面積法在反比例函數中的應用
——初中數學教學中的數形結合

江蘇省南京市金陵中學岱山分校 周 蓓

德國數學家赫爾曼·外爾曾說過：數學是無窮的科學。可見，數學知識的學習和探究過程是廣闊和博大的，在數學學習過程中，教師需要不斷改進自己的教學方法，并選取新穎的、有效的知識導入和教授方式來進行數學課堂教學的開展，以期提高學生的數學知識學習興趣和熟練掌握程度。面積法是利用圖形的面積和比例來進行知識探究和證明的學習過程。對于反比例函數而言，常規的問題解決方法往往局限于函數的解答過程，其實，如果教師可以將數形結合的面積法引入函數教學過程中，往往可以收到事半功倍的教學效果。接下來，筆者將從三個方面簡述面積法在反比例函數教學過程中的應用。

一、面積法強化函數的幾何意義

在反比例函數教學過程中，數形結合是提高課堂教學效率的有效教學方式，同時，面積法作為重要的反比例函數教學模式，不僅可以提高學生的數學學習效率，還可以幫助學生理解反比例函數的性質和幾何意義。學生可以通過面積法在平面直角坐標系當中的應用來深入探究相關習題，并通過對反比例函數幾何意義的理解來完成知識的消化和問題的解答。

例如：如右圖，若點P（x0，y0）是反比例函數圖像上的任意一點，則有也就是說，x0和y0的乘積是一個定值。同時，過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別是M、N。通過一系列驗證和推演，筆者與學生一起得出結論：過雙曲線上任意一點作x軸和y軸的垂線，兩垂線段與坐標軸圍成的矩形面積等于k的絕對值，過該點與垂足、坐標原點為頂點的直角三角形的面積為

同時，還有一種反比例函數的題目，需要學生通過面積法和反比例函數公式來求解出函數的解析式。例如：如右圖，點A是反比例函數圖像上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD，四邊形ABCD的面積為4，則這個反比例函數的解析式是什么？這道題目的解答首先要求學生過A點作x軸的垂線，并根據反比例函數的幾何意義聯想到平行四邊形的面積就是|k|，再結合函數圖像存在于第二、四象限，最后求解出函數解析式為

筆者通過面積法的講述，幫助學生拆解比例系數k的幾何意義，并通過面積法數形結合的特性，強化了反比例函數的幾何意義在實際數學學習當中的知識應用。面積法這種數形結合的解答反比例函數問題的模式不僅可以深化學生對于知識的認識和理解，還能通過圖像幫助學生直觀感受反比例函數的幾何意義。

其實，反比例函數的幾何性質不難理解，卻需要數形結合和面積法的應用才能得以實現。如果僅僅憑借學生的幾何想象或者函數的抽象化學習，學生將會很難得到直觀的數學感悟和高效的數學知識學習體驗。因此，教師將面積法應用到反比例函數的教學過程當中，可以顯著改善反比例函數的知識講解難度，也可以增加學生對于反比例函數幾何意義的理解程度。

二、面積法突出反比例函數知識屬性

反比例函數的圖像具有對稱性，也就是說，反比例函數的圖像是以兩個分支的形式存在的，并且這兩部分的函數圖像是關于坐標原點對稱的。反比例函數圖像的對稱性是其重要的性質，也是這部分數學知識學習過程中不可或缺的知識內容。如果學生可以利用面積法和圖像面積當中的對稱性來解答函數相關問題，則可以快速簡便地解決相關面積問題。

例如，下圖中，哪個陰影部分的面積最小（ ）

筆者引導學生使用面積法來進行問題的梳理。學生自主完成的問題分析為：選項A的函數圖像,根據圖像法確定陰影面積為2；選項B中兩個小三角形面積相等，且通過面積法求得總陰影面積為2；同法求得D選項的陰影面積也是2。因此，可以推斷出只有C選項結果與之不同，為最小，故選C。

在反比例函數的教學過程中，教師往往會發現有些題目設計得很巧妙。在解答題目的過程中，并不需要完全計算出確切的數值，而是根據反比例函數當中的對稱性等知識屬性來完成題目解答。可見，面積法不僅可以梳理函數知識，還可以通過突出函數的特性來解決函數難題。

三、面積法簡化解題過程

反比例函數的應用范圍十分廣泛，也是中考當中十分重要的一部分內容。因此，教師不僅需要將課本上的基礎知識傳授給學生，還需要將面積法的應用切實督促學生熟練掌握。因為面積法在一部分反比例函數問題解答過程中，可以顯著簡化數學問題的解題步驟，幫助學生耗費最少的學習時間來獲得最好的學習效果。

這道題目的解答方向是面積法的直接利用，也是面積法作用的集中體現。因為這道題目不需要考慮反比例函數的幾何意義，也不需要討論其圖像的對稱性，而是只需要利用圖像中某點的坐標來判斷出圖形面積的邊長和高即可求得題目的結果。最后，學生通過面積法的利用直接求得題目結果是

任何數學問題的解決方法都是為了簡化解題步驟，面積法也不例外。面積法不僅可以簡化反比例函數問題的解題步驟，還可以強化和突出反比例函數的幾何意義以及屬性，這不僅可以幫助學生簡化題目的解答過程，還可以促進學生對于反比例函數相關知識的理解和應用。在反比例函數問題的實際解答過程中，無論是面積法的直接應用，還是需要學生針對題目刪繁就簡、從復雜的題目當中篩選有用信息并結合面積法來進行知識解答，都是通過面積法的應用來簡化反比例函數問題的數學學習嘗試。因此，教師應該在普及基本函數代數解題方法的基礎上，重點培養學生使用面積法來計算反比例函數的學習能力，以便擴展學生的數學思維，并幫助學生在實際數學問題解答過程中，能以最快的速度反應出最合適的解題方法，并適時地將面積法應用到簡化反比例函數的運算過程當中。

綜上所述，在反比例函數的實際教學過程中，教師應該將面積法系統化地教授給學生，并通過不同類型的題目來梳理面積法在問題解答過程中的實際應用。通過例題的解答和合理總結，學生會發現面積法對于反比例函數問題解答的優越性，并從中總結出反比例函數的幾何意義、理解比例系數k對于面積法的重要作用。同時，面積法的教學過程還是簡化反比例函數解題步驟的過程，也是幫助學生深入理解反比例函數對稱性的重要學習過程。因此，教師應該積極推廣面積法在反比例函數教學中的應用，并幫助學生在掌握數形結合知識的過程中感受到數學問題的精妙及合理解決問題的成就感。天文學家哥白尼曾說：人的天職在于勇于探索真理。在筆者看來，教師的天職就是帶領學生在探索真理的道路上尋找正確的方向，并積極引導、培養學生的知識探索能力。相信經過教師對于面積法的普及和系統化教育，學生不僅可以熟練掌握反比例函數中各種問題的解答方式，還可以以小見大，逐步完備自己數形結合的數學思維與問題解答能力。