上證50ETF期權隱含波動率曲面建模和實證分析方法

成華麗 成鴻飛

（1.浙江大學工業技術轉化研究院，浙江 杭州 310007；2.國信證券股份有限公司，廣東 深圳 518001）

一、引言

隨著2015年2月9日上海證券交易所開展上證50ETF期權交易，標志我國期權業務全面覆蓋了場內期權和場外期權。場外期權在場外通過詢價成交其掛鉤標的、期權結構都呈現定制化和復雜化的特點，場內期權通過大券商在交易所做市的方式提供流動性。相比而言，場內期權具有更好的流動性和更大交易量，通過對場內期權的波動率曲面建模以動態監控期權持倉的市場風險對投資組合管理有重要意義。

在金融市場里，投資者最常用的波動率是統計學里標準差，以此來計算歷史股價上下波動的幅度。波動率通常被投資者當做風險測度的工具，即一般認為波動越大風險越大。1973年Black F，ScholesM等提出期權定價的Black-Scholes模型后，波動率被賦予了新的意義，交易期權本質上就是在交易波動率。而隱含波動率就是通過將期權市場價格代入Black-Scholes模型反推出的波動率，因此也被認為是市場交易出來的對該期權標的資產未來波動率的預期。建立隱含波動率曲面不僅可以直觀比較隱含波動率與行權價和期限之間的數量關系，也能對套利策略、組合敞口管理和場外期權定價提供指導。

其中關于隱含波動率曲面的建立一般認為包括參數法和非參數法。參數法建模使用確定的參數模型來計算隱含波動率，隱含波動率作為期權在值程度、期限的確定性函數。例如Dupir,B提出的局部波動率模型[1]，Dumas,B提出的多項式參數模型等[2]。而非參數法不建立隱含波動率的確定性參數模型，而是基于期權市場價格得到的離散數據，應用插值、平滑等技術方法估計完整的隱含波動率曲面。例如毛娟等使用非參數擬合方法，對S&P500指數期權的波動率曲面進行研究[3]。本文使用一種非參數多項式建模方法，旨在提供實操層面管理投資組合波動率風險，并隨著每日收盤價格動態調整曲面形態，以實時跟蹤持倉的波動風險。

二、數據處理和建模方法

本部分我們將介紹建模方法，現有的研究表明在構建隱含波動率曲面中使用流動性較好的的價外期權對于波動率曲面的形態更為接近交易員的需要，尤其是在外匯期權中。但是對于50ETF場內權益期權，合約流動性的規律并不明顯，因此國內針對50ETF場內期權的研究主張使用成交量加權的期權價值估計方法[4]。

由上式期權平價理論認為看漲期權價值C和看跌期權P之間可以相互換算，因此在建立隱含波動率曲面時候通過平價公式統一全部換算后使用看漲期權來建模。但是在業界實操層面交易員還是有分開處理看漲期權的隱含波動率曲面及看跌期權的隱含波動率曲面。例如在期權做市和衍生品套利金融工程軟件Orc Trader Software中使用Volatility Manager同時對看漲期權及看跌期權的波動率的偏斜和期限結構進行分析。本文在數據處理時選取2017年5月16號上證50ETF的交易持倉數據進行分析，并區別處理看漲和看跌期權的波動率曲面。

一份期權合約的價值包括內在價值和時間價值，而隱含波動率通過將期權在交易所的市場價格代入Black-Scholes公式反推出的波動率，而并非所有交易所交易的樣本期權都有隱含波動率。根據BSM公式，期權價格和波動率存在單調遞增的函數關系，由于波動率最小值只可能為0因此對于期權價格存在一個最低理論價格。當波動率等于0時我們根據BSM公式分別計算出看漲期權和看跌期權的最低理論價格：

那么顯然當期權市場價格比最低理論價格小時，此時期權無隱含波動率，對于此類樣本我們在構建波動率曲面時需要進行剔除。如表1對于某50ETF期權做市商的部分看漲期權持倉數據進行分析，當期權交易出來的市場價格比最低理論價格還要低時候此時無法按照BSM公式計算其隱含波動率。由式3可知看跌期權的最低理論價值小于其內在價值K-S，故即使看跌期權的交易價格小于內在價值（當內在價值為負時比較其絕對值）也未必就小于最低理論價格，實證中發現該做市商的看跌期權持倉數據均可以計算出隱含波動率。

表1 2017年5月16號50ETF看漲期權部分持倉數據分析

本文以看跌期權為例，對同一年化到期日的期權波動率進行多項式插值。對于給定n+1個相異節點，以及n+1個函數值，存在唯一的n次多項式滿足插值條件

本文的目標是基于上述樣本觀察點，估計出期權價值關于行權價和合約期限的連續曲面，從而可以確定該曲面上任何一個點對應的隱含波動率。因此在按照50ETF期權不同年化到期日使用多項式插值形成了波動率微笑曲線后，還需要對到期日進行插值形成波動率曲面。最后通過對每個交易日的交易數據和市場數據形成的時間序列輸入到模型中即可以建立每日動態變化的隱含波動率曲面。

