yōu)化庫存系統(tǒng)，節(jié)約庫存成本具有積極意義，可變的補貨周期豐富了模型的拓展性和適用空間.本文只針對特定屬性的貨品進行研究，對于貨品構(gòu)成復(fù)雜的混合庫存系統(tǒng)還有待進一步研究.