ρ-混合序列完全矩收斂的精確漸近性

譚希麗, 孫佩宇

(北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

1 引言與主要結果

定義1[1]對于隨機變量序列{Xn,n≥1}, 如果

ρ-(s)=sup{ρ-(S,T):S,T?, dist(S,T)≥s}→0,s→∞,

則稱其為ρ-混合序列. 其中

C表示按坐標單調遞增函數的全體.

ρ-混合序列是比獨立隨機變量序列、 NA(negatively associated)隨機變量序列和ρ混合序列更廣泛的隨機變量序列, 目前已取得許多研究成果. 例如: 劉筱平等[2]研究了ρ-混合序列的完全收斂性; 譚希麗等研究了ρ-混合序列部分和的幾乎處處中心極限定理[3]， 給出了ρ-混合序列的Chover型重對數律[4], 并進一步研究了ρ-混合隨機變量序列加權和的完全收斂性質[5]. 另一方面， 自Hsu等[6]提出完全收斂的概念后, 完全收斂的精確漸近性理論得到廣泛關注, Jiang等[7]得到了獨立同分布隨機變量序列的部分和在對數律下的完全收斂的精確漸近性; 張亞運等[8]研究了ρ混合序列的重對數律矩收斂的精確漸近性; 文獻[9-10]研究了NA序列的完全收斂的精確漸近性.

其中N表示標準正態隨機變量.

(1)

其中N表示標準正態隨機變量.

2 定理2的證明

則有

引理2[3]設{Xn,n≥1}是一列ρ-混合隨機變量, 且

則存在一個正的常數C=C(q,ρ-(·))(C只依賴于q和ρ-(·)), 有

命題1對任意的M>4, 有

證明: 易見

其中

由引理1知, 當n→∞時,Δn→0. 故當b>d-1時, 由Toeplitz引理及

可得

(3)

從而當ε→0時,b(ε)→∞, 在式(3)中取m=[b(ε)], 則有

下面估計I2, 易見

對于I3, 取t≥2, 由Markov不等式、 引理2和Toepliz引理有

類似可證當ε→0時,I4→0. 從而由式(5),I2→0, 并結合(2),(4), 命題1得證.

命題2在定理2的條件下, 有

證明: 易見

下面證明定理2. 由于

由命題1～命題3及三角不等式可知

又由命題4可知

從而式(1)成立.