本文選取了2017年5月16日某做市商全部50ETF期權合約收盤價格、合約行權價、到期日等期權合約基本條款信息，50ETF指數標的收盤價格和市場無風險利率曲線等市場數據信息。根據行業慣例選取中債國債收益率曲線作為無風險利率曲線，按照中債收益率曲線使用Hermite插值算法對非樣本點進行插值。樣本包含該日有效看漲期權合約40個，看跌期權合約41個，全部期權合約的年化到期日為

0.02192、0.1178、0.3671、0.6164。采用 EWMA 指數加權移動平均算法計算出期權標的50ETF指數年化歷史波動率為0.07565。

圖1 中債國債收益率曲線

三、隱含波動率曲面的實證分析及定價應用

根據本文介紹的樣本數據篩選規則從樣本合約中剔除22個看漲期權樣本合約，以建立看跌期權隱含波動率曲面為例選取了41個樣本數據。基于樣本合約的收盤市場價格、相應年化到期日期限的在無風險利率曲線上的抽樣無風險利率、根據Black-Scholes模型使用牛頓二分法迭代計算各個樣本數據的隱含波動率。樣本期權的平價為2.379，使用多項式插值方法建立波動率微笑曲線。

圖2 看跌期權合約隱含波動率曲線

圖2粗略呈現了隱含波動率的基本特征，首先對于同一個期限的不同行權價，呈現明顯的波動率微笑特點且右傾，即實值看跌期權行權價越大波動率越大；其次對比不同到期期限來看隨著期權到期日逼近，近月合約的波動率整體都高于遠月合約，這體現了50ETF歐式期權臨近行權時市場交投活躍情緒激烈。結合不同年化到期日的樣本數據，我們可以建立觀察日隱含波動率曲面。

圖3 看跌期權合約隱含波動率曲面

如圖3所示，基于多項式插值模型構造的隱含波動率曲面基本反映了市場交易特征。在觀察日2017年5月16日，樣本合約的隱含波動率水平與行權價之間具有明顯的右偏斜和波動率微笑規律，且期權越臨近到期日其偏斜和波動率微笑程度越明顯，曲面斜率在短期限上更陡峭，而在長期限上更平坦。

本文以場外市場期權為例說明由場內期權交易出的隱含波動率曲面用于定價的實際應用。場外期權是機構間在場外市場成交的掛鉤權益、外匯、利率等標的各種期權交易。如下表為場外市場常見的掛鉤權益標的的障礙期權交易條款。障礙看漲期權又稱為看漲鯊魚鰭，期權的觸碰價一般為美式觀察存續期間如果敲出則期權買方享受敲出收益Rebate比率，如果未敲出則結算日作為歐式期權享受行權收益。

顯然看漲鯊魚鰭是一種典型的非線性奇異期權，在沒有解析解的情況下我們考慮使用蒙特卡洛定價法。蒙特卡洛方法是一種隨機模擬方法，通過生成服從特定分布的隨機數來估計一些統計參數。在Black-Scholes模型假設下，若標的資產的起始價格為S0，那么標的資產在時間t的價格為，其中N為服從標準正態分布的隨機變量。據此，通過蒙特卡洛模擬生成n個樣本S1,S2,…,Sn,則期權價值p可由如下式估計

使用蒙特卡洛方法輸入參數中的波動率參數我們可以使用50ETF期權的年化歷史波動率為0.07565，在建立了隱含波動率曲面后我們根據插值結果選取行權價2.474，年化到期期限0.252處的的隱含波動率為0.1308.因為歷史波動率只是從50ETF指數本身的波動情況，而沒有考慮市場買賣雙方在不同行權價和到期期限的交易力量和情緒，很可能會低估期權價值。

四、結論

隱含波動率模型是一種基于市場交易活動的波動率模型，由于包含了實時的市場信息更加受到交易員認可。隨著國內外波動率交易的工具的增加，上證50ETF場內期權和各自權益類場外期權逐漸成為金融市場波動率交易的工具。本文介紹了一種供實操層面使用的非參數多項式插值的隱含波動率建模方法，對上海證券交易所的50ETF期權進行實證分析以為做市商和場外期權報價機構提供對期權標的隱含波動率曲面進行分析定價。未來后續的研究，需要考慮如何解決指數期權標的合約樣本少的問題，以及部分期權合約報價交投不活躍的情況以針對性的設置權重。