含p-Laplace算子的三階Sturm-Liouville 邊值問題正解的存在性

張 靜, 韓曉玲

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

含p-Laplace算子的方程在燃燒理論[1]、 種群生物學[2-3]以及分數階系統[4-5]等領域應用廣泛. 文獻[6-10]研究了含p-Laplace算子的二階和四階Sturm-Liouville邊值問題正解的存在性, 表明大多數的解均為對稱的. 因為三階微分方程的解不是對稱的, 所以關于含p-Laplace算子的三階Sturm-Liouville邊值問題正解存在性的研究文獻報道較少. 文獻[11]討論了含p-Laplace算子的三階Sturm-Liouville邊值問題

基于上述工作, 本文主要應用Krasnosel’skii不動點定理, 考慮含p-Laplace算子的三階Sturm-Liouville邊值問題

假設:

(H1)f: [0,1]×[0,+∞)××→[0,+∞)連續;

(H3)α,β,γ,δ≥0且ρ∶=γβ+αγ+αδ>0.

1 預備知識

1) ‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2;

2) ‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2.

引理1邊值問題(1)-(2)有解u=u(t), 當且僅當u是算子方程

的解, 即Au=u. 這里G(t,s)是微分方程u″(t)=0,t∈(0,1)結合邊界條件(2)的Green函數, 且

(3)

證明: 顯然G(t,s)≥0, 0≤t,s≤1,

所以

從而可得

(φp(u″(t)))′=-q(t)f(t,u(t),u′(t),u″(t)).

進一步, 有

又有u″(0)=0, 因此算子A的不動點是問題(1)-(2)的解.

下面證明A:K→K是全連續的. 記

(4)

是C[0,1]中的錐, 其中

(5)

易得0≤G(t,s)≤G(s,s), 0≤t,s≤1. 因此, 若u∈K, 則

從而

進一步, 對1/4≤t≤3/4, 有

故G(t,s)≥MG(s,s), 1/4≤t≤3/4. 因此, 若u∈K, 則

從而可得AK?K. 設Ω?K有界, 即存在R>0, 使得Ω?{u∈K|‖u‖≤R}. 記

N=max{f(t,u(t),u′(t),u″(t))|t∈[0,1],u∈Ω}.

對?u∈Ω, 有

從而A(Ω)是等度連續的. 由于f是連續的, 由控制收斂定理可知,A在Ω中是連續的, 因此由Arzela-Ascoli定理可知T:K→K是全連續的.

2 主要結果

定理2假設條件(H1)～(H3)成立, 若f滿足下列條件之一:

則邊值問題(1)-(2)至少有一個正解. 條件1)稱為超線性, 條件2)稱為次線性.

證明: 由范數的定義, 可得

1) 超線性情形.

因為f0=0, 所以存在H1>0, 使得對?t∈[0,1], 00, 滿足

如果u∈K, ‖u‖=H1, 則由式(6),(7), 有

(9)

因此, 由式(4),(8)得

2) 次線性情形.

(10)

式中M在1)的證明中已給出. 則對u∈K, ‖u‖=H1, 由式(10)有

(11)

下面分兩種情形討論.

① 設f有界. 即存在L, 使得對?t∈[0,1], ((u(t),u′(t),u″(t))∈[0,+∞)××, 有

f(t,u(t),u′(t),u″(t))≤Lp-1.

(12)

記

則當u∈K, ‖u‖=H2時, 由式(6),(12)有

因此‖Au‖≤‖u‖.

② 設f無界. 因為f: [0,1]×[0,+∞)××→[0,+∞)連續, 因此存在t0∈[0,1]和使得

).

(13)

則對u∈K, ‖u‖=H2, 由式(6),(13),(11)有

綜上, 記Ω2∶={u∈E: ‖u‖

3 實 例

考慮如下含p-Laplace算子的三階Sturm-Liouville邊值問題

正解的存在性, 這里:f=(u(t)+u′(t)+u″(t))1/2+1;p=4;α=β=γ=1;δ=0. 易得

顯然f連續, 從而可知假設條件(H1)～(H3)成立.

另一方面,

由定理2可知邊值問題(14)-(15)存在一個正解.