剛體轉動慣量實驗的改進

潘 葳，王 瑗

(上海交通大學 物理與天文學院 物理國家級實驗教學示范中心，上海 200240)

剛體轉動慣量是描述剛體轉動時慣性大小的量度，是剛體轉動學的重要物理量. 常用轉動慣量的測試方法有扭擺法[1]、三線擺法[2]和落體法[3]. 相比而言，落體法儀器設備簡單便于實現，原理容易理解，適合本科一年級學生的物理實驗教學. 恒力矩法是落體法中的常用測試方法，它利用力矩、角加速度和轉動慣量之間的聯系，通過僅考慮摩擦力矩的減速運動過程以及在阻力矩和砝碼產生的恒拉力矩共同作用下的加速過程計算出轉動慣量[4]. 雖然在參考了大量文獻后，從各種角度出發來減小恒力矩法測量轉動慣量的誤差[5-11]，但在實際教學工作中發現，效果仍不夠理想，測量結果存在較大的誤差. 為了進一步完善這種測量方法，減小學生實驗結果的誤差及不穩定性，還需要在減小滑輪摩擦力上進行一些改進工作. 因此我們在教學內容和教學方法上進行了的改進，使大部分學生實驗結果和理論值之間的誤差都能控制在5%以內，收到了良好的實驗教學效果.

1 恒力矩法測量轉動慣量實驗原理

剛體做定軸轉動時，所受的合外力矩M和角加速度β及轉動慣量J滿足M=Jβ，測得M及β，就可以得到J[5-11].

如圖1所示，恒力矩法測量J時，將質量為m的砝碼通過輕質細繩拴在半徑為R的塔輪槽上提供拉力矩，帶動轉盤以角加速度β1進行加速轉動，在不考慮滑輪和繩子質量、繩子形變的情況下，繩子拉力可表示為T=m(g-Rβ1). 此時轉盤還受到阻力矩Mμ，因此，根據M=Jβ，有

m(g-Rβ1)R-Mμ=Jβ1,

(1)

去除繩子后拉力T消失，轉盤在阻力矩Mμ作用下做角加速度為β0的減速運動，即

-Mμ=Jβ0,

(2)

聯立(1)～(2)式，可得

(3)

圖1 恒力矩轉動法測剛體轉動慣量實驗裝置圖

很明顯，對于任意情況下的轉盤來說，只要測得落體質量m，塔輪半徑R，角加速度β1和β0(利用角位置-時間關系)，就可以得到其轉動慣量. 根據轉動慣量疊加原理，分別測量空轉盤和載有待測物體時轉盤的轉動慣量J0和J1，就可以用J=J1-J0計算出待測物的轉動慣量J.

2 恒力矩法測量轉動慣量實驗中存在的問題

恒力矩法是比較成熟的測量剛體轉動慣量的實驗方法，但從大量的學生實驗中發現，該實驗還是存在比較明顯的測量誤差. 這些誤差問題在很多文獻上都討論過[5-11]，并提出過各種減小實驗測量誤差的方法，如：

1) 選擇小質量的砝碼、控制細繩直徑和繞線方式來實現恒力矩；

2) 選擇定滑輪的位置、調整塔輪和小滑輪間拉線水平度及距離來實現恒力矩；

3) 改進測量方法，降低阻力矩隨角速度變化對實驗結果的影響；

4) 通過數據處理尋找特征時間以優化測試手段.

在實驗中我們已經注意了這些問題，但誤差偏大問題還未能很好地解決. 通過深入地分析發現，除了文獻[5]提及了公式推導中的系統誤差外，大多數文獻的討論都忽略了最根本的問題，即式(3)的成立是有條件的，需要式(1)和式(2)中的阻力矩Mμ相同. 式(1)中的阻力矩不僅來源于空氣和轉軸，還來源于滑輪，而式(2)中的阻力矩主要來源于空氣和轉軸. 這是以前沒有明確分析過的問題，也是真正能減小學生實驗誤差的關鍵問題. 只有消除來自滑輪的阻力矩，同時保證式(1)和式(2)中空氣和轉軸阻力矩基本相同(即二次轉動時角速度基本相同)，才能使用式(3)獲得較準確的結果.

具體來說，采用輕質滑輪來減小滑輪的轉動慣量，利用滾動摩擦來減小滑輪的摩擦力. 在本實驗中，采用了世紀中科的ZKY-ZS轉動慣量實驗儀(如圖1所示)測量圓盤和圓環轉動慣量，在圖2的滑輪裝置圖中可以看出，儀器的滑輪固緊螺絲和細繩走線方式對轉動慣量測量結果影響很大. 很明顯，假如固緊螺絲過緊，滑輪在轉動時就

會受到較大的摩擦力，此外，如果細繩走線時未對準滑輪軌道的中心，砝碼向下運動時會對滑輪產生橫向的力，增大摩擦. 為此，實驗時需要學生調節滑輪固緊螺絲和細繩走線方式來最小化滑輪摩擦力. 否則，學生的實驗結果會依賴于所用儀器滑輪和細繩走線狀態，測量結果誤差較大并難以重復，同時學生很難理解究竟是哪個環節出現問題，整體教學效果較差.

(a) 細繩走線對準滑輪中心 (b) 細繩走線偏離滑輪中心圖2 滑輪裝置圖

3 教學方案的改進

為了解決上述問題，針對該實驗，改進了教學模式. 在原理介紹中詳細說明理論公式成立的前提條件，讓學生自己思考并分別說明式(1)和式(2)中阻力矩來源，加深學生對滑輪固緊螺絲調節、細繩走線方式及2次轉動過程中角速度基本相同這3個要素重要性的理解. 在此基礎上，自然地將滑輪的調整引入實驗教學過程中，要求學生自行調節滑輪固緊螺絲位置，并將細繩穿過滑輪的中心，使滑輪的摩擦阻力最小. 然后將一次落體法引入教學過程，同時測量細繩帶落體的加速過程和拉繩自動脫離后減速過程的角位置-時間關系，分別計算出加速過程的β1和拉繩自動脫離后減速過程的β0. 最后，要求學生把不同轉動慣量下測到的時間t-角位置θ數據畫在同一張圖上(如圖3所示)，定性地比較轉動慣量大小和角加速度的關系，同時有助于判斷實驗結果的準確性.

(a) 對應有落體的加速過程

(b) 對應細繩脫離后的減速過程圖3 空載物臺、圓盤和圓環的時間-角位置關系圖

4 改進前后學生的實驗誤差對比

從圖4～5給出的改進前后學生實驗誤差的統計可以看出，學生實驗誤差明顯降低，說明這種解決問題的思想和方法是正確的. 實驗改進后，學生不僅從機理上理解了滑輪固緊調節、細繩走線方式及角速度控制的重要性，而且思路清晰，實驗中不再需要教師反復強調提醒后去調節儀器，既做好了實驗，又減小了誤差，收到良好的實驗教學效果.

(a)圓盤

(b)圓環圖4 實驗教學改進前學生實驗誤差統計圖(其中大于100%的誤差全部被歸到100%)

(a)圓盤

(b)圓環圖5 實驗教學改進后學生實驗誤差統計圖

5 結束語

從最初的原理出發，理論聯系實際，讓學生學會分析實驗中造成轉動慣量測量誤差增大的各種原因，使學生從機理上理解了滑輪固緊調節、細繩走線方式及角速度控制等實驗操作的重要性，并使大部分學生的誤差控制在5%之內，明顯降低了學生實驗中出現較大誤差的概率.